2122列写系统微分方程的一般方法课件.ppt

1、2022-10-1控制系统的性能一般从哪三个方面来评价？控制系统的性能一般从哪三个方面来评价？2022-10-1一一.描述系统运动的数学模型描述系统运动的数学模型2022-10-1二二.建立系统数学模型的方建立系统数学模型的方法法 解析法解析法:根据系统各变量所依据的物理定律、根据系统各变量所依据的物理定律、化学定律或者其它的自然规律，列写出每一个元化学定律或者其它的自然规律，列写出每一个元件的输入件的输入-输出的关系式，然后消去中间变量，输出的关系式，然后消去中间变量，从而求得系统输出与输入的表达式。从而求得系统输出与输入的表达式。实验法：实验法：给系统施加一定的测试信号，依据给系统施加一定

2、的测试信号，依据系统对测试信号的响应或实验数据来建立数学模系统对测试信号的响应或实验数据来建立数学模型，又称系统辨识。型，又称系统辨识。2022-10-1一一.用解析法建立系统微分方程的一般步骤用解析法建立系统微分方程的一般步骤 分析元件的工作原理和在系统中的作用，确定元件的输入分析元件的工作原理和在系统中的作用，确定元件的输入量和输出量，并根据需要引进一些中间变量（量和输出量，并根据需要引进一些中间变量（必要扰动必要扰动）。）。根据各元件在工作过程中所遵循的物理、化学定律，列写根据各元件在工作过程中所遵循的物理、化学定律，列写系统中每一个元件的输入与输出的微分方程式（系统中每一个元件的输入与

3、输出的微分方程式（考虑相邻元件考虑相邻元件之间的影响之间的影响）。）。消去中间变量，求得只含输出、输入变量及其各阶导数的消去中间变量，求得只含输出、输入变量及其各阶导数的微分方程。微分方程。对所求的微分方程进行标准化处理。与输入有关的项写在对所求的微分方程进行标准化处理。与输入有关的项写在方程等号的右方，与输出有关的项写在方程等号的左方方程等号的右方，与输出有关的项写在方程等号的左方。2022-10-1图图2-1-L-C电路电路二二.例子例子dtduCiidtCuuudtdiLiRccrc即,1rcccuudtduRCdtudLC22消去中间变量消去中间变量 ，则有，则有:解：由基尔霍夫定律得

4、解：由基尔霍夫定律得：1、电气网络系统、电气网络系统例例1：无负载效应的电路：无负载效应的电路i2022-10-1图图2-2 R-C滤波网络滤波网络1211111r(ii)dti Ru()CrcccuudtduCRCRCRdtudCCRR212211222121消去中间变量i1 、i2 得或写作rcccuudtduTTTdtudTT3212212例例2：有负载效应的电路：有负载效应的电路 列写列写2极相同形式极相同形式RC串联电路组成串联电路组成的滤波电路的微分方程的滤波电路的微分方程对于图对于图2-2所示的电路，在列写方程时必须考虑后级电路对所示的电路，在列写方程时必须考虑后级电路对前级电路

5、的影响，由基尔霍夫定律列出下列方程组：前级电路的影响，由基尔霍夫定律列出下列方程组：解：2213ci dtu()C2221221112i dti R(ii)dt()CC2022-10-1图图2-3 2-3 弹簧弹簧-质量质量-阻尼器系统阻尼器系统22)()()()(dttydmdttdyftkytF)()()()(22tFtkydttdyfdttydmdtdyf2、机械位移系统、机械位移系统 2022-10-1描述线性定常系统输入与输出关系的微分方程式为描述线性定常系统输入与输出关系的微分方程式为 1011110111;nnnnnnmmmmmmd c tdc tdc taaaa c tdtdt

6、dtd r tdr tdr tbbbb r t n mdtdtdtr tc t，为统输统输出式中系的入量系的量 列写元件和系统方程式前列写元件和系统方程式前,首先要明确谁是输入量和输出量，首先要明确谁是输入量和输出量，把与输出量有关的项写在方程式等号的左方，与输入量有关系的把与输出量有关的项写在方程式等号的左方，与输入量有关系的项写在等号的右方，列写系统中各元件输入输出微分方程式，项写在等号的右方，列写系统中各元件输入输出微分方程式，消去中间变量，求得系统的输出与输入的微分方程式消去中间变量，求得系统的输出与输入的微分方程式 写微分方程式的一般步骤写微分方程式的一般步骤2022-10-1由电机

7、学原理得：图2-4 直流他励电动机电路图把式（2-2）代入（2-1），则得BBGBBiCLiCCEURidtdiL2111（2-1）（2-2）12UKEdtdEGGG（2-3）RLCKRLG12 ;式中 假设拖动发电机的原动机的转速n0恒定不变，发电机没有磁滞回线和剩磁，发电机的磁化曲发电机的磁化曲 线为一直线线为一直线，即/ib=L。2022-10-12.2 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化 变量对于平衡工作点的偏离较小变量对于平衡工作点的偏离较小 非线性函数不仅连续，而且其多阶导数均存在非线性函数不仅连续，而且其多阶导数均存在在给定工作点邻域将此非线性函数展开为泰勒级数，并在给

8、定工作点邻域将此非线性函数展开为泰勒级数，并略去二阶及二阶以上的各项，用所得的线性化方程代替略去二阶及二阶以上的各项，用所得的线性化方程代替原有的非线性方程。原有的非线性方程。2022-10-1 设一非线性元件的输入为设一非线性元件的输入为x、输出、输出为为y，它们间的关系如图，它们间的关系如图2-5所示，相所示，相应的数学表达式为应的数学表达式为 图图 2-5 非线性特性的线性化非线性特性的线性化y=f(x)（2-4）在给定工作点在给定工作点A（x0,y0）附）附近，将上式展开为泰勒级数近，将上式展开为泰勒级数 20220000!21xxdxfdxxdxdfxfxfyxxxx2022-10-

9、1 00000 ,0 xxxyyydxdfKxfyxKyxxKyyxx，式中 或写为，于是得线性化方程其后面的所有的高阶项项及）x（x较小，故可略去式中的xx由于增量x200Kxy y=f(x)2022-10-1 直流他励发电动机的微分方程式时，曾假设其磁化曲线磁化曲线为直线，实际上发电机的磁化曲线如图2-5所示。设发电机原工作于磁化曲线的A点，若令发电机的励磁电压增加U1，求其增量电势EG的变化规律。图2-5 发电机的磁化曲线20-2 19-2 010100CEuRiGB若励磁电压增量 ，则有1u 如果发电机在小信号励磁电压的作用下，工作点A的偏离便较小，从而可以通过点A作一切线CD，且以此

10、切线CD近似代替原有的曲线EAF。在平衡点A处，直流电机的方程为）（）（22-2 )(21-2 )(0101010CEEuudtdNRiiGGBB2022-10-1）（）（24-2 23-2 11CEudtdNRiGB示。常量，故用反电动势表did而，磁化曲线不是一条直线表示，其原因是那一段dtd而用N，dtdiL23）中之所以不写作-式（2这里需要注意的是，在BB2022-10-1 01202G10000200000CC NL28-2 CE 27-2 RRNR26-2 -,25)-(2 -f2!1-BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBififiudtidLidtididdNidtdiifiddiifiiiifiiiiiififif，）（）（式中24）可写为-23）和式（2-于是式（2常数或写作21）便简化为-，则式（2项，并令项及其后面所有的高阶i-i略去上式中处展开为泰勒级数i,在平衡点if把磁化曲线2B0BB00B2022-10-1在实际应用中，常把增量符号“”省去，这样上述两式显然和（2-9）（2-10）完全相同小结小结 随着发电机平衡工作点的不同，其时间常数 和放大 倍数 是不同的。0RNBifRLRCK2 由线性化引起的误差大小与非线性的程度和工作点偏移的大小有关。2022-10-1