1、5.2二项式系数的性质一、二项式定理的规律1、二项式系数规律、二项式系数规律nn2n1n0nCCCC、2、指数规律、指数规律（1）各项的次数均为）各项的次数均为n；（2）字母）字母 a 的次数由的次数由n降到降到0，字母字母 b 的次数由的次数由0升到升到n.3、项数规律、项数规律二项展开式共有二项展开式共有n+1项项4、二项式通项、二项式通项kknknkbaCT1 二、杨辉三角01C11C221202CCC33231303CCCC4434241404CCCCCn=0n=1n=2n=3n=4n=5n=6 二、杨辉三角伟大的数学家伟大的数学家杨辉，字谦光，钱塘杨辉，字谦光，钱塘(今杭州今杭州)人
2、，中国古代数学家人，中国古代数学家和数学教育家。由现存文献可推知，杨辉担任过南和数学教育家。由现存文献可推知，杨辉担任过南宋地方行政官员，为政清廉，足迹遍及苏杭一带，宋地方行政官员，为政清廉，足迹遍及苏杭一带，他署名的数学书共五种二十一卷。他是世界上第一他署名的数学书共五种二十一卷。他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。与秦九韶、李治、朱世杰并趁称宋元数学四大家。与秦九韶、李治、朱世杰并趁称宋元数学四大家。二、由杨辉三角研究二项式系数的性质nnnnnn,C,C,CCba210次次是是：展展开开式式的的二二项项式式系系数数依依)(r
3、nCrf)(令令定义域定义域0,1,2,n 当当n=6时时,其图象是其图象是7个孤立点个孤立点61420O63r f(r)问题问题1：一般地，都具有对称性吗？：一般地，都具有对称性吗？二、由杨辉三角研究二项式系数的性质性质性质1 对称性：在二项展开式中，与首末两端对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离等距离”的两项的二项式系数相等的两项的二项式系数相等.mnnmnCC性质性质2 在相邻的两行中，除在相邻的两行中，除1外的每一个数都等外的每一个数都等于它于它“肩上肩上”两个数的和两个数的和.rnrnrnCCC1101C11C221202CCC33231303CCCC4434241404CCC
4、CCn=0n=1n=2n=3n=4n=5n=6 二、由杨辉三角研究二项式系数的性质 二、由杨辉三角研究二项式系数的性质性质性质3 增减性与最大值：增减性与最大值：kkknnnnCkn)!().()(1121kknCkn112111nkkkn由由 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。时时当当21nk2nnC当当n是偶数时，中间的一项是偶数时，中间的一项 取得最大值取得最大值 ；21 nnC21 nnC当当n是奇数时，中间的两项是奇数时，中间的两项 ，相等，且相等，且同时
5、取得最大值。同时取得最大值。二、由杨辉三角研究二项式系数的性质性质性质4 各项二项式系数的和：各项二项式系数的和：nnnnnnCCCC221015314202nnnnnnnCCCCCC在奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，在奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即即 二、由杨辉三角研究二项式系数的性质性质性质5从杨辉三角中一个确定的数的从杨辉三角中一个确定的数的“左（右）肩左（右）肩”出出发，发，向右（左）上方作一条和左斜边平行的射线，向右（左）上方作一条和左斜边平行的射线，在这条射线上的各数的和有何特征？在这条射线上的各数的和有何特征？)(rnCCCCCrnrnrr
6、rrrr1121（第（第r+1条斜线）条斜线）二、由杨辉三角研究二项式系数的性质性质性质6 如图，写出斜线上各行数字的和，发现有什么规律？)(321naaannn 1，1，2，3，5，8，13，21著名的斐波那契数列著名的斐波那契数列 三、二项式定理的逆用54325432121(1)(1)5(1)10(1)10(1)5(1)(2)(21)5(21)10(21)10(21)5(21)1(3)1242nnnnnxxxxxxxxxxCCC例：化简55:1.(1)1;(2)32;(3)3.nxx答案 三、二项式展开式中的特定项问题2322253101(1)(2).nxxx例：若的展开式中第 项的系数与第 项的系数的比是：，证明展开式中没有常数项；求展开式中含的项431,2(1)(2).nxxxx例：若展开式中前三项系数成等差数列 求：展开式中含 一次幂的项；展开式中所有 的有理项 四、三项式、多项式问题52432.xxx例：求的展开式中 的一次项的系数523163.xxx 例：求展开式中的常数项31(1)21(2)220,.nxxxnx例5：求展开式中的常数项；若的展开式的常数项为求 五、小结与作业小结小结:作业作业:课本课本P28A组组
