2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(浙江卷)文.docx

1、浙江文科选择题部分(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013浙江,文1)设集合S=x|x-2,T=x|-4x1,则ST=(). A.-4,+)B.(-2,+)C.-4,1D.(-2,1答案:D解析:集合S与集合T都表示连续的实数集,此类集合的运算可通过数轴直观表示出来.,故ST=x|-2x1,故选D.2.(2013浙江,文2)已知i是虚数单位,则(2+i)(3+i)=().A.5-5iB.7-5iC.5+5iD.7+5i答案:C解析:(2+i)(3+i)=6+5i+i2,因为i2=-1,所以(2+i)(3+

2、i)=5+5i,故选C.3.(2013浙江,文3)若R,则“=0”是sin cos ”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:当=0时,sin cos 成立;若sin cos ,可取6等值,所以“=0”是“sin f(1),则().A.a0,4a+b=0B.a0,2a+b=0D.af(1)且f(0),f(1)在对称轴同侧,故函数f(x)在(-,2上单调递减,则抛物线开口方向朝上,知a0,故选A.8.(2013浙江,文8)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f(x)的图象如右图所示,则该函数的图象是().答案:B解

3、析:由导函数图象知,函数f(x)在-1,1上为增函数.当x(-1,0)时f(x)由小到大,则f(x)图象的增长趋势由缓到快,当x(0,1)时f(x)由大到小,则f(x)的图象增长趋势由快到缓,故选B.9.(2013浙江,文9)如图,F1,F2是椭圆C1:x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是().A.2B.3C.32D.62答案:D解析:椭圆C1中,|AF1|+|AF2|=2a=4,|F1F2|=2c=23.又四边形AF1BF2为矩形,F1AF2=90,|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,|AF

4、1|=2-2,|AF2|=2+2,双曲线C2中,2c=23,2a=|AF2|-|AF1|=22,故e=32=62,故选D.10.(2013浙江,文10)设a,bR,定义运算“”和“”如下:ab=a,ab,b,ab,ab=b,ab,a,ab.若正数a,b,c,d满足ab4,c+d4,则().A.ab2,cd2B.ab2,cd2C.ab2,cd2D.ab2,cd2答案:C解析:由题意知,运算“”为两数中取小,运算“”为两数中取大,由ab4知,正数a,b中至少有一个大于等于2.由c+d4知,c,d中至少有一个小于等于2,故选C.非选择题部分(共100分)二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28

5、分.11.(2013浙江,文11)已知函数f(x)=x-1.若f(a)=3,则实数a=.答案:10解析:由f(a)=a-1=3,得a-1=9,故a=10.12.(2013浙江,文12)从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等),这2名都是女同学的概率等于.答案:15解析:从3男,3女中任选两名,共有15种基本情况,而从3女中任选2名女同学,则有3种基本情况,故所求事件的概率为315=15.13.(2013浙江,文13)直线y=2x+3被圆x2+y2-6x-8y=0所截得的弦长等于.答案:45解析:圆的圆心为(3,4),半径是5,圆心到直线的距离d=|23-4+3|22+12=5

6、,可知弦长l=252-(5)2=45.14.(2013浙江,文14)若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值等于.答案:95解析:该程序框图为循环结构.当k=1时,S=1+112=32;当k=2时,S=32+123=53;当k=3时,S=53+134=74;当k=4时,S=74+145=95,循环结束,输出S=95.15.(2013浙江,文15)设z=kx+y,其中实数x,y满足x2,x-2y+40,2x-y-40.若z的最大值为12,则实数k=.答案:2解析:满足条件x2,x-2y+40,2x-y-40的区域D如图阴影部分所示,且A(2,3),B(4,4),C(2,0).作直线l0:y=

7、-kx,当k0时,y=-kx为减函数,在B处z最大,此时k=2;当k12时,在A处取得最大值,k=92(舍去),故k=2.16.(2013浙江,文16)设a,bR,若x0时恒有0x4-x3+ax+b(x2-1)2,则ab=.答案:-1解析:令x=1,得01-1+a+b0,整理,得a+b=0,令x=-1,得01-(-1)-a+b0,整理,得a-b=2,解组成的方程组,得a=1,b=-1.ab=-1.17.(2013浙江,文17)设e1,e2为单位向量,非零向量b=xe1+ye2,x,yR.若e1,e2的夹角为6,则|x|b|的最大值等于.答案:2解析:因为b0,所以b=xe1+ye2,x0,y0

8、.又|b|2=(xe1+ye2)2=x2+y2+3xy,|x|2|b|2=x2x2+y2+3xy=1y2x2+3yx+1,不妨设yx=t,则|x|2|b|2=1t2+3t+1,当t=-32时,t2+3t+1取得最小值14,此时|x|2|b|2取得最大值,所以|x|b|的最大值为2.三、解答题:本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(2013浙江,文18)(本题满分14分)在锐角ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asin B=3b.(1)求角A的大小;(2)若a=6,b+c=8,求ABC的面积.解:(1)由2asin B=3b及正弦定理asin

9、A=bsinB,得sin A=32.因为A是锐角,所以A=3.(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得b2+c2-bc=36.又b+c=8,所以bc=283.由三角形面积公式S=12bcsin A,得ABC的面积为733.19.(2013浙江,文19)(本题满分14分)在公差为d的等差数列an中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,an;(2)若d0,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.解:(1)由题意得5a3a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0.故d=-1或d=4.所以an=-n+11,nN*或an=4n+6,nN*.(2)设数列an

10、的前n项和为Sn,因为d1,求f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值.解:(1)当a=1时,f(x)=6x2-12x+6,所以f(2)=6.又因为f(2)=4,所以切线方程为y=6x-8.(2)记g(a)为f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值.f(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a).令f(x)=0,得到x1=1,x2=a.当a1时,x0(0,1)1(1,a)a(a,2a)2af(x)+0-0+f(x)0单调递增极大值3a-1单调递减极小值a2(3-a)单调递增4a3比较f(0)=0和f(a)=a2(3-a)的大小可得g(a)=0,13.当a-1时,x0(0,1)1(1

11、,-2a)-2af(x)-0+f(x)0单调递减极小值3a-1单调递增-28a3-24a2得g(a)=3a-1.综上所述,f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值为g(a)=3a-1,a-1,0,13.22.(2013浙江,文22)(本题满分14分)已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1).(1)求抛物线C的方程;(2)过点F作直线交抛物线C于A,B两点.若直线AO,BO分别交直线l:y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值.解:(1)由题意可设抛物线C的方程为x2=2py(p0),则p2=1,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方

12、程为y=kx+1.由y=kx+1,x2=4y消去y,整理得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.从而|x1-x2|=4k2+1.由y=y1x1x,y=x-2,解得点M的横坐标xM=2x1x1-y1=2x1x1-x124=84-x1.同理点N的横坐标xN=84-x2.所以|MN|=2|xM-xN|=284-x1-84-x2=82x1-x2x1x2-4(x1+x2)+16=82k2+1|4k-3|.令4k-3=t,t0,则k=t+34.当t0时,|MN|=2225t2+6t+122.当t0时,|MN|=225t+352+1625852.综上所述,当t=-253,即k=-43时,|MN|的最小值是852.