回归分析的基本思想及其初步应用课件.ppt

1、2022-9-28郑平正 制作3.1回归分析的基回归分析的基本思想及其初步本思想及其初步应用应用高二数学高二数学 选修选修1-2 比数学3中“回归”增加的内容数学数学统计统计1.画散点图画散点图2.了解最小二乘法了解最小二乘法的思想的思想3.求回归直线方程求回归直线方程ybxa4.用回归直线方程用回归直线方程解决应用问题解决应用问题选修-统计案例5.引入线性回归模型引入线性回归模型ybxae6.了解模型中随机误差项了解模型中随机误差项e产产生的原因生的原因7.了解相关指数了解相关指数 R2 和模型拟和模型拟合的效果之间的关系合的效果之间的关系8.了解残差图的作用了解残差图的作用9.利用线性回归

2、模型解决一类利用线性回归模型解决一类非线性回归问题非线性回归问题10.正确理解分析方法与结果正确理解分析方法与结果问题问题1：正方形的面积：正方形的面积y与正方形的边长与正方形的边长x之间之间 的的函数关系函数关系是是y=x2确定性关系确定性关系问题问题2：某水田水稻产量：某水田水稻产量y与施肥量与施肥量x之间是否之间是否 有一个确定性的关系？有一个确定性的关系？例如：在例如：在 7 块并排、形状大小相同的试验田上块并排、形状大小相同的试验田上 进行施肥量对水稻产量影响的试验，得进行施肥量对水稻产量影响的试验，得 到如下所示的一组数据：到如下所示的一组数据：施化肥量施化肥量x 15 20 25

3、 30 35 40 45水稻产量水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455复习、变量之间的两种关系复习、变量之间的两种关系10 20 30 40 50500450400350300施化肥量施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45水稻产量水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455xy施化肥量施化肥量水稻产量水稻产量 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系相关关系。1、定义、定义：1）：相关关系是一种不确定性关系；）：相关关系是一种不

4、确定性关系；注注对具有相关关系的两个变量进行统计对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫分析的方法叫回归分析回归分析。2）：）：2 2、现实生活中存在着大量的相关关系。现实生活中存在着大量的相关关系。例例1 从某大学中随机选取从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。所示。编号12345678身高/cm165165 157 170 175 165 155 170体重/kg4857505464614359求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172c

5、m的女大学生的体重。的女大学生的体重。案例案例1：女大学生的身高与体重：女大学生的身高与体重解：解：1、选取身高为自变量、选取身高为自变量x，体重为因变量，体重为因变量y，作散点图：，作散点图：2、由散点图知道身高和体重有比较、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。回归方程刻画它们之间的关系。172.85849.0 xy分析：由于问题中分析：由于问题中要求根据身高预报要求根据身高预报体重，因此选取身体重，因此选取身高为自变量，体重高为自变量，体重为因变量为因变量学学身身高高172cm女172cm女大大生生体体重重

6、y=0.849y=0.849172-85.712=60.316(kg)172-85.712=60.316(kg)2.2.回归方程：回归方程：1.散点图；散点图；探究：探究：身高为身高为172cm的女大学生的体重一定是的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？吗？如果不是，你能解析一下原因吗？例例1 从某大学中随机选取从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。所示。编号12345678身高/cm165165 157 170 175 165 155 170体重/kg4857505464614359求根据一名女大学生

7、的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。的女大学生的体重。案例案例1：女大学生的身高与体重：女大学生的身高与体重解：解：1、选取身高为自变量、选取身高为自变量x，体重为因变量，体重为因变量y，作散点图：，作散点图：2、由散点图知道身高和体重有比较、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。回归方程刻画它们之间的关系。3、从散点图还看到，样本点散布在、从散点图还看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条某一条直线的附

8、近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数直线上，所以不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。描述它们关系。我们可以用下面的我们可以用下面的线性回归模型线性回归模型来表示：来表示：y=bx+a+e，其中其中a和和b为模型的未知参数，为模型的未知参数，e称为称为随机误差随机误差。线性回归模型：线性回归模型：思考思考:产生随机误差项产生随机误差项e的原因是什么？的原因是什么？随机误差随机误差e e的来源的来源(可以推广到一般）：可以推广到一般）：1、忽略了其它因素的影响：、忽略了其它因素的影响：影响体重影响体重y y的因素不只的因素不只是身高是身高x x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生，可能还包

9、括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；长环境等因素；2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；3、身高、身高 y 的观测误差。的观测误差。以上三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合以上三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合效果越好。效果越好。函数模型与回归模型之间的差别函数模型与回归模型之间的差别函数模型：abxy回归模型：eabxy 线性回归模型线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项增加了随机误差项e，因变量，因变量y的值由的值由自变量自变量x和随机误差项和随机误差项e共同确定，即共同确定，即自变量自变量x只能解析部分只能解析部分y的变的变化

10、化。在统计中，我们也把自变量在统计中，我们也把自变量x称为解析变量，因变量称为解析变量，因变量y称为预报称为预报变量。变量。探究：在线性回归模型中，应该探究：在线性回归模型中，应该怎样研究随机误差呢？怎样研究随机误差呢？本节课的重点：理解模型拟本节课的重点：理解模型拟合效果的分析工具合效果的分析工具残差和残差和相相关指数关指数2R()niiibyy21为残差平方和。Q(a,)Q(a,)iiieyyii对于样本点（x,y）的随机误差的估计值程称相应残差.2e残差残差平方和越残差平方和越小精确度越高小精确度越高表表3-2列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。列出了女大学生身高和体重

11、的原始数据以及相应的残差数据。在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用回归模型来拟合数据。是否可以用回归模型来拟合数据。残差分析与残差图的定义：残差分析与残差图的定义：然后，我们可以通过残差然后，我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果，判断原始来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析这方面的分析工作称为残差分析。12,ne ee 编号编号12345678身高身高/cm165165157170175165155170体重体

12、重/kg4857505464614359残差残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382 我们可以利用图形来分析残差特性，我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。-8-8-6-6-4-4-2-22 24 46 68 8O O2 21 13 34 46 65 57 78 89 91010编号编号残差残差.残差点比较均匀地落在(以x轴为中心）水平带状区域内.模型较合适

13、带状区域的宽度越窄,模型拟合精度越高,回归方程的预报精度越高2022-9-28郑平正 制作残差图的制作及作用。残差图的制作及作用。坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域横轴为心的带形区域；对于远离横轴的点，要特别注意对于远离横轴的点，要特别注意。身高与体重残差图异常点 错误数据 模型问题 几点说明：几点说明：第一个样本点和第第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错

14、误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。.43210-1-2-3-40 100 200 300 400 500 600 70

15、0 800 900 1000 454035302520151050-50 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 25002000150010005000-500-10000 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100200150100500-50-100-1500 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 .（）（）分析下列残差图分析下列残差图,所选用的回归模型效果最好的是（）所选用的回归模型效果最好的是（）牛刀小试牛刀小试显然，显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。

16、模型拟合效果越好。在线性回归模型中，在线性回归模型中，R2表示解析变量对预报变量变化的贡献率。表示解析变量对预报变量变化的贡献率。R2越接近越接近1，表示回归的效果越好（因为，表示回归的效果越好（因为R2越接近越接近1，表示解析变量，表示解析变量和预报变量的线性相关性越强）和预报变量的线性相关性越强）。如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较通过比较R2的值来做出选择，即选取的值来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据较大的模型作为这组数据的模型。的模型。另外，我们可以用另外，我们可以用相关指数相关指数R2来刻

17、画回归的效果，其计算公式是来刻画回归的效果，其计算公式是22121()11()niiiniiyyRyy残差平方和。总偏差平方和R R2 2=0.64,=0.64,表明女大学生的身高解释了表明女大学生的身高解释了64%64%的体重变化。的体重变化。相关指数相关指数（2）有下列说法：）有下列说法：在残差图中，残差点比较在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适。相关指数型比较合适。相关指数R2来刻画回归的效果来刻画回归的效果,R2 值越大，说明模型的拟合效果越好。比值越大，说明模型的拟合效果越好。比较两个模型的拟和效果，可以比较

18、残差平方的较两个模型的拟和效果，可以比较残差平方的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好。正确的是（正确的是（）被害棉花 红铃红铃 虫喜高温高湿，适宜各虫虫喜高温高湿，适宜各虫态发育的温度为态发育的温度为 25 一一32 ，相对湿度为相对湿度为80一一100，低于，低于 20 和高于和高于35 卵不能孵化，相对卵不能孵化，相对湿度湿度60 以下成虫不产卵。冬季月以下成虫不产卵。冬季月平均气温低于一平均气温低于一48 时，红铃虫时，红铃虫就不能越冬而被冻死。就不能越冬而被冻死。创设情景创设情景 19531953年，年，1818省发生红铃虫大灾害，受灾省发

19、生红铃虫大灾害，受灾面积面积300300万公顷，损失皮棉约二十万吨。万公顷，损失皮棉约二十万吨。因材施教因材施教温度温度xoC21232527293235产卵数产卵数y/个个711212466115325例例2 2 现收集了一只红铃虫的产卵数现收集了一只红铃虫的产卵数y y和温度和温度x xo oC C之间的之间的7 7组观测数据列于下表：组观测数据列于下表：（1 1）试建立产卵数）试建立产卵数y y与温度与温度x x之间的回归方之间的回归方程；并预测温度为程；并预测温度为2828o oC C时产卵数目。时产卵数目。（2 2）你所建立的模型中温度在多大程度上）你所建立的模型中温度在多大程度上解

20、释了产卵数的变化？解释了产卵数的变化？问题呈现：画散点图画散点图假设线性回归方程为假设线性回归方程为：选选 模模 型型分析和预测分析和预测当当x=28时，时，y=19.8728-463.73 93选变量选变量 解：选取气温为解释变量解：选取气温为解释变量x x，产卵数，产卵数 为预报变量为预报变量y y。合作探究合作探究050100150200250300350036912151821242730333639方案1当当x=28时，时，y=19.8728-463.73 93ybxa估计参数估计参数由计算器得：线性回归方程为由计算器得：线性回归方程为19.87463.73yx0残差残差编号1234

21、5671020304050607080-10-20-30-40-50-6090100 xy残差21723112521272429663211535325线性模型线性模型53.4617.72-12.02-48.76-46.5-57.1193.2819.87463.73yx271(,)()iiiQ a byy19818.919818.9 相关指数相关指数R R2 20.74640.7464所以，一次函数模型中温度解释了所以，一次函数模型中温度解释了74.64%的产卵数变化。的产卵数变化。y=bx2+a 变换变换 y=bx+a非线性关系非线性关系 线性关系线性关系方案2问题问题2 产卵数产卵数气温气

22、温问题问题1如何求如何求a、b？合作探究合作探究 t=x2温度温度xoC21232527293235产卵数产卵数y/个个711212466115325方案2解答平方变换：平方变换：令令t=xt=x2 2，产卵数，产卵数y y和温度和温度x x之间二次函数模型之间二次函数模型y=bxy=bx2 2+a+a就转化为产卵数就转化为产卵数y y和温度的平方和温度的平方t t之间线性回归模型之间线性回归模型y=bt+ay=bt+a作散点图，并由计算器得：作散点图，并由计算器得：将将t=xt=x2 2代入线性回归方程得：代入线性回归方程得：y=y=0.3670.367x x2 2-202.54-202.5

23、4tt温度温度21232527293235温度的平方温度的平方t44152962572984110241225产卵数产卵数y/个个711212466115325773.43t 81.29y y y和和t t之间的线性回归方程为之间的线性回归方程为y=y=0.3670.367t t-202.54-202.54，当当x x=28=28时时，y y=0.367=0.36728282 2-202.5485202.54850残差残差编号12345671020304050607080-10-20-30-40-50-6090100 xy残差21723112521272429663211535325二次函数模

24、型二次函数模型47.69619.400-5.832-41.000-40.104-58.26577.96820.367202.54yx271(,)()iiiQ a byy15448.415448.4相关指数相关指数R R2 2=0.802=0.802所以二次函数模型中温度解释了所以二次函数模型中温度解释了80.2%80.2%的产的产卵数变化。卵数变化。问题问题 变换变换 y=bx+a非线性关系非线性关系 线性关系线性关系2110c xyc问题问题如何选取指数函数的底如何选取指数函数的底?产卵数产卵数气温气温指数函数模型指数函数模型方案3合作探究合作探究对数对数方案3解答xz当当x=28x=28o

25、 oC C 时，时，y 44 y 44.xxzz0 1181 665关于 的线性回归方程为，温度温度xoC21232527293235产卵数产卵数y/个个711212466115325温度温度xoC21232527293235z=lgy0.851.041.321.381.822.062.51产卵数产卵数y/个个71121246611532527.42x 1.569z 71318.58iiix z7215414iix由计算器得：0.1181.66510 xy0残差残差编号12345671020304050607080-10-20-30-40-50-6090100 xy残差217231125212

26、72429663211535325指数函数模型指数函数模型-0.19441.7248-9.18948.8521-14.121933.25730.1181.66510 xy271(,)()iiiQ a byy1471.51471.5.2R0985相关指数指数回归模型中温度解释了指数回归模型中温度解释了98.5%98.5%的产卵数的产卵数的变化的变化0.49870.4987最好的模型是哪个最好的模型是哪个?产卵产卵数数气温气温产卵产卵数数气温气温线性模型二次函数模型指数函数模型比一比比一比函数模函数模型型相关指相关指数数R2残差平残差平方和方和线性回线性回归模型归模型二次函二次函数模型数模型指数函

27、指数函数模型数模型最好的模型是最好的模型是哪个哪个?0.74640.74640.8020.8020.9850.98519818198181544815448147114711.在画两个变量的散点图时，下面叙述正确的事（）(A)预报变量在x轴上，解释变量在y轴上（B）解释变量在x轴上，预报变量在y轴上（C）可以选择两个变量中任意一个变量在x轴上（D）可以选择两个变量中任意一个变量在y轴上2.一位母亲记录了她儿子3到9岁的身高，数据如下表。年龄/岁3456789身高/cm94.8104.2108.7117.8124.3130.8139.0由此她建立了身高与年龄的回归模型 ，她用这个模型预测儿子10

28、岁时的身高，则下面的叙述正确的是（）（A）身高一定是145.83cm （B）身高在145.83CM以上（C）身高在145.83cm左右 （D）身高在145.83cm以下73.937.19yx学以致用2R2R2R2R2R3.在建立两个变量x与y的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数 如下，其中拟和得最好的模型是（）(A)模型1的相关指数为0.98为0.80为0.504.如果发现散点图中所有的样本点都在一条直线上，请回答下列问题：（1）解释变量和预报变量的关系是 ，残差平方和是_ （2）解释变量和预报变量之间的相关系数是_ (B)模型2的相关指数(C)模型3的相关指数(D)模型4的相

29、关指数为0.25例例2、在一段时间内，某中商品的价格、在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量元和需求量Y件之间件之间的一组数据为：的一组数据为：求出求出Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。价格价格x1416182022需求量需求量Y1210753解：解：18,7.4,xy555221111660,327,620,iiiiiiixyx y7.4 1.15 1828.1.a1.1528.1.yx 回归直线方程为：51522155iiiiix yxybxx26205 18 7.41.15.16605 18 例例2、在一段时间内，某中商品的价格、在一段时

30、间内，某中商品的价格x元和需求量元和需求量Y件之间件之间的一组数据为：的一组数据为：求出求出Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。价格价格x1416182022需求量需求量Y1210753列出残差表为列出残差表为521()iiiyy0.3,521()iiyy53.2,5221521()1()iiiiiyyRyy 0.994因而，拟合效果较好。因而，拟合效果较好。iiyyiyy00.3-0.4-0.10.24.62.6-0.4-2.4-4.4用身高预报体重时，需要注意下列问题：用身高预报体重时，需要注意下列问题：1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总

31、体；、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；2、我们所建立的回归方程一般都有时间性；、我们所建立的回归方程一般都有时间性；3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；4、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。这些问题也使用于其他问题。这些问题也使用于其他问题。涉及到统计的一些思想：涉及到统计的一些思想：模型适用的总体；模型适用的总体；模型的时间性；模型的时间性；样本的取值范围对模型的影响；样本的取值范围对模型

32、的影响；模型预报结果的正确理解。模型预报结果的正确理解。小结小结一般地，建立回归模型的基本步骤为：一般地，建立回归模型的基本步骤为：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系 （如是否存在线性关系等）。（如是否存在线性关系等）。（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程选用线性回归方程y=bx+a）.（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。模型是否合适等。