大学高等数学-第八章-空间解析几何与向量代数-公开课课件.ppt

1、第八章空间解析几何与向量代数 本章先引入空间直角坐标系，把点和有序数组、本章先引入空间直角坐标系，把点和有序数组、空间图形和代数方程联系起来，建立起对应关系，空间图形和代数方程联系起来，建立起对应关系，给数和代数方程以几何直观意义，从而可以利用代给数和代数方程以几何直观意义，从而可以利用代数方法研究空间图形的性质和相互关系；接着介绍数方法研究空间图形的性质和相互关系；接着介绍向量概念，然后以向量代数为工具，重点讨论空间向量概念，然后以向量代数为工具，重点讨论空间基本图类基本图类平面，直线，常用的曲面和曲线。平面，直线，常用的曲面和曲线。重点重点向量及其坐标表示向量及其坐标表示向量的数量积，向量

2、积向量的数量积，向量积直线与平面方程直线与平面方程难点难点空间图形的想象能力和描绘能力空间图形的想象能力和描绘能力基本要求基本要求弄清空间直角坐标系概念，会求两点间的距离弄清空间直角坐标系概念，会求两点间的距离.掌握向量概念，会用坐标表示向量掌握向量概念，会用坐标表示向量掌握向量代数的基本知识掌握向量代数的基本知识熟记两向量平行、垂直及三向量共面的条件并能正确熟记两向量平行、垂直及三向量共面的条件并能正确 运用运用.掌握平面方程的各种形式，会求平面方程，会判断两掌握平面方程的各种形式，会求平面方程，会判断两平面是否平行、垂直，会求两平面的夹角及点到平面的平面是否平行、垂直，会求两平面的夹角及点

3、到平面的距离距离.掌握直线方程的各种形式，会求直线方程，掌握两直掌握直线方程的各种形式，会求直线方程，掌握两直线平行、垂直的条件，直线与平面平行、垂直的条件，线平行、垂直的条件，直线与平面平行、垂直的条件，两直线的夹角，直线和平面的夹角两直线的夹角，直线和平面的夹角.掌握曲面方程、旋转曲面、柱面、二次曲面和曲线方程掌握曲面方程、旋转曲面、柱面、二次曲面和曲线方程概念，了解空间常用二次曲面的标准方程概念，了解空间常用二次曲面的标准方程.第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算第八章第八章一、向量的概念一、向量的概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系四、

4、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影1 1、定义、定义：既有大小又有方向的量叫做既有大小又有方向的量叫做向量向量.在数学中在数学中,用用有向线段有向线段表示向量表示向量.1M2M有向线段的长度有向线段的长度表示表示向量的大小向量的大小,有向线段的方向有向线段的方向表示表示向量的方向向量的方向.MM,2121记作示的向量为终点的有向线段所表为起点、以MM一、向量的概念一、向量的概念,等等如示向量也可用粗体字母表Fvia.,等如头的书写体字母表示向量还可用在上面加箭Fvia2、自由向量：、自由向量：在数学上只考虑向量的在数学上只考

5、虑向量的大小和方向大小和方向,而不而不 考虑向量的起点考虑向量的起点.这种这种与起点无关与起点无关的向量的向量 叫做叫做自由向量自由向量.,bababa记作是相等的和就说向量方向相同大小相等和如果两个向量经过平行移动后能经过平行移动后能完全重合完全重合的向量是的向量是相等相等的的.4 4、向量的模、向量的模：.2121aa、的模依次记作、向量的模向量的大小叫做向量aMMaMM5 5、单位向量、单位向量：.1 的向量叫做单位向量模等于6 6、零向量：、零向量：.0 ,或记作向量模等于零的向量叫做零03 3、相等向量、相等向量：零向量的起点与终点重合，它的方向可以看做是任意的.,bOBaOAOba

6、作任取空间一点设有两个非零向量.0 ,之间任意取值与夹角可以在规定它们的中有一个是零向量与如果向量baoABab,)0,(的夹角与称为向量设的规定不超过baAOBAOB.),(),(),(baabba即或记作7 7、向量的夹角、向量的夹角零向量与任何向量都平行零向量与任何向量都平行./0),(bababa平行，记作与，就称向量或如果.2),(bababa垂直，记作与，就称向量如果abc8 8、向量平行、向量平行9 9、向量垂直、向量垂直 当两个平行向量的当两个平行向量的起点起点放在同一点时，它们的放在同一点时，它们的终点和公共起点终点和公共起点应在一条直线上，因此，两向量平应在一条直线上，因此

7、，两向量平行，又称向量共线行，又称向量共线.设有设有 k（k 3）个向量，当把他们的个向量，当把他们的起点起点放放在同一点时，如果在同一点时，如果 k 个终点和公共起点个终点和公共起点在一个平在一个平面上，就称这面上，就称这 k 个向量共面个向量共面.1010、向量共线、向量共线1010、向量共面、向量共面oabcABCDabc1.1.向量的加法向量的加法三角形法则三角形法则或平行四边形法则或平行四边形法则运算规律运算规律:交换律交换律结合律结合律三角形法则可推广到多个向量相加三角形法则可推广到多个向量相加.abba abcba cb)(cbacba)(二、向量的线性运算二、向量的线性运算cb

8、a )()(cba cba ba aBAbCaABba CbDbs3a4a5a2a1a54321aaaaas多个向量相加的情况多个向量相加的情况三角不等式三角不等式有有时时特特别别当当,abaa abb cbabac)(b ba)(ba .0)(aa.|,|babababa .同同向向或或反反向向时时成成立立与与其其中中等等号号在在bac .(量被减向量）的终点的向减向量）的终点指向是一个从向量abba2.2.向量的减法向量的减法 ,aa记作记作的乘积是一个新向量的乘积是一个新向量与实数与实数向量向量aa 规定规定 :;0aaaa，同向同向与与时，时，;,0aaaa，反向反向与与时时.0,0a

9、时时总之总之,a2a21 3.3.向量与数的乘法向量与数的乘法 (数乘数乘 )a4、向量与数的乘积的运算规、向量与数的乘积的运算规律律;)()()(1)aaa结合律.)(;)()2(babaaaa分配律向量的加减法及数乘统称为向量的加减法及数乘统称为向量的线性运算向量的线性运算.,0a若若ae则有单位向量,|1aaaeaa因此任一非零向量总可以写成它自身的模与一个与它同任一非零向量总可以写成它自身的模与一个与它同方向的单位向量的数乘方向的单位向量的数乘.的单位向量a5、的单位向量称为aea.,.,交点是平行四边形对角线的这里和表示向量和试用设中在平行四边形MMDMCMBMAbabADaABAB

10、CD 由于平行四边形的对角线互相平分由于平行四边形的对角线互相平分,2)(,2 MAbaAMACba即).(21 baMA于是.2,baMCMAMC所以因为CDABabM例例1 1解：解：,2)(,abMDBDba所以又因,MDMB由于.2 baMB所以补例补例 化简化简 53215abbba解：解：53215abbbaba 551251)31(.252ba 补例（补例（P12 2）试用向量方法证明：对角线互相平试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形分的四边形必是平行四边形.证证ABCDMAMMC BMMD AD AM MDMC BMBC AD与与 平行且相等平行且相等,BC结

11、论得证结论得证.,行关系积来说明两个向量的平所以常用向量与数的乘平行与因为向量aa.,:,0 ababa使得存在唯一的实数必要条件是的充分平行于那么向量设向量定理定理1 16、数轴与向量、数轴与向量数轴可由一个点、一个方向及单位长度确定，故数轴可由一个点、一个方向及单位长度确定，故给定一个点及一个单位向量即可确定一条数轴给定一个点及一个单位向量即可确定一条数轴.Ox如图，如图，点点O O 及单位向量及单位向量i确定了数轴确定了数轴 Ox.iP在轴上任取一点在轴上任取一点P P,则有则有 ，iOP/从而存在唯一从而存在唯一的的 x R 使得使得 且有且有ixOP xi xOPP 实数实数向量向量

12、点点O定点定点三个坐标轴的正方三个坐标轴的正方向符合向符合右手法则右手法则.,kjiOOxyz；或空间直角坐标系x 横轴横轴iy 纵轴纵轴jz 竖轴竖轴k三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系xoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有八个卦限空间直角坐标系共有八个卦限.xyOz各卦限中点的坐标的特点各卦限中点的坐标的特点0,0,00,0,00,0,00,0,00,0,00,0,00,0,00,0,0),(),(zyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyx点的坐标点的坐标卦限卦限点的坐标点的坐标卦限卦限xyzOMPQRM),(zyx一一对应一一对应zyx),(zyxMOxyz

13、PNQKRHOROQOPNMPNOPOMr.kjizyx.,坐标轴方向的分向量称为向量沿三个、的坐标分解式向量kjirzyx向量的坐标表示向量的坐标表示rijk).,(.,zyxMMMzyxMzyx记记为为将将点点坐坐标标的的横横坐坐标标、纵纵坐坐标标和和竖竖为为点点和和、依依次次称称的的坐坐标标称称为为点点数数zyx),(zyxMOxyzPNQKRH).,(,zyxzyxrr 记为的坐标也称为向量数).,(zyxzyxOMkjirMrikjxoy面面xyOz),(zyxMxyzxyOz在直角坐标系下点的坐标在直角坐标系下点的坐标点点 M 11有序数组有序数组),(zyx 11向径向径称为点称

14、为点 M 的的坐标坐标.r),(zyxMBrxCQ空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx 11特殊点的表示特殊点的表示:)0,0,0(O),(zyxM xyzo)0,0,(xP)0,0(yQ),0,0(zR)0,(yxA),0(zyB),(zoxC坐标轴上的点坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点坐标面上的点,A,B,C坐标轴坐标轴:轴轴x00 zy00 xz轴轴y轴轴z00 yx坐标面坐标面:面面yox0 z面面zoy0 x面面xoz0 yxyzo设设),(zyxaaaa ,),(zyxbbbb 则则 ba),(zzyyxxbababa a),(zyxaaa ba,0时时当当aab xx

15、ab yyab zzab xxab yyabzzab平行向量对应坐标成比例平行向量对应坐标成比例:，为实数为实数四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算;,0 ,0,0 zzyyxzyxababbaaa上式应理解为上式应理解为、如果如果.0,0 ,0,0 yxzyxbbaaa上式应理解为上式应理解为如果如果.zzyyxxababab ).2,1 ,1(),2 ,1 ,2(,23,35babyxayx其其中中线线性性方方程程组组求求解解以以向向量量为为未未知知元元的的解解：例例2 2.2 3,得得bax32 )10,1,7(代入得代入得bay53)16,2,11(.,1),(),

16、(222111MBAMMABzyxBzyxA 使使上求点上求点在直线在直线以及实数以及实数和和知两点知两点如图所示如图所示,由于由于OxyzAMB,OMOBMBOAOMAM即得代入的坐标点即点的坐标以,),(,BAOBOA).1,1,1(212121 zzyyxxOM这就是这就是M点的坐标点的坐标.),(OMOBOAOM 因此因此).(11OBOAOM从而例例3 3解：解：得得定比分点公式定比分点公式:,121 xxx,121 yyy.121 zzz,1时时当当点点 M M 为为 ABAB 的中点的中点 ,于是得于是得ABMo),(11),(212121zzyyxxzyx 中点公式中点公式,221xxx ,221yyy .221zzz 说明说明:作业:P12 4、6、8、9、11