2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(安徽卷).docx

1、2015年普通高等学校招生全国统一考试安徽理科数学本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,第卷第1至第2页,第卷第3至第4页。全卷满分150分,考试时间120分钟。考生注意事项:1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。2.答第卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。3.答第卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅

2、笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效。4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交。参考公式:如果事件A与B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B).标准差s=1n(x1-x)2+(x2-x)2+(xn-x)2,其中x=1n(x1+x2+xn).第卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015安徽,理1)设i是虚数单位,则复数2i1-i在复平面内所对应的点位于()A.第一象限B.第二象

3、限C.第三象限D.第四象限答案:B解析:由复数除法的运算法则可得,2i1-i=2i(1+i)(1-i)(1+i)=2i-22=-1+i,对应点为(-1,1)在第二象限.故选B.2.(2015安徽,理2)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是()A.y=cos xB.y=sin xC.y=ln xD.y=x2+1答案:A解析:y=cos x是偶函数,其图象与x轴有无数个交点,因此选项A满足要求;y=sin x为奇函数;y=ln x既不是奇函数也不是偶函数;y=x2+1无零点,均不满足要求.故选A.3.(2015安徽,理3)设p:1x1,则p是q成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分

4、必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:由2x1,得x0,所以由p:1x0成立,而由q:x0不能得到p:1x0,b0,c0B.a0,c0C.a0,c0D.a0,b0,c0,因此b0.函数f(x)的定义域为(-,-c)(-c,+),因此-c0,c0.而当x+时,f(x)0,可得a0,故选C.10.(2015安徽,理10)已知函数f(x)=Asin(x+)(A,均为正的常数)的最小正周期为,当x=23时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是()A.f(2)f(-2)f(0)B.f(0)f(2)f(-2)C.f(-2)f(0)f(2)D.f(2)f(0)0,f(2)=Asin4+6=32

5、Asin 4+A2cos 40,f(-2)=Asin-4+6=-32Asin 4+A2cos 4.因为f(2)-f(-2)=3Asin 40,所以f(2)f(-2).又f(-2)-f(0)=-Asin4-6-A2=-Asin4-6+12,因为4-6+6sin+6=-12,即sin4-6+120,所以f(-2)f(0).综上,f(2)f(-2)0.005,继续循环,a=1+11+32=1+25=75,n=3;此时|a-1.414|0.005,继续循环,a=1+11+75=1+512=1712,n=4;此时|a-1.414|0.0032;a=0,b=2;a=1,b=2.答案:解析:方程仅有一个实根

6、,则函数f(x)=x3+ax+b的图象与x轴只有一个公共点.当a=-3时,f(x)=x3-3x+b,f(x)=3x2-3,由f(x)=0,得x=1,易知f(x)在x=-1处取极大值,在x=1处取极小值.当b=-3时,f(-1)=-10,f(1)=-50,f(1)=0,图象与x轴有2个公共点,不满足题意,故不正确;当b2时,f(-1)=2+b4,f(1)=-2+b0,满足题意,故正确;当a=0和a=1时,f(x)=3x2+a0,f(x)在R上为增函数,所以函数f(x)=x3+ax+b的图象与x轴只有一个交点,故也满足题意.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

7、骤.解答写在答题卡上的指定区域内.16.(本小题满分12分)(2015安徽,理16)在ABC中,A=34,AB=6,AC=32,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.解:设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosBAC=(32)2+62-2326cos34=18+36-(-36)=90,所以a=310.又由正弦定理得sin B=bsinBACa=3310=1010,由题设知0B(2n-1)2-1(2n)2=2n-22n=n-1n,所以Tn1221223n-1n=14n.综上可得对任意的nN*,均有Tn14n.19.(本小题满分13分)(20

8、15安徽,理19)如图所示,在多面体A1B1D1DCBA中,四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形,E为B1D1的中点,过A1,D,E的平面交CD1于F.(1)证明:EFB1C;(2)求二面角E-A1D-B1的余弦值.(1)证明:由正方形的性质可知A1B1ABDC,且A1B1=AB=DC,所以四边形A1B1CD为平行四边形.从而B1CA1D,又A1D面A1DE,B1C面A1DE,于是B1C面A1DE.又B1C面B1CD1,面A1DE面B1CD1=EF,所以EFB1C.(2)解:因为四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形,所以AA1AB,AA1AD,ABAD且AA1=

9、AB=AD,以A为原点,分别以AB,AD,AA1为x轴、y轴和z轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系,可得点的坐标A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),D1(0,1,1),而E点为B1D1的中点,所以E点的坐标为(0.5,0.5,1).设面A1DE的法向量n1=(r1,s1,t1),而该面上向量A1E=(0.5,0.5,0),A1D=(0,1,-1),由n1A1E,n1A1D得r1,s1,t1应满足的方程组0.5r1+0.5s1=0,s1-t1=0,(-1,1,1)为其一组解,所以可取n1=(-1,1,1).设面A1B1CD的法向量n

10、2=(r2,s2,t2),而该面上向量A1B1=(1,0,0),A1D=(0,1,-1),由此同理可得n2=(0,1,1).所以结合图形知二面角E-A1D-B1的余弦值为|n1n2|n1|n2|=232=63.20.(本小题满分13分)(2015安徽,理20)设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为510.(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为72,求E的方程.解:(1)由题设条件知,点M的

11、坐标为23a,13b,又kOM=510,从而b2a=510,进而得a=5b,c=a2-b2=2b,故e=ca=255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB的方程为x5b+yb=1,点N的坐标为52b,-12b.设点N关于直线AB的对称点S的坐标为x1,72,则线段NS的中点T的坐标为54b+x12,-14b+74.又点T在直线AB上,且kNSkAB=-1,从而有54b+x125b+-14b+74b=1,72+12bx1-52b=5,解得b=3.所以a=35,故椭圆E的方程为x245+y29=1.21.(本小题满分13分)(2015安徽,理21)设函数f(x)=x2-ax+b.(1)

12、讨论函数f(sin x)在-2,2内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值;(2)记f0(x)=x2-a0x+b0,求函数|f(sin x)-f0(sin x)|在-2,2上的最大值D;(3)在(2)中,取a0=b0=0,求z=b-a24满足条件D1时的最大值.解:(1)f(sin x)=sin2x-asin x+b=sin x(sin x-a)+b,-2x2.f(sin x)=(2sin x-a)cos x,-2x2.因为-2x0,-22sin x2.a-2,bR时,函数f(sin x)单调递增,无极值.a2,bR时,函数f(sin x)单调递减,无极值.对于-2a2,在-2,2内存在唯一

13、的x0,使得2sin x0=a.-2xx0时,函数f(sin x)单调递减;x0x2时,函数f(sin x)单调递增.因此,-2a2,bR时,函数f(sin x)在x0处有极小值f(sin x0)=fa2=b-a24.(2)-2x2时,|f(sin x)-f0(sin x)|=|(a0-a)sin x+b-b0|a-a0|+|b-b0|,当(a0-a)(b-b0)0时,取x=2,等号成立.当(a0-a)(b-b0)0时,取x=-2,等号成立.由此可知,|f(sin x)-f0(sin x)|在-2,2上的最大值为D=|a-a0|+|b-b0|.(3)D1,即为|a|+|b|1,此时0a21,-1b1,从而z=b-a241.取a=0,b=1,则|a|+|b|1,并且z=b-a24=1.由此可知,z=b-a24满足条件D1的最大值为1.