1、|;aa（1 1）一般地，我们规定实数一般地，我们规定实数与向量与向量 的积是一的积是一个向量，这种运算叫做个向量，这种运算叫做向量的数乘向量的数乘，记作，记作 ，它的长度和方向规定如下它的长度和方向规定如下：aa（2 2）当）当 时，时，的方向与的方向与 的方向相同；的方向相同；当当 时，时，的方向与的方向与 的方向相反。的方向相反。aa0aa0特别的，当特别的，当 时，时，00.a回顾旧知回顾旧知:设设 为实数，那么为实数，那么,(1 1)(a a)=()a a;(2 2)(+)a a=a a+a a;(3 3)(a a+b b)=a a+b b.第一分配律第一分配律第二分配律第二分配律练
2、习：练习：已知非零向量已知非零向量 ，求向量，求向量 的模的模a|aa结论：结论：|aa 是单位向量是单位向量与与 反向的单位向量是反向的单位向量是a|aa与与 同向的单位向量是同向的单位向量是a|aa与与 平行的单位向量是平行的单位向量是a|aaEDCAB 探索探索1 1)定理包含正反两层意思定理包含正反两层意思;(2)定理的一个重要条件定理的一个重要条件a0;(3)符号决定两个向量是同向还是反符号决定两个向量是同向还是反 向向;的绝对值决定两个向量长度关系；的绝对值决定两个向量长度关系；1OAOBOC AOBC分析分析:将已知条件中的将已知条件中的AC，CB用结论式用结论式中的中的OA，O
3、B，OC表示，进而解出表示，进而解出OC 运用运用 证明：证明：因为因为ACOCOA，CBOBOC，又又ACCB，所以所以OCOA（OBOC），），即（即（）OCOAOB又因为又因为，即，即，所以所以 1OAOBOC AOBC12OCOAOB 结论：结论：已知已知OAOA、OBOB不共线，若不共线，若P P、A A、B B三点共线三点共线(1)OPt OAtOB 则则则则P P、A A、B B三点共线三点共线.(1)OPt OA tOB 若若O O是平面上任意一点是平面上任意一点,且且若若O O是平面上任意一点是平面上任意一点,且且OPOAOB 其中其中,则则P P、A A、B B三点共线三点
4、共线1等价命题：等价命题：OA、OB不共线，若不共线，若P、A、B三点共线三点共线,则则 其中其中 OPOAOB 1 例例2.设设e1,e2是两个不共线向量是两个不共线向量,判断下判断下列各题中的向量列各题中的向量a,b是否共线是否共线?(1)a=5e1,b=7e1;(2)a=e1 e2,b=3e12e2;(3)a=e1+e2,b=3e13e2.1213共线共线共线共线 运用运用 解：解：A、B、D三点共线三点共线,AB/BD，而而AB=2e1+ke2,BD=CD-CB=e1-2e2，显然显然BD0，则存在实数则存在实数使得使得AB=BD，即即2e1+ke2=(e1-2e2)，得得(2-)e1
5、+(k+2)e2=0，e1,e2不共线不共线,2=0，k+2=0，解得解得k=4.运用运用 21(1);(2)()33CGCDCGCACB BCAD 运用运用 GE例例5:如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，中，M是是AB的的中点，点中点，点N是是BD上的一点，上的一点，求证：求证：M、N、C三点共线三点共线.BDBN31 AMBCDN613121 1 1 MM C C=MM N N3 3 所以所以M.N.C三点共线三点共线1.已知向量已知向量aee，b（ee），），求证：求证：a与与b是共线向量是共线向量32ba 练习练习 12CDAEDAEB13DEba证明：证明：DEAEAD
6、 1233ABAC 1233CBCACA 1233abb 13ba 练习练习 4:4:（2003 2003 全国）全国）O O是平面上一定点，是平面上一定点，A A、B B、C C是平面上不共线的三个点，动点是平面上不共线的三个点，动点P P满足满足 则则P P的轨迹一定通过的轨迹一定通过ABCABC的的()()A A外心外心B B内心内心C C重心重心D D垂心垂心(),0,),|ABACOP OAABAC B B概念辨析概念辨析baba（1）若向量）若向量 与与共线共线,则则存在实数存在实数,使使.注意对0的讨论与与,则则向量向量,使使（2）若存在实数）若存在实数共线共线.baba（3）若向量）若向量与与共线共线,则则存在实数存在实数,m nmanb,使得使得.ba,m nmanb（4）存在实数）存在实数,使得使得,则则向量向量与与共线共线.ab反例反例:0,0.ab 0a当当时时,零向量与任意向量都共线零向量与任意向量都共线;0a时时,依据向量共线定理依据向量共线定理.当当反例反例:0,mn,a b 有可能为非零不共线向量有可能为非零不共线向量.若若0,0ab 则则,0mnR；若若0,0ab 则则0,;mnR若若0ab则则,;m nR若若0a b 则存在实数则存在实数ba取取mn使得使得（）（）（）（）小结小结
