大学光学经典课件L8两个点源的干涉.ppt

1、第二章第二章 波动光学基本原理波动光学基本原理4 两个点源的干涉两个点源的干涉4、1 两列球面波的干涉场两列球面波的干涉场求相干点波源求相干点波源 和和 在空间任意一点在空间任意一点相遇时的合光强（设振源强度相同）。相遇时的合光强（设振源强度相同）。1Q2QP（1）在）在P点有平行的振动分量点有平行的振动分量（2）振动频率相同）振动频率相同（3）稳定，仅是位置的函数。稳定，仅是位置的函数。21)(PP2Q1Q1r2r21121)光强公式光强公式)(cos)()(2)()()(2121PPIPIPIPIPI)()(211PAPI)()(222PAPI，_21QQd ApApA)()(21drr2

2、1,若：若：2)(cos4)(cos1 2)(222PAPAPI两波相干叠加两波相干叠加时强度与相位时强度与相位差的关系差的关系2)相位差公式相位差公式 0120201112212)(2)()()(rrrkrkP00若：若：212100222()()()()Prrn rrL0()n2121()Ln rrrr（）3)光程差公式：设：光程差公式：设：1n4)干涉条纹形状干涉条纹形状（1）的等光强点的轨迹决定了干涉的等光强点的轨迹决定了干涉条纹的形状。条纹的形状。mMIIPI)()12(2)(mmP ,2,1,0m相干极大条件相干极大条件相干极小条件相干极小条件00102若：若：1n，有：有：001

3、2)2/1()(mmrrL相干极大条件相干极大条件相干极小条件相干极小条件 ,2,1,0m干涉条纹的形状是以干涉条纹的形状是以 和和 为焦点的为焦点的回转双曲面族回转双曲面族 1Q2Q 光的相干性光的相干性可见光可见光能引起人的视觉的电磁波能引起人的视觉的电磁波真空中的波长真空中的波长 400 nm 760 nm处于激发态的原子会自发地跃迁到处于激发态的原子会自发地跃迁到低激发态或基态，向外辐射电磁波。低激发态或基态，向外辐射电磁波。-13.6 e V-3.4 e V-1.5 e V氢原子的发光跃迁氢原子的发光跃迁波列波列跃迁过程的持续时间约为跃迁过程的持续时间约为 10-8 s 各原子或同一

4、原子各次发出的波列，其频率各原子或同一原子各次发出的波列，其频率和振动方向可能不同，每次何时发光不确定。和振动方向可能不同，每次何时发光不确定。来自两个光源或同一光源的两部分的光，不来自两个光源或同一光源的两部分的光，不满足相干条件，叠加时不产生光的强弱在空间稳满足相干条件，叠加时不产生光的强弱在空间稳定分布的干涉现象。定分布的干涉现象。用单色性好的点光源，把同一光线分成两束用单色性好的点光源，把同一光线分成两束光，经不同路径相遇，然后再叠加。（取自同一光，经不同路径相遇，然后再叠加。（取自同一原子的同一次发光）原子的同一次发光）分波前分波前分振幅分振幅T.Young杨氏双缝干涉杨氏双缝干涉

5、1801年，英国人年，英国人托马斯托马斯.杨成功了杨成功了一个判别光的性质一个判别光的性质的关键性实验。的关键性实验。在观察屏上有明在观察屏上有明暗相间的等间距条暗相间的等间距条纹，这只能用光是纹，这只能用光是一种波来解释。一种波来解释。杨还由此实验测杨还由此实验测出了光的波长。出了光的波长。4、2 杨氏实验杨氏实验 1）装置的结构）装置的结构mmmmd11.0cmcm101mmD1012）满足相干条件）满足相干条件（1）有相互平行的振动分量。）有相互平行的振动分量。（2）S1和和S2来自同一点源来自同一点源S，频率相同。，频率相同。（3）虽然每一个波列的初相位）虽然每一个波列的初相位 不相同

6、，不相同，但在观察屏幕上相遇的是同一个波列，但在观察屏幕上相遇的是同一个波列，0因此有因此有 0102。这正是杨氏干涉。这正是杨氏干涉装置设计的巧妙之处。装置设计的巧妙之处。)(2)(2)()()(120120102112212rrnrrrkrkP故：故：0设点波源S的初位相为12次波源S 和S 的初位相分别为12,R10022,R200122().RR1020两束相干光两束相干光 r2r1 xPSs1s2DdR2R1Rz3）光强分布、相位差、光程差）光强分布、相位差、光程差（1）光强分布）光强分布)(cos)()(2)()()(2121PPIPIPIPIPI)()(211PAPI)()(22

7、2PAPI_21SSd drr21,，ApApA)()(212)(cos4)(cos1 2)(222PAPAPI，（2）相位差）相位差212211020102010()()()2()Pkrkr（L）（3）光程差）光程差若若 n=1时，时，010221()Ln rr（），12)(rrL注意：注意：要从要从 出发求光程差出发求光程差 zyyxxzyxz y xzr2222222/1dx 2/2dx021 yyDz DdxDyxDdDr2/224/2221DdxDyxDdDr2/224/222212xDdrrL）（求光程差的简便方法：求光程差的简便方法：从从 点引点引 的垂线，交点为的垂线，交点为C

8、，则则 即为两相干光的光程差。即为两相干光的光程差。_2CS1S2rsinxDddL）（DS1S2dCr1r2X4)干涉条纹的形状和间距干涉条纹的形状和间距令：令：012mxDdrrL）（得：得：0dmDx 干涉条纹是一组在平面干涉条纹是一组在平面 上，上，与与 轴垂直的直线条纹轴垂直的直线条纹 yx x条纹间距：条纹间距：0dDx(明纹方程）明纹方程）r2r1 XPSs1s2Ddo两列光波在两列光波在 x 点引起的点引起的光振动同相光振动同相相长干涉，相长干涉，x 处为处为明纹明纹两列光波在两列光波在 x 点引起的点引起的光振动反相光振动反相相消干涉，相消干涉，x 处为处为暗纹暗纹0()xd

9、LmD01()()2xdLmDm=0，0 级明纹级明纹m=1，1 级明纹级明纹m=2，2 级明纹级明纹m=-1，1 级明纹级明纹m=-2，2 级明纹级明纹明纹中心的位置明纹中心的位置0Dxmd暗纹中心的位置暗纹中心的位置01(m)2Dxd相邻两明纹或暗纹间的距离相邻两明纹或暗纹间的距离0Dxd0,1,2,.m 0,1,2,.m 例题例题1 杨氏双缝的间距为杨氏双缝的间距为 0.2 mm，双缝与屏双缝与屏的距离为的距离为 1 m.若第若第 1 级明纹到第级明纹到第 4 级明纹的距级明纹的距离为离为 7.5 mm，求光波波长。求光波波长。解解dDx 2.0d mm 1D m 5.2x mm 500

10、 xDd nm 5)例题例题例题例题2 用云母片（用云母片（n=1.58）覆盖在杨氏双缝的覆盖在杨氏双缝的一条缝上，这时屏上的零级明纹移到原来的第一条缝上，这时屏上的零级明纹移到原来的第 7 级级明纹处。若光波波长为明纹处。若光波波长为 550 nm，求云母片的厚度。求云母片的厚度。712 rr插入云母片后，插入云母片后，P 点为点为 0 级明纹级明纹012nddrrdPo1r2r1s2s解解插入云母片前，插入云母片前，P 点为点为 7 级明纹级明纹6.617nd m 例题例题3波长为波长为 的氦氖激光垂直照射的氦氖激光垂直照射杨氏干涉装置中的间距为杨氏干涉装置中的间距为 的双孔，的双孔，求在

11、求在 远处屏幕上干涉条纹的间距，远处屏幕上干涉条纹的间距，它是波长的多少倍？它是波长的多少倍？（n=1）006328Amm5.0m2解：解：mmmmdDx4.21063285.020007030104dDx从干涉条纹间距可以从干涉条纹间距可以求出相干光的波长，求出相干光的波长，也就是干涉能将光波的周期性放大，也就是干涉能将光波的周期性放大，变为稳定的可观测图样。变为稳定的可观测图样。(P176)6）白光光源的干涉条纹）白光光源的干涉条纹若光源是白光，则干涉条纹的中央若光源是白光，则干涉条纹的中央零级条纹是白色的亮条纹，两边对零级条纹是白色的亮条纹，两边对称地排列着若干条彩色条纹称地排列着若干条

12、彩色条纹 红色的条纹在外面红色的条纹在外面紫色的条纹在里面紫色的条纹在里面 白光的双缝干涉白光的双缝干涉各单色光的各单色光的 0 级明纹重合形成中央明纹级明纹重合形成中央明纹各单色光的各单色光的 1 级明纹错开形成彩色光谱级明纹错开形成彩色光谱更高级次的光谱因重叠而模糊不清更高级次的光谱因重叠而模糊不清因为条纹间距与波长成正比因为条纹间距与波长成正比课下思考：课下思考：1、杨氏双缝干涉条纹的形状？、杨氏双缝干涉条纹的形状？2、条纹宽度与哪些量有关？、条纹宽度与哪些量有关？4.3 两束平行光的干涉场两束平行光的干涉场 求两列相干平面波在求两列相干平面波在 平面波前上的干涉情况平面波前上的干涉情况

13、 0z1）光强分布）光强分布)P(cos)(AA()P(cos)P(I)P(I)P(I)P(I)P(I1222212121zx，yP2k1kO2)位相差分布位相差分布j yi xOPrr120z)()()(0102112212rkrkP01212)cos(cos)cos(cosyxk)coscos(cos1111kjikk)kcosjcosi(coskk2222011101111)coscos(yxkrk022202222)coscos(yxkrk)()(1122rkrknLyx)cos(cos)cos(cos1212，3)光程差分布：光程差分布：设设n100，4)干涉条纹的形状干涉条纹的形状

14、由：由：()Lm得：得：2121(coscos)(coscos)xym2121coscoscoscosyxD xy是处于是处于 平面的如图所示的直线条纹。平面的如图所示的直线条纹。xyxyO5)空间周期和空间频率空间周期和空间频率（1）空间周期定义）空间周期定义时的时的 Cy xCx y时的时的（2）空间频率定义）空间频率定义xfx/1yfy/1xyxyO（3）具体表达式）具体表达式myxkP2)cos(cos)cos(cos)(01212令：令：Cy 得得：)cos(cos212kmx1m则：则：120coscosxxyxyO同理：同理：120coscosy则：则：012coscos1xfx

15、012coscos1yfyxyxyO干涉条纹是干涉条纹是x-y平面中的平面中的垂直于垂直于 轴的直线条纹轴的直线条纹x（4）两平面波沿平面）两平面波沿平面 传播时传播时 的空间周期的空间周期 zx 20290，1019002190，120sinsinxy21sin20 xy若：若：杨氏双缝干涉杨氏双缝干涉(5)两平面波沿平面两平面波沿平面 传播时的光程差传播时的光程差 zx02190则：则：21()(coscos)2 sinLxxzx，yP1k2kxLO112221若：若：0229010190sin20 x光的干涉光的干涉波动光学波动光学：以麦克斯韦电磁理论为基础，主要研究光以麦克斯韦电磁理论

16、为基础，主要研究光的干涉、衍射、偏振现象的干涉、衍射、偏振现象光的干涉部分总结光的干涉部分总结例题分析例题分析作业题作业题分析分析11球面波复振幅表达式的特点球面波复振幅表达式的特点 其中方向从点光源其中方向从点光源Q指向观察场点指向观察场点P rrrQPr_rk/)(exp)(PiraPU00)(krrkP求解球面波问题时要将求解球面波问题时要将 r r 展开成：展开成：222222xyxyxxyyrzzzz 2平面波复振幅表达式的特点平面波复振幅表达式的特点方向从坐标原点方向从坐标原点O指向观察场点指向观察场点P)(_kzj yi xrOPr)coscos(coskjikkkjkikkkk

17、zyx)(exp)(PiAPU000)()coscoscos()(zkykxkzyxkrkPzyx光的干涉部分总结光的干涉部分总结23光的干涉和相干条件光的干涉和相干条件频率相同频率相同存在相互平行的振动分量存在相互平行的振动分量位相差稳定位相差稳定 2）光的相干条件）光的相干条件31）光的干涉）光的干涉两列或多列光波在空间传播时相遇叠加，若满足相干条件，合光强不再是各两列或多列光波在空间传播时相遇叠加，若满足相干条件，合光强不再是各个波列光强的简单相加，我们称这种光强重新分布的现象为个波列光强的简单相加，我们称这种光强重新分布的现象为光波的干涉光波的干涉。1）双光束干涉）双光束干涉4干涉问题

18、的基本类型干涉问题的基本类型2）多光束干涉）多光束干涉球面波和平面的干涉球面波和平面的干涉两球面波的干涉两球面波的干涉两平面波的干涉两平面波的干涉5干涉求解的问题干涉求解的问题2）干涉条纹的形状、间距、条纹反衬度以及条纹的移动变化等特征。）干涉条纹的形状、间距、条纹反衬度以及条纹的移动变化等特征。1）波前平面上的相干光强分布；）波前平面上的相干光强分布；4这是波动光学部分求解的主要内容！这是波动光学部分求解的主要内容！（贯穿全书）（贯穿全书）niiiniitAtPUtPU11)cos(),(),(iiiirk02）矢量图解法）矢量图解法6求相干光强分布的方法求相干光强分布的方法1）三角函数法）

19、三角函数法AA1A212A323(波的叠加原理波的叠加原理)3）复振幅迭加法）复振幅迭加法)exp(iiiiAUniiUU1)*)(*iiUUUUI567双光束干涉问题的求解方法双光束干涉问题的求解方法 1）相干光强）相干光强凡是双光束问题，其相干光强分布凡是双光束问题，其相干光强分布：cos2)cos(2212112212221IIIIAAAAI2）条纹方程）条纹方程(不需具体求解不需具体求解)221102012()()()(0,1,2,)(21)mPk rk rmm 2211()()(0,1,2,)(1/2)mLn krkrmm 00102如果已知如果已知，则往往只需求解光程差：，则往往只

20、需求解光程差：明纹条件明纹条件暗纹条件暗纹条件明纹条件明纹条件暗纹条件暗纹条件首先求出位相差和光程差的具体表达式，首先求出位相差和光程差的具体表达式，然后通过令然后通过令 221102012()()()(21)mPkrk rm或令或令)2/1()()(1122mmrkrknL得到干涉条纹的形状方程，然后再进一步求得干涉条纹的特征。得到干涉条纹的形状方程，然后再进一步求得干涉条纹的特征。3）求解干涉条纹特征的方法）求解干涉条纹特征的方法78多光束干涉问题的求解方法多光束干涉问题的求解方法1 1）求出每一束相干光的位相：）求出每一束相干光的位相：2）写出每一束相干光的复振幅：）写出每一束相干光的复

21、振幅：3）求出复振幅的和：）求出复振幅的和：4）求出相干光强）求出相干光强 5）令）令 得到干涉条纹形状方程，再由此进一步求出干涉得到干涉条纹形状方程，再由此进一步求出干涉 条纹的特征。条纹的特征。MII 0rkii)exp(iiiiAUniiUU1)*)(*iiUUUUI81将透镜对剖后再沿光轴方向将两半块透镜错开一定距离放将透镜对剖后再沿光轴方向将两半块透镜错开一定距离放置，单色点光源置，单色点光源 S 放置在透镜左方，经透镜在右方形成两个放置在透镜左方，经透镜在右方形成两个间距为间距为 2a 的实像点的实像点 S1 和和 S2，在在 S1 和和 S2 的中点处放置一个与的中点处放置一个与

22、光轴垂直的观察屏幕，构成梅斯林干涉装置。标出屏幕上的相光轴垂直的观察屏幕，构成梅斯林干涉装置。标出屏幕上的相干区域？在傍轴条件下求屏上干涉条纹的形状和间距？干区域？在傍轴条件下求屏上干涉条纹的形状和间距？例题分析例题分析M解解：如图如图1，过光源，过光源S做过做过透镜透镜L1和和L2顶部边框处的顶部边框处的光线，其交于点光线，其交于点M。（1）相干区是）相干区是S2MS1三角三角 形围成的区域形围成的区域.9(2)(2)任取位于相干区域内屏上的任取位于相干区域内屏上的 一点一点 P,求两条光路在求两条光路在 P点相遇时的点相遇时的位相差：位相差：)()(01021122rkrkP0222022

23、2)()2(SSLkaakkr01120111)()2(SSLkaakkraSSSSSSLSSL2)()()()(121122makP2)()(212mayx222干涉条纹是以坐标原点为圆心的半圆形条纹。干涉条纹是以坐标原点为圆心的半圆形条纹。2a明纹中心明纹中心:条纹的间距为：条纹的间距为：00102注意：注意：102一列波长为一列波长为、在在x-z平面沿与平面沿与z轴成角轴成角方向传播的方向传播的平面波平面波与与一列源点在轴上距坐标原点为一列源点在轴上距坐标原点为a、波长也是波长也是的的球面波球面波在在z=0平平面相遇发生干涉。面相遇发生干涉。设球面波在源点处和平面波在坐标原点处的设球面波

24、在源点处和平面波在坐标原点处的实际初位相均为零实际初位相均为零，在傍轴条件下求，在傍轴条件下求z=0平面上干涉条纹的形平面上干涉条纹的形状和间距？状和间距？解：解：因此只求光程差就可以给出条纹特征，不必求合光强和位相差。因此只求光程差就可以给出条纹特征，不必求合光强和位相差。(,)即即 mrkrkL1122)(就是产生明纹的条件，即干就是产生明纹的条件，即干涉条纹形状方程涉条纹形状方程1n0z球面波：球面波：aarrk22222平面波：平面波：j yi xrOPr1_1kikikcossincoscos1111100201双光束问题双光束问题sincos111xxrk)(22a因此因此 mxa

25、arkrkLsin2)(2112222222sin2aamaxyxAamaaamaxy2sin22)sin(22222Aam 22干涉条纹是以干涉条纹是以(asin,0,0)为圆心的同心圆为圆心的同心圆 ma22令 1m条纹间距即为条纹间距即为 a123.在杨氏双孔干涉装置的圆孔在杨氏双孔干涉装置的圆孔 S1后面放置一块厚度为后面放置一块厚度为 t、折射率为折射率为n=1.58的平板薄玻璃。若双孔所在屏到屏幕的垂直距离为的平板薄玻璃。若双孔所在屏到屏幕的垂直距离为D=50cm，双孔间距为双孔间距为d=0.1cm，放置薄玻璃后零级干涉条纹的坐标为放置薄玻璃后零级干涉条纹的坐标为x=0.2cm。并

26、假设在傍轴条并假设在傍轴条件下光线均垂直穿过薄玻璃，求玻璃的厚度？件下光线均垂直穿过薄玻璃，求玻璃的厚度？未放玻璃片时光程差为：未放玻璃片时光程差为：解：解：21sindL rrdxD 放玻璃片时光程差为：放玻璃片时光程差为：)(12nttrrL)1(12xDdtnrrcmDndxt4109.650)158.1(1.02.0)1(0)(12nttrrL由由13解：解：亮条纹轨迹方程为亮条纹轨迹方程为 4.4.两相干点源两相干点源 S1 和和 S2 的间距为的间距为a a，观察屏垂直两点源的连线观察屏垂直两点源的连线,且距两点源且距两点源中点中点OO的距离为的距离为D D，设设 D D a a，

27、求在傍轴条件下屏幕上干涉条纹的形状及间求在傍轴条件下屏幕上干涉条纹的形状及间距？距？mrrkrkrk2)()(01210201122)2/(2)2(21aDaDr)2/(2)2(22aDaDr22222122)4/(2DaaaDaarrrmDakka22022CmaD222aD21m形成圆形干涉条纹，圆心在坐标原点处形成圆形干涉条纹，圆心在坐标原点处 干涉条纹的间距为：干涉条纹的间距为：若若 C=0，有：，有：1415如图中观测情况，杨氏双缝干涉如图中观测情况，杨氏双缝干涉条纹：条纹：等间距的平行条纹。等间距的平行条纹。3270.45 101.5 101.296.25 106250dxDm历史

28、上最早的测量波长一种是实历史上最早的测量波长一种是实际方法。际方法。作业题作业题2解答解答作业题分析作业题分析1612z),(yxO如图情况，记录介质如图情况，记录介质（x,y）上的干上的干涉条纹与涉条纹与 x 轴垂直，与轴垂直，与 y 轴平行。轴平行。干涉条纹间距干涉条纹间距：2121coscossinsinx 12两束光对称入射两束光对称入射(1)0125时，时，mx6.31(2)01230时，时，mx63.02(3)上述两种情况下干涉条纹的空间分辨率分别为：上述两种情况下干涉条纹的空间分辨率分别为：mmxf276111mmxf1580122f1和和f2均小于记录介质的空间分辨均小于记录介

29、质的空间分辨率，所以可以记录上述两种条纹。率，所以可以记录上述两种条纹。作业题作业题3解答解答如图，三束相干平行光在坐标原点如图，三束相干平行光在坐标原点O O 处的初位相处的初位相 ，1）复数法）复数法00302010321901:2:1:321AAAj yi xrOPrrr_321)0(zAAAA222312设设)cos(sin1kikkkkk2)cossin(3kikksin111kxrk0222rksin333kxrk170030201振幅比振幅比A1:A2:A3=1:2:1，传播方向均与传播方向均与x-zx-z平面平行，与平面平行，与z z轴的夹轴的夹角分别为角分别为,0 0,-，试

30、用复数法和矢量图解法求试用复数法和矢量图解法求z=0z=0波前上的光波前上的光强分布函数，并分析干涉条纹的特征。强分布函数，并分析干涉条纹的特征。-Oz2k1k3kx解：解：)sinexp(1ikxAU AU22)sinexp(3ikxAU作业题作业题6解答解答iAeU 1AU22iAeU32()2(1 cos)iiiUUAA eeA)2/(cos16)cos1(4*4222AAUUI)2/(cos1640II 18sin2x令令2）矢量图解法：）矢量图解法：222224(22cos)4(1cos)16cos(/2)IAAAAAsin2x)2/(cos1640II（已知振幅和位相差）（已知振幅

31、和位相差）3）干涉条纹特征）干涉条纹特征（1）条纹形状）条纹形状m2),2,1,0(m干涉图样为垂直于干涉图样为垂直于x轴的直线条纹轴的直线条纹 sinmx 19MII，得：，得：令令（2）条纹间距）条纹间距 sinsin1mmx明条纹形状方程：明条纹形状方程：（3）条纹反衬度）条纹反衬度 016 IIM0mI1mMmMIIII（4）只有）只有 和和 两束波时的双光束干涉的条纹特征两束波时的双光束干涉的条纹特征1k3kcos2)(31AeeAUUUii)sin2(xcos4cos4*2022IAUUI时mMIIsin2mx 为干涉场产生明纹函数，为干涉场产生明纹函数，垂直于垂直于x轴的直线条纹

32、。轴的直线条纹。条纹间距条纹间距 xmx21sin2sin2)1(04IIM0 mI1mMmMIIII20（5）三光束干涉与两光束的干涉条纹特征的比较）三光束干涉与两光束的干涉条纹特征的比较两光束干涉条纹间距比三光束时缩小一半两光束干涉条纹间距比三光束时缩小一半三光束干涉条纹的锐度增加为两光束时的四倍三光束干涉条纹的锐度增加为两光束时的四倍xx21MMII4zxOC(0,0,-a)根据题意可写出根据题意可写出z=0z=0的平面上平面的平面上平面波和傍轴球面波的复振幅分布函波和傍轴球面波的复振幅分布函数分别为：数分别为：11),(AyxU2222(,)exp()2xyU x yAi ka解：解：

33、其中其中常数，是两列波在的平面的原点常数，是两列波在的平面的原点 z=0 z=0 处的位相差处的位相差。2212(,)exp()2xyU x yAAi ka总的复振幅分布为：总的复振幅分布为：干涉强度分布为：干涉强度分布为：2222121222221212(,)(,)exp()exp()222cos()2IU x yU x yxyxyAAi kAAi kaaxyAAAAka 21作业题解答作业题解答7常数ayxkyx2),(22平面上任意一场点（平面上任意一场点（x,y）处两列波的处两列波的位相差等于常数位相差等于常数的轨迹为的轨迹为等光强的轨等光强的轨迹，也就是干涉条纹的轨迹迹，也就是干涉条纹的轨迹。干涉条纹的轨迹方程为：干涉条纹的轨迹方程为：常数222ryx所以干涉条纹的形状是以原点为中心的一系列同心圆环所以干涉条纹的形状是以原点为中心的一系列同心圆环 第第N级亮环的条件为：级亮环的条件为：Nayxkyx22),(22rar干涉条纹间距干涉条纹间距：如取如取 为为 2 的整数倍，即当中心为亮点的情形，的整数倍，即当中心为亮点的情形，得得N级亮环半径级亮环半径：),2,1,0(222222NaNNkayxrN12rNaNrN22