圆的有关计算课件.ppt

1、第26讲 圆的弧长和图形面积的计算要点梳理 1弧长及扇形的面积(1)半径为r，n的圆心角所对的弧长公式：；(2)半径为r，n的圆心角所对的扇形面积公式：_ 要点梳理 2圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为l，底面半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2r.(1)圆锥侧面积公式：S圆锥侧 ；(2)圆锥全面积公式：S圆锥全 rlrlr2要点梳理 3求阴影部分面积的几种常见方法(1)公式法；(2)割补法；(3)拼凑法；(4)等积变形构造方程法；(5)去重法一种联系圆锥的侧面是一个扇形，因而其面积是一个扇形的面积，其扇形的半径是圆锥的母线，弧长是底面的周长在求圆锥

2、侧面积或全面积的时候，常需要借助于它的展开图进行分析，因此理清圆锥与它的展开图中各量的关系非常重要，下面图示可以帮助我们进一步理解它们之间的关系一种转化最短距离问题，通常借助于展开图来解决在将立体图形转化为平面图形后，应把题中已知条件转化到具体的线段中，最后构造直角三角形解题两个技巧(1)求运动所形成的路径长或面积时，关键是理清运动所形成图形的轨迹变化，特别是扇形，需要理清圆心与半径的变化；(2)处理不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变换转化为规则图形，再利用规则图形的公式求解三个等量关系(1)展开图扇形的弧长圆锥底面圆的周长；(2)展开图扇形的面积圆锥的侧面积；(3)展开图扇形的半径圆

3、锥的母线1(2014宜昌)如图，在 44 的正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，若将AOC 绕点 O 顺时针旋转 90得到BOD，则AB的长为()A B6 C3 D1.5 D2(2014牡丹江)如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB，CDB30，CD2 3，则 S阴影()A B2 C.233 D.23 D3(2014绍兴)如图，圆锥的侧面展开图是半径为 3，圆心角为 90的扇形，则该圆锥的底面周长为()A.34 B.32 C.34 D.32 B4(2014成都)在圆心角为120的扇形AOB中，半径OA6 cm，则扇形OAB的面积是()A6 cm2 B8 cm2C12 cm2 D24 cm2

4、C弧长公式的应用【例 1】(2013遵义)如图，将边长为 1 cm 的等边三角形ABC 沿直线 l 向右翻动(不滑动)，点 B 从开始到结束，所经过路径的长度为()A.32 cm B(223)cm C.43 cm D3 cm C5(2014河北)如图，边长为 a 的正六边形内有两个三角形(数据如图)，则S阴影S空白()A3 B4 C5 D6 C【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是仔细观察图形，从开始到结束经过两次翻动，求出点B两次划过的弧长，即可得出所经过路径的长度注意熟练掌握弧长的计算公式1(2014龙东)一圆锥体形状的水晶饰品，母线长是 10 cm，底面圆的直径是 5 cm，点

5、A 为圆锥底面圆周上一点，从 A点开始绕圆锥侧面缠一圈彩带回到 A 点，则彩带最少用多少厘米(接口处重合部分忽略不计)()A 10 cm B 10 2 cm C 5 cm D 5 2 cm B扇形面积公式的运用【例2】如图，BD是汽车挡风玻璃前的刮雨刷如果BO65 cm，DO15 cm，当BD绕点O旋转90时，求刮雨刷BD扫过的面积解：在AOC 和BOD 中，OCOD，ACBD，OAOB，AOCBOD，阴影部分的面积为扇环的面积，即 S阴影S扇形AOBS扇形COD14(OA2OC2)14(652152)1000(cm2)【点评】阴影部分一般都是不规则的图形，不能直接用公式求解，通常有两条思路，

6、一是转化成规则图形面积的和、差；二是进行图形的割补 此题可利用图形的割补，把OAC 放到OBD 的位置扇形面积公式和弧长公式容易混淆S扇形n360R212lR.2(2014莱芜)如图，AB 为半圆的直径，且 AB4，半圆绕点 B 顺时针旋转 45，点 A 旋转到 A的位置，则图中阴影部分的面积为()A B2 C.2 D4 B圆锥的侧面展开图【例3】(1)(2014黔南州)如图，圆锥的侧面积为15，底面圆半径为3，则该圆锥的高AO为()A3 B4C5 D15B(2)(2014牡丹江)如图，如果从半径为 3 cm 的圆形纸片上剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这

7、个圆锥的底面半径是_ _cm.2【点评】就圆锥而言，“底面圆的半径”和“侧面展开图的扇形半径”是完全不同的两个概念，要注意其区别和联系，其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长；圆锥的底面半径、母线和高组成了一个直角三角形3现有30%圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40 cm，小红同学为了在六一儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10 cm的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，求剪去的扇形纸片的圆心角度数解：圆锥的母线长为 40，底面半径为 10，圆锥展开图的圆心角204018090，剪去扇形纸片的圆心角度数36030%90108

8、9018 求阴影部分的面积【例 4】(2014黔西南州)如图，点 B，C，D 都在O上，过 C 点作 CABD 交 OD 的延长线于点 A，连接 BC，BA30，BD2 3.(1)求证：AC是 O的切线；(2)求由线段AC，AD与弧CD所围成的阴影部分的面积(结果保留)【点评】本题考查了平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形等知识点的综合运用4(2014河南)如图，在菱形ABCD中，AB1，DAB60，把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30得到菱形ABCD，其中点C的运动路径为CC，则图中阴影部分的面积为 试题 扇形的半径为 30 cm，圆心角为 120，用它做成一个圆锥

9、的侧面，求圆锥的侧面积是多少？错解 解：设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l.120360r2rl，12036030230l，解得 l10，S侧面积rl300(cm2)剖析 上述解法混淆了圆锥底面半径和扇形半径，看上去好像答案是正确的，这只不过是题设中数据的一种巧合而已 圆锥底面半径扇形半径，圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线为 l，底面圆的半径为 r，那么这个扇形的半径为 l，扇形的弧长为 2r，面积 S圆锥侧12(2r)lrl，S圆锥表r2rl，扇形的圆心角 rl360，如图 正解 解：设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，已知 l30.rl360120，r10，S侧面积rl300

10、(cm2)或：S侧面积S扇形n360r2120360302 300(cm2)考点跟踪突破26圆的弧长和图形面积的计算一、选择题(每小题 6 分，共 30 分)1(2014襄阳)用一个圆心角为 120，半径为 3 的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为()A.12 B1 C.32 D2 B2(2013河北)如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB，C30，CD2 3，则 S阴影()A B2 C.233 D.23 D3(2014金华)一张圆心角为45的扇形纸板和一张圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，边长都为 1，则扇形和圆形纸板的面积比是()A54 B52 C.52 D.5 2 A4(2

11、014东营)如图，已知扇形的圆心角为60，半径为3，则图中弓形的面积为()A.43 34 B.34 C.23 34 D.3 32 C5(2013山西)如图，四边形 ABCD 是菱形，A60，AB2，扇形 EBF 的半径为 2，圆心角为 60，则图中阴影部分的面积是()A.2332 B.23 3 C32 D 3 B 二、填空题(每小题6分，共30分)6(2014泰州)圆锥的底面半径为6 cm，母线长为10 cm，则圆锥的侧面积为_cm2.7(2013重庆)如图，一个圆心角为90的扇形，半径OA2，那么图中阴影部分的面积为_(结果保留)60 -28(2013泸州)如图，从半径为9 cm 的圆形纸片

12、上剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为_ cm.9(2013昆明)如图，从直径为4 cm的圆形纸片中，剪出一个圆心角为90的扇形OAB，且点O，A，B在圆周上，把它围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是_cm.10(2013烟台)如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E在 BC 上，四边形 EFGB 也是正方形，以点 B 为圆心，BA 长为半径画AC，连接 AF，CF，则图中阴影部分面积为_ _ 4 三、解答题(共40分)11(10分)(2013新疆)如图，已知 O的半径为4，CD是 O的直径，AC为 O的弦，B为CD延长线上的一点，ABC30

13、，且ABAC.(1)求证：AB为 O的切线；(2)求弦AC的长；(3)求图中阴影部分的面积(1)证明：如图，连接 OA.ABAC，ABC30，ABCACB30.AOB2ACB60，在ABO 中，OAB180ABOAOB90，即 ABOA，又OA 是O 的半径，AB 为O 的切线(2)解：如图，连接 AD.CD 是O 的直径，DAC90.由(1)知，ACB30，AD12CD4，则根据勾股定理知 AC CD2AD24 3，即弦 AC 的长是 4 3(3)由(2)知，在ADC 中，DAC90，AD4，AC4 3，则 SADC12ADAC1244 38 3.点 O是ADC 斜边上的中点，SAOC12S

14、ADC4 3.根据图示知，S阴影S扇形AODSAOC60423604 3834 3，即图中阴影部分的面积是834 3 12(10分)(2014滨州)如图，点D在 O的直径AB的延长线上，点C在 O上，ACCD，ACD120.(1)求证：CD是 O的切线；(2)若 O的半径为2，求图中阴影部分的面积解：(1)证明：连接OC.ACCD，ACD120，AD30.OAOC，2A30.OCD90.CD 是O的切线 (2)解：A30，12A60.S扇形BOC60223602?3.在 RtOCD 中，CDOCtan60，CD2 3.SRtOCD12OCCD1222 32 3.图中阴影部分的面积为2 323

15、13(10 分)(2014襄阳)如图，在正方形 ABCD中，AD2，E是 AB 的中点，将BEC 绕点 B 逆时针旋转90 后，点 E 落在CB 的延长线上点F 处，点 C 落在点A 处再将线段 AF 绕点F 顺时针旋转90得线段 FG，连接 EF，CG.(1)求证：EFCG；(2)求点 C，点 A 在旋转过程中形成的AC，AG与线段 CG 所围成的阴影部分的面积 解：(1)证明：在正方形ABCD中，ABBCAD2，ABC90，BEC 绕点 B 逆时针旋转 90得到ABF，ABFCBE，FABECB，ABFCBE90，AFEC，AFBFAB90，线段 AF 绕点 F 顺时针旋转 90得线段 F

16、G，AFBCFGAFG90，CFGFABECB，ECFG，AFEC，AFFG，ECFG，四边形 EFGC 是平行四边形，EFCG(2)解：AD2，E 是 AB 的中点，FEBE12AB1221，AF AB2BF2 2212 5，由平行四边形的性质，FECCGF，SFECSCGF，S阴影S扇形BACSABFSFGCS扇形FAG90 22360122112(12)190（5）2360524 14(10 分)(2013龙岩)如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB 31，AD 3.(1)如图，将矩形纸片向上方翻折，使点 D 恰好落在 AB边上的 D 处，压平折痕交CD 于点 E，则折痕 AE 的长为_；(2)如图，再将四边形BCED沿DE向左翻折，压平后得四边形BCED，BC交AE于点F，则四边形BFED的面积为 ；(3)如图，将图中的AED绕点E顺时针旋转角，得到AED，使得EA恰好经过顶点B，求弧DD的长(结果保留)