1、第5章 三角函数5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质人教A版2019高中数学必修第一册正弦函数、余弦函数的性质【导学1】一般的函数图像都有哪些性质可以研究？【解答】图像特点、单调性、奇偶性、最值(极值)等等【1】周期性：观察正弦函数的图像，可以发现，在图像上，横坐标每隔2个单位 长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的 变化规律.实际上，这一点既可以从定义中看出，也能从诱导公式中得到反映.即自 变量 的值加上2的整数倍时所对应的函数值，与 所对应的函数值相等.数学 上用周期性来定量地刻画这种“周而复始”的规律.【导学2】正弦函数 和余弦函数 的定义域和值域是什么？【解
2、答】定义域都是R，值域都是-1，1正弦函数、余弦函数的性质【定义】一般地，设函数 的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一 个 都有 ，且 .那么函数 就叫做 周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.周期函数的周期不止一个.例如2，4，6以及-2，-4，-6等.都是正弦函数的周期.如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 的最小正周期.根据上述定义，有如下结论：【1】正弦函数是周期函数，2k(kZ且k0)都是它的的周期，最小正周期是2【2】余弦函数是周期函数，2k(kZ且k0)都是它的的周期，最小正周期是2正弦函数、余弦函数的性质【周期函数的理解】对周期函
3、数与周期定义中的“当 取定义域内的每一个值时”，要特别注意其中“每一个”的要求.如果只是对某些 有 ，那么T就不是 的周期.自变量 本身加的常数才是最小正周期.如 中T不是最小正周 期，因为 ，所以 才是最小正周期.周期函数的周期不唯一.若T是函数 的最小正周期，则 也是 函数 的周期.并不是所有的周期函数都有最小正周期.例如，对于函数 所有非零实数T都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小 正周期.正弦函数、余弦函数的性质【例1】求下列函数的周期：【解】奇偶性【探究】观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线 关于y轴对称.所以正弦函数是奇函数，余弦函
4、数是偶函数.【注意】判断函数的奇偶性时，一定要先判断函数的定义域是否关于原点对称，只要定义域不关于原点对称，那么这个函数肯定不具备奇偶性.由奇偶性我们知道正弦曲线关于原点(0,0)对称，余弦曲线关于y轴(x=0)对称.正弦曲线和余弦曲线即是中心对称图形，又是轴对称图形.【2】求下列函数的周期【注意】本题也可以直接用公式求解：【3】下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？【解】(1)奇函数(2)偶函数(3)奇函数(4)奇函数探究与发现探究与发现单调性【探究】由于正弦函数是周期函数，我们可以先在它的一个周期的区间里如 讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域.如图可以看到：当 由
5、 增大到 时，曲线逐渐上升，的值由1减小到-1.的值变化情况如图所示：这也就是说，正弦函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.单调性 正弦函数在每一个闭区间 上都单调递增，其值从-1增大到1；在每一个闭区间 上都单调递减，其值从1减小到-1.由上述结果结合正弦函数的周期性我们可以知道：单调性 余弦函数在每一个闭区间 上都单调递增，其值从-1增大到1；在每一个闭区间 上都单调递减，其值从1减小到-1.同样的道理结合余弦函数的周期性我们可以知道：最大值与最小值【整理】从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到：正弦函数当且仅当 时取得最大值1，当且仅当 时取得最小值-1；余弦函数当且仅当 时取得最大值1，当且仅当 时取得最小值-1；【拓展】正弦、余弦函数图像上最大值处一般称为波峰，最小值处称为波谷.正弦函数和余弦函数都不是定义域上的单调函数.正弦函数和余弦函数的图像既是轴对称图形也是中心对称图形.R RR R-1-1，1-1-1，1最小正周期为最小正周期为2最小正周期为最小正周期为2奇函数奇函数偶偶函数函数【正弦函数和余弦函数的性质对比】THANKS“”
