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2020届内蒙古包头市高三上学期期末教学质量检测数学文科试题(解析版).docx

1、20192020学年度第一学期高三年级期末教学质量检测试卷数学(文科)注意事项:1.本试卷分第卷和第卷两部分,答卷前,考生务必将自己的姓名、考场、座位号写在答题卡上,将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分,考试时间120分钟.2.做选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将答题卡交回.第卷一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1.已知集合,则( )A. B. C. D.

2、 【答案】C【解析】【分析】先化简集合,再求两个集合的交集.【详解】因为,又因为所以故选:C【点睛】本题主要考查了集合的运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.2.复数(为虚数单位)的共轭复数是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先化简复数为代数形式,再根据共轭复数概念求解.【详解】因为,所以其共轭复数是,选C.【点睛】本题考查共轭复数概念,考查基本分析求解能力,属基本题.3.已知,则( )A. B. 8C. D. 128【答案】A【解析】【分析】先求向量的坐标,再求其模.【详解】因为所以故选:A【点睛】本题主要考查了向量的运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.4.甲

3、、乙两班举行数学知识竞赛,参赛学生的竞赛得分统计结果如下表:班级参赛人数平均数中位数众数方差甲4583868582乙45838485133某同学分析上表后得到如下结论:甲、乙两班学生的平均成绩相同;乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数(竞赛得分分为优秀);甲、乙两班成绩为85分的学生人数比成绩为其他值的学生人数多;乙班成绩波动比甲班小.其中正确结论有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】看两班的平均数易知正确;看两班的中位数正确;看两班的众数正确;看两班的方差.【详解】从表看出甲、乙两班学生的平均成绩相同,正确;因为乙班的中位数比甲班的小,所以正确;根据甲、乙两班

4、的众数,所以正确;因为乙班的方差比甲的大,所以波动比甲班大,所以错误故选:C.【点睛】本题主要考查了样本中的数字特征,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.5.某种饮料每箱装6罐,每箱中放置2罐能够中奖的饮料,若从一箱中随机抽取2罐,则能中奖的概率为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求从6罐中随机抽取2罐的方法数,再求能中奖的方法数,再用古典概型求概率.【详解】从6罐中随机抽取2罐的方法数是 能中奖的方法数是则能中奖的概率为概率为 故选:D【点睛】本题主要考查了古典概型的概率的求法,还考查了运算求解的能力,属于基础题.6.设为奇函数,且当时,则当时,( )A. B. C.

5、 D. 【答案】B【解析】【分析】先设时,则,再由为奇函数,则有求解.【详解】设时,则所以又因为奇函数,所以故选:B【点睛】本题主要考查了利用奇偶性求解析式,还考查了运算求解的能力,属于基础题.7.直线与平面平行的充要条件是( )A. 直线上有无数个点不在平面内B. 直线与平面内的一条直线平行C. 直线与平面内的无数条直线都平行D. 直线与平面内的任意一条直线都没有公共点【答案】D【解析】【分析】A. 由无数个点不代表所有的点来判断,B.由线面平行的判定定理来判断, C. 由无数个不代表所有的来判断D. 由直线与平面平行的定义来判断.【详解】A. 无数个点不是所有点,所以不正确;B. 缺少直线

6、在平面外,所以不正确;C. 无数条直线不是所有的直线,所以不正确;D. 由直线与平面平行的定义,正确.故选:D【点睛】本题主要考查了线面平行的定义及判定定理,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.8.若抛物线的焦点与椭圆的上顶点重合,则( )A. B. C. 2D. 4【答案】B【解析】【分析】分别求得椭圆的上顶点和抛物线的焦点坐标,再利用重合求解.【详解】椭圆的上顶点是 抛物线的焦点因为两点重合所以所以故选:B【点睛】本题主要考查了椭圆和抛物线的几何性质,还考查了运算求解的能力,属于基础题.9.下列函数中,以为周期且在区间单调递增的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别

7、作出这四个函数的图象,再根据条件来判断.【详解】A. 的图象如下:最小正周期是 不正确,B. 的图象如下:最小正周期是 不正确C. 的图象如下:最小正周期是,在区间单调递增,正确 D. 的图象如下:最小正周期是,在区间单调递减,不正确 故选:C【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质,还考查了理解辨析的能力,属于中档题.10.已知,则的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】根据均值不等式,可有,则,再利用不等式的基本性质,两边分别相加求解。【详解】因为所以所以所以所以两边分别相加得当且仅当 取等号故选:B【点睛】本题主要考查了均值不等式,还考查了运算求解的能力,属于中

8、档题.11.已知双曲线:的右顶点为,以为圆心,为半径作圆,圆与双曲线的一条渐近线交于、两点.若,则双曲线的离心率为( )A. B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求右顶点到条渐近线的距离,再根据,利用求解.【详解】因为双曲线:的右顶点为,双曲线的一条渐近线 右顶点到一条渐近线的距离 又因为,所以解得 故选:D【点睛】本题主要考查了双曲线的性质和直线与圆的位置关系,还考查了运算求解的能力,属于中档题.12.设,且,记,则,的大小关系为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先令,得到,所以,根据结构,构造函数,再利用单调性比较大小.【详解】设,所以,令则因为所以在上是

9、增函数,又因为所以故选:A【点睛】本题主要考查了构造函数法比较数的大小,还考查了构造,论证的能力,属于中档题.第卷二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上对应题的横线上.)13.若变量,满足约束条件,则的最大值是_.【答案】1【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域,再平移目标函数所在的直线,找到最优点,再将其坐标代入目标函数求解.【详解】由约束条件,画出可行域,再平移目标函数所在的直线,找到最优点,将其坐标代入目标函数,则故答案为:1【点睛】本题主要考查了线性规划求最值,还考查了数形结合的思想,属于基础题.14.我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中

10、,有5个车次正点率为0.97,有10个车次的正点率为0.98,有5个车次正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_.【答案】0.98【解析】【分析】先求得总车次,再利用平均正点率求解.【详解】因为总车次:5+10+5=20所以平均正点率: 则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98故答案为:0.98【点睛】本题主要考查了样本估计总体,还考查了运算求解的能力,属于基础题.15.在圆内接四边形中,则的面积为_.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理在中,有,在中,有再根据内接四边形对顶角互补,两式相加得再用正弦定理求解.【详解】根据题意在中,在中,又因为所以所

11、以两式相减得所以故答案为:【点睛】本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.16.如图,棱长为1的正方体木块经过适当切割,得到棱数为12的正八面体(正多面体是由全等的正多边形围成的多面体).已知面平行于正方体的下底面,且该正八面体的各顶点均在正方体的面上,若在侧面内,且该正八面体的体积为,则该正八面体的棱长为_,点到棱的距离为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】先明确正八面体中两个正四棱锥的高是,从而求得底面积,再根据底面是正方形求解.【详解】设正八面体的棱长为 根据题意正八面体中两个正四棱锥的高是所以 所以所以设点到棱的距离为根据题意故答案为:

12、(1). (2). 【点睛】本题主要考查了棱锥体积的有关计算,还考查了运算求解的能力,属于中档题.三、解答题(共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)(一)必考题:共60分.17.如图,在四棱锥中,底面为正方形,侧面为正三角形,侧面底面,为的中点.(1)求证:平面;(2)若,求四棱锥的体积.【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】(1)由底面是正方形,条件,再由侧面底面,利用面面垂直的性质定理,得平面,所以,再由,利用线面垂直的判定定理得证.(2)由侧面底面,得底面,求得到底面的距离,再由.求解.【详解】(1)证明:底面是正方形,侧面底面,侧面底面,由面面垂直的性质

13、定理,得平面,平面,又是正三角形,为的中点,又,平面.(2)过点作,侧面底面,侧面底面,底面,为正三角形,为的中点,到底面的距离,四棱锥的体积.【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理,体积的求法,还考查了推理论证运算求解的能力,属于中档题.18.设是等差数列,是等比数列,公比大于0,已知,.(1)求和的通项公式;(2)记,求数列的前项和.【答案】(1),.(2)【解析】【分析】(1)由是等差数列,是等比数列,设等差数列的公差为,等比数列的公比为,再由 ,.列方程求解.(2)由(1)得,再利用错位相减法求前项和.【详解】(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,则由题意,

14、得,解得:,故,.(2), -得:,.【点睛】本题主要考查了等差、等比数列的通项公式和 错位相减法求前项和,还考查了运算求解的能力,属于中档题.19.已知某校甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数分别为36,24,12.现采用分层抽样的方法从中抽取6人,进行睡眠质量的调查.(1)应从甲、乙、丙三个兴趣小组的学生中分别抽取多少人?(2)设抽出的6人分别用、表示,现从6人中随机抽取2人做进一步的身体检查.(i)试用所给字母列出所有可能的抽取结果;(ii)设为事件“抽取的2人来自同一兴趣小组”,求事件发生的概率.【答案】(1)3人、2人、1人.(2)(i)见解析(ii)【解析】【分析】(1)先算出甲、乙、

15、丙三个兴趣小组的学生人数之比,再采用分层抽样的方法抽取.(2)(i)从抽出的6人中随机抽取2人的所有可能结果用列举法列出.(ii)对6人进行编号,来自甲兴趣小组的是,来自乙兴趣小组的是,来自丙兴趣小组的是,再列举则从6人中随机抽取2人来自同一兴趣小组的可能结果,用古典概型的概率.【详解】(1)由已知,甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数之比为,由于采用分层抽样的方法从中抽取6人,因此从甲、乙、丙三个兴趣小组中分别抽取3人、2人、1人.(2)(i)从抽出的6人中随机抽取2人的所有可能结果为:,共15种.(ii)不妨设抽出的6人中,来自甲兴趣小组的是,来自乙兴趣小组的是,来自丙兴趣小组的是,则从6人中

16、随机抽取2人来自同一兴趣小组的可能结果为,共4种.所以,事件发生的概率.【点睛】本题主要考查了分层抽样和古典概型的概率的求法,还考查了运算求解的能力,属于中档题.20.已知椭圆:的左右顶点分别为,点是椭圆上异于、的任意一点,设直线,的斜率分别为、,且,椭圆的焦距长为4.(1)求椭圆的离心率;(2)过右焦点且倾斜角为的直线交椭圆于、两点,分别记,的面积为、,求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)先设点,有,再与,联立求解.(2)由椭圆的焦距长为4和(1)的结果,求得椭圆的方程与直线:.联立,再由求解.【详解】(1)设点,则,联立得,.(2)由题意知,即,由(1)知,椭圆方程为:,由已

17、知得:.联立,可得.设,根据韦达定理,得,于是.【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率及方程的求法,直线与椭圆的位置关系,还考查了运算求解的能力,属于中档题.21.已知函数.(1)若曲线在处的切线方程为,求实数,的值;(2)若,且在区间上恒成立,求实数的取值范围;(3)若,且,讨论函数的单调性.【答案】(1)(2).(3)见解析【解析】【分析】(1先求导,再由求解.(2)由,在区间上恒成立,转化为在上恒成立,令,再用导数法求解.(3)由,求导得,令,分,两种情况讨论【详解】(1)由题意,得,则,解得.(2)当时,在区间上恒成立,即在上恒成立,设,则,令,可得,单调递增;令,可得,单调递减;所以,即

18、,故.(3)当时,则,令, 当时,所以,在内,单调递增,在内,单调递减. 当时,令,解得或,所以,在和内,单调递增;在内,单调递减.综上, 当时, 在上单调递增,在单调递减. 当时,在和单调递增;在单调递减.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义,导数与函数的单调性,极值,最值,还考查了转化运算求解的能力,属于难题.(二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.并用2B铅笔将所选题号涂黑,多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做,则按所做的第一题计分.22.点是曲线:上的动点,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,以极点为中心,将点顺时针旋转得到点,设点的轨迹方程为曲线.(

19、1)求曲线,的极坐标方程;(2)射线与曲线、分别交于、两点,定点,求的面积.【答案】(1),(2)【解析】【分析】(1)将代入得曲线的极坐标方程,设,有顺时针旋转,得到点,代入则曲线的极坐标方程得解。.(2)先求点到射线的距离,利用公式求,再由.求解.【详解】(1)曲线的极坐标方程为,设,则,所以.所以曲线的极坐标方程为.(2)由题意得点到射线的距离为,的面积.【点睛】本题主要考查了普通方程与极坐标方程的互化及应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.23.已知函数,.(1)解不等式;(2)若存在,使得成立,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由,转化为,再利用绝对值的几何意义求解.(2)根据存在,使得成立,转化为只需要,再分别求最大值和的最小值.【详解】(1)由,得,所以,即或,解得:或,所以原不等式的解集为.(2)因为存在,使得成立,所以只需要,因为,当时,等号成立,即,当时,等号成立,即.所以,解得.所以实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法,函数恒成立问题,还考查了转化运算求解的能力,属于中档题.

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