第四讲应用MATLAB解决高等代数问题课件.ppt

1、第四讲：应用第四讲：应用MATLAB解决高等代解决高等代数问题数问题1.1.交换矩阵中的两个行向量的位置；交换矩阵中的两个行向量的位置；2.2.用一个非零数乘以矩阵的某一行向量用一个非零数乘以矩阵的某一行向量3.3.把矩阵的某一个行向量乘以实数并加到矩阵把矩阵的某一个行向量乘以实数并加到矩阵的另一行上的另一行上一、矩阵的初等变换与方程的一、矩阵的初等变换与方程的MATLAB求解求解例：求解线性方程组例：求解线性方程组2212353321321321xxxxxxxxx线性代数方法用增广矩阵初等变换即消元法过程线性代数方法用增广矩阵初等变换即消元法过程212112113513A经过初等行变换将矩阵

2、经过初等行变换将矩阵A变为矩阵变为矩阵B 这时矩阵对应的方程组这时矩阵对应的方程组271322332321xxxxxx此方程组的解为此方程组的解为7/107/17/2321xxxA=3-1 5 3;1-1 2 1;1-2-1 2%输入矩阵的数据输入矩阵的数据A(1 3,:)=A(3 1,:)%交换第一行和第三行数据交换第一行和第三行数据A(2,:)=A(2,:)-A(1,:)%将第一行乘以将第一行乘以-1加到第二行加到第二行A(3,:)=A(3,:)-3*A(1,:)%将第一行乘以将第一行乘以-3加到第三行加到第三行A(3,:)=A(3,:)-5*A(2,:)%将第二行乘以将第二行乘以-5加到

3、第三行加到第三行 方法之一：初等变换法方法之一：初等变换法A=3-1 5 3;1-1 2 1;1-2-1 2%输入矩阵的数据输入矩阵的数据format rat%分数数据格式分数数据格式rref(A)%化简矩阵化简矩阵方法之二：方法之二：Cramer法则法则A=3-1 5;1-1 2;1-2-1%输入矩阵的数据输入矩阵的数据B=3 1 2;%输入线性方程组的常数项输入线性方程组的常数项S=0 0 0;%给解向量赋初值给解向量赋初值for i=1:3%for循环循环C=A;%将矩阵将矩阵A赋给临时矩阵赋给临时矩阵C C(:,i)=B;%将常数项赋给矩阵将常数项赋给矩阵C的第的第i列即求列即求Ai

4、S(i)=det(C)/det(A);%求求xiendformat rat%数据格式说明为分数形式数据格式说明为分数形式S%显示显示S方法之三：利用矩阵的左除方法之三：利用矩阵的左除“”A=3-1 5;1-1 2;1-2-1；b=3 1 2；x=Abx=10/7 -1/7 -2/7 二、线性方程组的解结构二、线性方程组的解结构1。齐次方程组的解结构。齐次方程组的解结构AX=0求解方程过程如下根据最简行阶梯形矩阵写出简化方程组确定自由求知量整理方程组为向量形式量提取方程组右端各自由求知量的系数形成的向量组即为基础解系将系数矩阵化为最简行阶梯形矩阵02200432143214321xxxxxxxx

5、xxxx例：解线性方程组：例：解线性方程组：应用应用MATLAB计算过程如下：计算过程如下：A=1 1 1 1;1 1 1 1;1 1 2 2%输入矩阵输入矩阵rref(A)%将矩阵化为最简阶梯形矩阵将矩阵化为最简阶梯形矩阵运行结果为：运行结果为：A=1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -2 2ans=1 -1 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0由运行结果知化简的等价方程组为：由运行结果知化简的等价方程组为：004321xxxx取取x2，x4为自由求知量，得方程组的解的向量形为自由求知量，得方程组的解的向量形式为式为11000011424321xxxxxx00111所以齐次

6、方程组的通解为所以齐次方程组的通解为2211kkX11002所以基础解系为：所以基础解系为：2.非齐次方程组的解的结构非齐次方程组的解的结构求解非齐次线性方程组的通解的步骤如下：求解非齐次线性方程组的通解的步骤如下：1）、写出非次方程组的增广矩阵；）、写出非次方程组的增广矩阵；2）、将增广矩阵化为最简行阶梯形矩阵；）、将增广矩阵化为最简行阶梯形矩阵；3）、观察增广矩阵与系数矩阵的秩是否相等，若相等）、观察增广矩阵与系数矩阵的秩是否相等，若相等则方程组有解，若不相等则方程组无解；则方程组有解，若不相等则方程组无解；4）、写出对应的简化的线性方程组；）、写出对应的简化的线性方程组；5）、确定自由求

7、知量）、确定自由求知量6）、整理方程组为向量形式。）、整理方程组为向量形式。例：求解下列非齐线性方程组例：求解下列非齐线性方程组1227737389222543324321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx122773738922254131321A矩阵为解非齐次方程组的增广在在MATLAB中输入的命令如下中输入的命令如下A=1 2 3 1;1 4 5 2;2 9 8 3;3 7 7 2;b=3;2;7;12；format ratc=A b；rref(c);计算结果如下计算结果如下ans=1 0 0 -1/2 31/6 0 1 0 0 2/3 0 0 1 1/2 -7/6

8、 0 0 0 0 0 所以简化方程组为：所以简化方程组为：6721326312143241xxxxx所以原线性方程组的通解为：所以原线性方程组的通解为：444324167213263121xxxxxxx06732631121021kX即解为取取x4为自由求知量为自由求知量三、向量组的线性相关性判定三、向量组的线性相关性判定1.向量组线性相关与线性无关的定义：向量组线性相关与线性无关的定义：m,21如果存在如果存在m个不全为零的一组数个不全为零的一组数k1,k2,km使使02211mmkkk成立，则称向量组成立，则称向量组m,21是线性相关的。是线性相关的。m,21如果仅当如果仅当k1=k2=k

9、m=0时时设有设有m个向量个向量1）将给定的）将给定的m个向量组的写成列向量形式，个向量组的写成列向量形式，组成一个组成一个nm阶的矩阵阶的矩阵21mA2.应用应用MATLAB进行向量组的线性相关性的进行向量组的线性相关性的判定步骤：判定步骤：才有上面的等式成立，则称向量组才有上面的等式成立，则称向量组线性无关线性无关2)判定是否存在不全为零的一组数判定是否存在不全为零的一组数k1,k2,km使得使得021222122121111nmmmmnnaaakaaakaaak即判定线性方程组即判定线性方程组000221122221211212111mnmnnmmmmxaxaxaxaxaxaxaxaxa

10、是否有非零解，从而有是否有非零解，从而有02211mmkkk这说明向量组线性相关。如果方程组只有零这说明向量组线性相关。如果方程组只有零解，则说明该向量组线性无关。解，则说明该向量组线性无关。3）用命令）用命令rref将矩阵将矩阵A化为最简行阶梯形矩阵；化为最简行阶梯形矩阵；4）观察最简行阶梯形矩阵中非零行向量的）观察最简行阶梯形矩阵中非零行向量的数目是否小于向量组全部向量数目数目是否小于向量组全部向量数目m,若小于若小于m则向量组线性相关；否则线性无关。则向量组线性相关；否则线性无关。例例 判断下列向量组的线性相关性判断下列向量组的线性相关性1)、a1=4 3 1 1 1,a2=2 1 3

11、2 5 a3=1 3 0 1 2,a4=1 5 2 1 62）a1=1 0 0 1 4,a2=0 1 0 2 5,a3=0 0 1 3 6a4=1 2 3 14 32,a5=4 5 6 32 77(北京大学数学力学系高等代数北京大学数学力学系高等代数p151 16-4）解：解：1)先在先在MATLAB中将上面四个向量以中将上面四个向量以行向量数据形式输入，再转置为列向量组行向量数据形式输入，再转置为列向量组成的矩阵，然后用成的矩阵，然后用rref命令将其化为最简命令将其化为最简行阶梯形矩阵，命令如下行阶梯形矩阵，命令如下A=4 3-1 1-1;2 1-3 2-5;1-3 0 1-2;1 5 2

12、-1 6A=Arref(A)ans=1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0最简行阶梯形矩阵的变量名为最简行阶梯形矩阵的变量名为ans,它的不全为它的不全为零为行向量数为零为行向量数为4，而向量组中向量数也是，而向量组中向量数也是4,所所以向量组是线性无关的。以向量组是线性无关的。a1=1 0 0 1 4,a2=0 1 0 2 5,a3=0 0 1 3 6a4=1 2 3 14 32,a5=4 5 6 32 77A=a1;a2;a3;a4;a5rref(A)2)可以应用矩阵拼接命令可以应用矩阵拼接命令得非零行数为得非零行数为3，所以该向量组线性相关。，所以

13、该向量组线性相关。ans=1 0 0 1 4 0 1 0 2 5 0 0 1 3 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0四、向量组的最大无关组四、向量组的最大无关组1.极大无关组的定义：对于一个相关向量组极大无关组的定义：对于一个相关向量组T中最多有多少个向量是线性无关的，这就中最多有多少个向量是线性无关的，这就是极大无关组，是极大无关组，即一向量组的一个部分组本身是线性无关即一向量组的一个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添加一个向量的，并且从这向量组中任意添加一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关的。线性相关的。2.秩的定义：

14、极大线性无关组所含向量个数秩的定义：极大线性无关组所含向量个数r称为向量组的秩。称为向量组的秩。3.应用应用MATLAB求向量组的极大无关组的方法求向量组的极大无关组的方法借助向量组线性相关性分析的方法，可得求向量组借助向量组线性相关性分析的方法，可得求向量组m,21的极大无关组的步骤如下：的极大无关组的步骤如下：1）.将向量组中每个向量以列的形式排成矩阵将向量组中每个向量以列的形式排成矩阵A=a1 a2am2).把矩阵把矩阵A化为最简行阶形矩阵化为最简行阶形矩阵3).确定最简行阶梯形矩阵中非零行向量数目确定最简行阶梯形矩阵中非零行向量数目r（即向量组（即向量组T的秩），在最简行阶梯形矩阵中寻

15、的秩），在最简行阶梯形矩阵中寻找找r个无关的列向量个无关的列向量r21,4).根据根据r21,所在位置确定矩阵所在位置确定矩阵A中列向量位置即得中列向量位置即得T的极大无关组的极大无关组在最简行阶梯形矩阵中寻找在最简行阶梯形矩阵中寻找r个线性无关的列向量个线性无关的列向量r21,时，只须在仅有一个非零元素的列向量中时，只须在仅有一个非零元素的列向量中寻找，非零元素不在同一位置的这类向量是线寻找，非零元素不在同一位置的这类向量是线性无关的。性无关的。例：求下列向量组的秩和一个极大无关例：求下列向量组的秩和一个极大无关组并将其余向量用极大无关组线性表出组并将其余向量用极大无关组线性表出1）a1=1

16、 2 1 3;a2=4-1-5-6;a3=1-3-4-7;a4=2-1 1 0;A=a1;a2;a3;a42)a1=1;-1;2;4;a2=0;3;1;2;a3=3;0;7;14;a4=1;-1;2;0;a5=2;1;5;6;解：解：1）输入向量及命令如下）输入向量及命令如下a1=1 2 1 3;a2=4-1-5-6;a3=1-3-4-7;a4=2-1 1 0;A=a1;a2;a3;a4A=Arref(A)北大高等代数北大高等代数P151 9-2得简化的行阶梯形矩阵为得简化的行阶梯形矩阵为ans=1 0 -11/9 0 0 1 5/9 0 0 0 0 1 0 0 0 0 最简矩阵中的有三个不全

17、为零的行向量，所以最简矩阵中的有三个不全为零的行向量，所以向量组的秩为向量组的秩为3，显然第一列、第二列、第四，显然第一列、第二列、第四列线性无关，所以对应于原向量一个极大无关列线性无关，所以对应于原向量一个极大无关组为组为a1,a2 a4，最简矩阵中第三列向量有两，最简矩阵中第三列向量有两个非零元素个非零元素-11/9，5/9，它们是方程组，它们是方程组32211 xx的解（的解（x1=-11/9,x2=5/9)，也是方程组，也是方程组32211 xx的解，所以的解，所以421,线性表出线性表出被最大无关组被最大无关组342130959112）输入向量及命令如下：）输入向量及命令如下：a1=

18、1;-1;2;4;a2=0;3;1;2;a3=3;0;7;14;a4=1;-1;2;0;a5=2;1;5;6;A=a1 a2 a3 a4 a5rref(A)得最简行阶梯形矩阵得最简行阶梯形矩阵ans=1 0 3 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 由此可知向量组的秩为由此可知向量组的秩为3，第，第1列，第列，第2列，列，第第4列的向量是线性无关的，所以列的向量是线性无关的，所以a1,a2,a4是极大无关组。最简矩阵中第三列向量有两是极大无关组。最简矩阵中第三列向量有两个非零元素个非零元素3,1，它们是方程组，它们是方程组32211 xx的解（的解（x1=3,x2

19、=1)，也是方程组，也是方程组32211 xx的解，所以的解，所以421,线性表出线性表出被最大无关组被最大无关组3421303最简矩阵中第五列向量有三个非零元素最简矩阵中第五列向量有三个非零元素1,1,1，它们是方程组它们是方程组5442211xxx的解的解(x1=1,x2=1,x4=1)，也是方程组，也是方程组的解，所以的解，所以5线性表出线性表出被最大无关组被最大无关组4215421,5442211xxx注意：两个例子中输入的向量和命令有所不同，请同学们思考为什么？五五.矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量1 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量设设A是是n阶方阵，阶方阵

20、，k是一个数，如果存在一非是一个数，如果存在一非零的列向量零的列向量X使得使得AX=kX成立，则称数成立，则称数k为为A的征值，非零列向量的征值，非零列向量X称为方阵称为方阵A的属于特征的属于特征值值K的一个特征向量。的一个特征向量。用用MATLAB的命令的命令 eig可以求出矩阵可以求出矩阵A的特的特征值和特征向量的方法有两种征值和特征向量的方法有两种法一）只求法一）只求A的特征值命令为的特征值命令为eig(A)法二）同时求出特征值和特征向量用命令法二）同时求出特征值和特征向量用命令p d=eig(A)例求方阵例求方阵304060403A特征值和特征向量。特征值和特征向量。解：先输入矩阵的数

21、据，然后用解：先输入矩阵的数据，然后用eig的两的两种使用方法求解，命令如下种使用方法求解，命令如下A=3 0 4;0 6 0;4 0 3;eig(A)p d=eig(A)第一个命令第一个命令eig(A)的结果为的结果为ans=-1 6 7p=0.7071 0 0.7071 0 -1.0000 0 -0.7071 0 0.7071d=-1 0 0 0 6 0 0 0 7命令命令p d=eig(A)计算结果为计算结果为北京大学高等代数北京大学高等代数求矩阵求矩阵122212221A应用应用eig(A)得得ans=-1 -1 5 应用应用p d=eig(A)结果为结果为p=2131/3543 70

22、9/1284 780/1351 408/2299 -369/463 780/1351 -747/959 294/1201 780/1351 d=-1 0 0 0 -1 0 0 0 5 矩阵的相似对角化矩阵的相似对角化设三阶矩阵有三个线性无关的特征向量设三阶矩阵有三个线性无关的特征向量a1,a2,a3，对应的特征值为，对应的特征值为k1,k2,k3,现现定义两个矩阵定义两个矩阵a1 a2 a3321kkkAa1=k1a1,Aa2=k2a2,Aa3=k3a3矩阵形式为矩阵形式为AP=P或或-1说明矩阵说明矩阵A与对角矩阵相似。利用特征矩阵与对角矩阵相似。利用特征矩阵向量和特征值的方法可以求矩阵向量

23、和特征值的方法可以求矩阵A的相似对的相似对角矩阵。矩阵的相似对角化方法可用计算一角矩阵。矩阵的相似对角化方法可用计算一矩阵的方幂。矩阵的方幂。例设矩阵例设矩阵163053064A求求A10解：先求出解：先求出A的特征值和特征向量，得的特征值和特征向量，得A的的对角相似矩阵对角相似矩阵和可逆矩阵和可逆矩阵P，由等式，由等式-1得得A10=10-1 MATLAB命令如下命令如下A=4 6 0;-3-5 0;-3-6 1;p d=eig(A)p*d10*inv(p)结果为结果为ans=-1022 -2046 0 1023 2047 0 1023 2046 1为了验证这一结果也可以直接输入命令为了验证

24、这一结果也可以直接输入命令A 10也得这一结果。也得这一结果。例例 判断二次型的类型（正定型、负定型、半判断二次型的类型（正定型、负定型、半正定型、半负定型），将结果化为标准形式。正定型、半负定型），将结果化为标准形式。312123222132144465),(xxxxxxxxxxf解：首先写出二次型的矩阵，然后求特征值，解：首先写出二次型的矩阵，然后求特征值，由特征值的符号判断二次型的类型，由特征值的符号判断二次型的类型，根据二次型的系数得其矩阵为根据二次型的系数得其矩阵为402062225A在在MATLAB中输入矩阵中输入矩阵A的数据并求特征值，的数据并求特征值，所用命令如下：所用命令如下

25、：A=-5 2 2;2-6 0;2 0-4;eig(A)计算结果为：计算结果为：ans=-8 -5 -2 说明说明A有三个负特征值，所以该二次型为负有三个负特征值，所以该二次型为负定二次型，它的标准形式为：定二次型，它的标准形式为：23222132125y-8y)x,x,f(xy为了求得其变换矩阵为了求得其变换矩阵C的数据，可由命令的数据，可由命令p d=eig(A)得矩阵得矩阵A的特征向量矩阵的特征向量矩阵p=-2/3 1/3 2/3 2/3 2/3 1/3 1/3 -2/3 2/3 显然三个列向量相互正交的单位向量，显然三个列向量相互正交的单位向量，可得变量的变换关系为可得变量的变换关系为

26、321321 2/3 2/3-1/3 1/3 2/3 2/3 2/3 1/3 2/3-yyyxxx由此可以用此方法求高等代数二次型的由此可以用此方法求高等代数二次型的变换矩阵、化简二次型及二次型的正定判断。变换矩阵、化简二次型及二次型的正定判断。六、应用线性方程组求解数学模型六、应用线性方程组求解数学模型1.实际问题中方程组的类型：实际问题中方程组的类型：适定方程组、不定方程组、超定方程组适定方程组、不定方程组、超定方程组适定方程组：方程数等于未知数个数时，适定方程组：方程数等于未知数个数时，这一类方程组称为适定方程组。如果其系这一类方程组称为适定方程组。如果其系数矩阵可逆，适定方程组有唯一的

27、解，求数矩阵可逆，适定方程组有唯一的解，求解方法有克菜姆方法、消元法、矩阵分解解方法有克菜姆方法、消元法、矩阵分解法、迭代法。法、迭代法。不定方程组：实际方程的个数小于未知数的不定方程组：实际方程的个数小于未知数的个数，这一类方程称为不定方程组。当系数个数，这一类方程称为不定方程组。当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，不定方程组矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，不定方程组有无穷多组解，根据线性代数的理论和方法，有无穷多组解，根据线性代数的理论和方法，可求得方程组的通解。可求得方程组的通解。超定方程组：当方程组的数多于未知数的超定方程组：当方程组的数多于未知数的个数时，这一类方程组称为超定方程组。个数时

28、，这一类方程组称为超定方程组。超定方程组没有准确解，但可以求广义解，超定方程组没有准确解，但可以求广义解，例超定方程组的最小二乘解。例超定方程组的最小二乘解。1)适定方程组：对于方程组适定方程组：对于方程组AX=b,如果如果A为方阵，解适定方程组可以用方阵的系数为方阵，解适定方程组可以用方阵的系数矩阵的逆来求，即矩阵的逆来求，即x=inv(A)bA=1 -2 -3 -4;2 1 -1 1;-1 0 -1 2;3 -3 4 -5B=1 1 1 1X=inv(A)*B如果如果A是奇异方阵，则计算结果为是奇异方阵，则计算结果为INF，则会给出警则会给出警告信息。如果告信息。如果A为病态矩阵，也会出出

29、警告信息。为病态矩阵，也会出出警告信息。此外，还可以用除法来解适定方程，此外，还可以用除法来解适定方程，X=AB以上二方法区别是：算法上说，上面的两种以上二方法区别是：算法上说，上面的两种计算方法都采用高斯消去法，但利用除法求计算方法都采用高斯消去法，但利用除法求解时，不是先对矩阵解时，不是先对矩阵A求逆，而是直接利用高求逆，而是直接利用高斯消法进行计算。这样可以很好地保证计算斯消法进行计算。这样可以很好地保证计算的速度，而又会节省大量的计算时间，从下的速度，而又会节省大量的计算时间，从下例中可以看出除法的优劣。例中可以看出除法的优劣。A=rand(100)+1.e10;%生成一个生成一个10

30、0阶的随机矩阵阶的随机矩阵x=ones(100,1);b=A*x;%求方程右边的向量求方程右边的向量tic%开始计时开始计时y=inv(A)*b;%用逆运算求解方程用逆运算求解方程 toc%读计时时间读计时时间err=norm(y-x)%结果与精确解的结果与精确解的2范数范数res=norm(A*y-b)%方程的方程的2范数误差范数误差tic%开始计时开始计时y=Ab;%除法运算求解方程除法运算求解方程toc%读计时时间读计时时间err=norm(y-x)%结果与精确解的结果与精确解的2范数范数res=norm(A*y-b)%方程的方程的2范数误差范数误差elapsed_time=0err=0

31、.0457res=9.7113e+008elapsed_time=0err=0.0360res=0.00332）超定方程）超定方程对于方程对于方程Ax=b,A为为n,m矩阵，如果矩阵，如果A列满秩，列满秩，且且nm,则方程没有精确解的，即其精确解的空则方程没有精确解的，即其精确解的空间为零。然而在实际工程计算时，求得最小二间为零。然而在实际工程计算时，求得最小二乘解也是有意义的，方程的解除了用除法运算乘解也是有意义的，方程的解除了用除法运算来求（来求（x=Ab)外，还可以用广义逆来求：外，还可以用广义逆来求：x=pinv(A),所求的解并不满足所求的解并不满足Ax=b，而，而x只是最只是最小二

32、乘意义上的解。小二乘意义上的解。A=3 4 5;6 1 2;4-5 7;0 2 4 B=3 2 4 6x1=ABx1=0.4149 0.0448 0.3737A*x1-Bans=0.2924 1.2815 0.0516 -1.0966由此可见，由此可见，x1不是方程不是方程Ax=B精确解，用精确解，用x2=pinv(A)*B所得的解与所得的解与x1相同，用线性相同，用线性代数可以证明，列满秩的方程组代数可以证明，列满秩的方程组Ax=B最小最小二乘解为二乘解为X=inv(C*C)*C*B,而广义逆而广义逆pinv(A)=inv(C*C)*C，如上例的结果可，如上例的结果可以这样计算以这样计算in

33、v(A*A)*A*Bans=0.4149 0.0448 0.37373)不定方程：理论上说有无穷多个解，如果不定方程：理论上说有无穷多个解，如果用逆矩阵法和除法求解时，只能得到其中的用逆矩阵法和除法求解时，只能得到其中的一个解一个解A=1-2 3;0 1 1;-1 0 1;1-3 4B=4-3-4 1x=pinv(A)*Bx=2.2549 1.2157 1.0392x=ABWarning:Rank deficient,rank=2 tol=4.6151e-015.y=3.4706 0 -0.1765x和和y都是方程组的解，其中都是方程组的解，其中x=pinv(A)*B是方程解是方程解中最小的一

34、个，中最小的一个，norm(x)=2.7645.而而norm(y)=3.4751,y=AB是所有解中是所有解中0最多的一个，最多的一个，也就是非零元素最多的一个。也就是非零元素最多的一个。2、交通流量问题、交通流量问题如图所示给出了某城市部分单行街道的交如图所示给出了某城市部分单行街道的交通流量（每小时通过的车辆数）。图中有通流量（每小时通过的车辆数）。图中有6个路口，已有个路口，已有9条路口记录了当天的平均条路口记录了当天的平均车流量，另有车流量，另有7处的平均车流量未知，试处的平均车流量未知，试用每个路口的进出车流量相等关系推算用每个路口的进出车流量相等关系推算7处的平均车流量处的平均车流

35、量1）问题提出）问题提出x1x5200300400200300400500200300 x2x3x4x6x72）问题分析与数学模型）问题分析与数学模型在图中的任何一个路口（十字路口或丁字路口）在图中的任何一个路口（十字路口或丁字路口）处，都有车辆流进和流出。当一天结束后，流处，都有车辆流进和流出。当一天结束后，流进的流出的车辆数应该相等以达到平衡，进的流出的车辆数应该相等以达到平衡，在图中有的长远街道车流量有数据记录，而在图中有的长远街道车流量有数据记录，而有的没有数据记录，我们可以理解为有数据有的没有数据记录，我们可以理解为有数据的街道有专人（或者设备）记录了当天的车的街道有专人（或者设备）

36、记录了当天的车流量情况，而没有记录的街道由于人力不足流量情况，而没有记录的街道由于人力不足（或设备的经费还没到位）造成的。为了填（或设备的经费还没到位）造成的。为了填补空白，设在没有数据的街道处假设车流量补空白，设在没有数据的街道处假设车流量是未知数，在每一个路口可根据进出的车流是未知数，在每一个路口可根据进出的车流量相等关系，建立一个线性方程，如图有六量相等关系，建立一个线性方程，如图有六个路口，可以建立六个方程的线性组，问题个路口，可以建立六个方程的线性组，问题的答案应该是在所列的线性方程组的答案应该是在所列的线性方程组200050020020070075764635242131xxxxx

37、xxxxxxxxx通解中支寻找，将方程组写成矩阵向量形式为通解中支寻找，将方程组写成矩阵向量形式为AX=b其中其中2000500200200700110110010000000100100001001000010110000101bA显然是一个不定方程组，因为方程组的个数显然是一个不定方程组，因为方程组的个数少于未知数的个数。所以当方程组的系数矩少于未知数的个数。所以当方程组的系数矩阵阵A的秩增广矩阵的秩增广矩阵A b的秩相等时，该问题的秩相等时，该问题有无穷多解，由于有无穷多解，由于 图图中的街道是单行道，每一街道上的车流量只能是正中的街道是单行道，每一街道上的车流量只能是正数或零，故应在方

38、程组的解集合中寻找非负解，如数或零，故应在方程组的解集合中寻找非负解，如果方程组没有解或没有非负解，说明问题所给的数果方程组没有解或没有非负解，说明问题所给的数据有误，求解问题分三步，第一步判断方程组是否据有误，求解问题分三步，第一步判断方程组是否有解，第二步，如果方程组有解则求出方程组的通有解，第二步，如果方程组有解则求出方程组的通解，第三步，在通解中找非负特解。解，第三步，在通解中找非负特解。3）程序和计算结果）程序和计算结果 A=1 0 1 0 0 0 0;1-1 0 1 0 0 0;0 1 0 0-1 0 0;0 0 1 0 0 1 0;0 0 0 1 0 1-1;0 0 0 0 1

39、0-1 b=700 200 200 500 0-200 rank(A)ans=5 rank(A b)ans=5 rref(A b)ans=1 0 0 0 0 -1 0 200 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 1 0 500 0 0 0 1 0 1 -1 0 0 0 0 0 1 0 -1 -2002000500020075764637261xxxxxxxxxxx即有简化方程组即有简化方程组x6、x7为自由未知量，直接可得原方为自由未知量，直接可得原方程组的通解形式程组的通解形式002000500020010110100101101217654321kkxxxxxxx由上面所

40、得的方程组通解表达式，取适当由上面所得的方程组通解表达式，取适当的的k1和和k2使特解为非负数即可。求非负解使特解为非负数即可。求非负解的程序如下：的程序如下：A=1 0 1 0 0 0 0;1-1 0 1 0 0 0;0 1 0 0-1 0 0;0 0 1 0 0 1 0;0 0 0 1 0 1-1;0 0 0 0 1 0-1;b=700 200 200 500 0-200;x=zeros(7,1);s=rref(A b);s=s;zeros(1,8);k1=0;while 1=1 k2=200;while 1=1 x=k1*(-1)*s(:,6)+0 0 0 0 0 1 0)+k2*(-1

41、)*s(:,7)+0 0 0 0 0 0 1)+s(:,8);k2=k2+1;for i=1:7 if x(i)0 break;else continue;end end break;end break;end x=k1*(-1)*s(:,6)+0 0 0 0 0 1 0)+k2*(-1)*s(:,7)+0 0 0 0 0 0 1)+s(:,8)事实上，可以通过前面的通解公式可得当k1=0,k2=200时，得A=1 0 1 0 0 0 0;1-1 0 1 0 0 0;0 1 0 0-1 0 0;0 0 1 0 0 1 0;0 0 0 1 0 1-1;0 0 0 0 1 0-1 b=700 20

42、0 200 500 0-200 x=zeros(7,1);s=rref(A b);s=s;zeros(1,8)nonegativs=0*x1+200*x2+s(:,8)x1=(-1)*s(:,6)+0 0 0 0 0 1 0 x2=(-1)*s(:,7)+0 0 0 0 0 0 120002003004002003004005002003002005002000200nonegativs=200 200 500 200 0 0 200 闭合经济问题闭合经济问题一个木工，一个电工，一个油漆工，三人相一个木工，一个电工，一个油漆工，三人相互同意彼此装修他们自己的房子。在装修之互同意彼此装修他们自己的房子。在装修之前，他们达成如下协议前，他们达成如下协议：（：（1）每人总共工作）每人总共工作十天（包括给自己家干活在内）；（十天（包括给自己家干活在内）；（2）每人）每人的日工资根据一般的市价在的日工资根据一般的市价在6080元之间；元之间；（3）每人的日工资总数应使得每人总收入与）每人的日工资总数应使得每人总收入与总支出相等。下表是他们协议制定出的工作总支出相等。下表是他们协议制定出的工作天数的分配方案天数的分配方案