2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(天津卷).docx

1、2015年普通高等学校招生全国统一考试天津文科数学本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.第卷1至2页,第卷3至5页.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第卷注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.2.本卷共8小题,每小题5分,共40分.参考公式:如果事件A,B互斥,那么P(AB)=P(A)+P(B).柱体的体积公式V

2、=Sh,其中S表示柱体的底面面积,h表示柱体的高.锥体的体积公式V=13Sh,其中S表示锥体的底面面积,h表示锥体的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015天津,文1)已知全集U=1,2,3,4,5,6,集合A=2,3,5,集合B=1,3,4,6,则集合AUB=()A.3B.2,5C.1,4,6D.2,3,5答案:B解析:UB=2,5,A=2,3,5,AUB=2,5.故选B.2.(2015天津,文2)设变量x,y满足约束条件x-20,x-2y0,x+2y-80,则目标函数z=3x+y的最大值为()A.7B.8C.9D.14答案:C解析:画出题中约束条件

3、满足的可行域,如图中阴影所示.目标函数z=3x+y可化为y=-3x+z,平移目标函数线当其过点A时,z取最大值.由x=2,x+2y-8=0得x=2,y=3.所以点A的坐标为(2,3),zmax=32+3=9.3.(2015天津,文3)阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出i的值为()A.2B.3C.4D.5答案:C解析:第一次循环,得i=1,S=9,不满足S1,进入循环体;第二次循环,得i=2,S=7,不满足S1,进入循环体;第三次循环,得i=3,S=4,不满足S1,进入循环体;第四次循环,得i=4,S=0,满足S1,终止循环,输出i=4.4.(2015天津,文4)设xR,则“1x2”是“

4、|x-2|1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:由|x-2|1解得1x3.因为“1x2”能推出“1x3”,“1x3”推不出“1x2”,所以“1x2”是“|x-2|0,b0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为()A.x29-y213=1B.x213-y29=1C.x23-y2=1D.x2-y23=1答案:D解析:由题意知,双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线方程为y=bax.因为该双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,所以2ba1+ba2=3,解得b2=3a

5、2.又因为c2=a2+b2=4,所以a2=1,b2=3.故所求双曲线的方程为x2-y23=1.6.(2015天津,文6)如图,在圆O中,M,N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N.若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为()A.83B.3C.103D.52答案:A解析:由相交弦定理,得CMMD=AMMB,CNNE=ANNB.因为M,N是弦AB的三等分点,所以AM=MN=NB,MB=AN.所以AMMB=ANNB.所以CMMD=CNNE,即24=3NE,解得NE=83.7.(2015天津,文7)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log

6、0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为()A.abcB.cabC.acbD.cba答案:B解析:f(-x)=2|-x-m|-1=2|x+m|-1,且f(x)为偶函数,2|x+m|-1=2|x-m|-1对任意的xR恒成立,解得m=0.f(x)=2|x|-1,且f(x)在0,+)上为增函数.a=f(log0.53)=f(-log23)=f(log23),c=f(2m)=f(0),且0log23log25,f(0)f(log23)f(log25),即ca2,函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为()A.2B.3C.4D.5答案:A

7、解析:因为f(x)=2+x,x2,所以f(2-x)=2+(2-x),2-x2x2,x2,f(x)+f(2-x)=x2+x+2,x2,所以函数y=f(x)-g(x)=f(x)-3+f(2-x)=x2+x-1,x2.其图象如图所示.显然函数图象与x轴有2个交点,故函数有2个零点.第卷注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题,共110分.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.(2015天津,文9)i是虚数单位,计算1-2i2+i的结果为.答案:-i解析:1-2i2+i=(1-2i)(2-i)(2+i)(2-i)=2-i-4i-25=-5i5=-i.

8、10.(2015天津,文10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.答案:83解析:由三视图可知,该几何体是一个组合体,左、右两边是两个相同的圆锥,底面半径为1,高为1;中间是一个圆柱,底面半径为1,高为2,所以该几何体的体积V=213121+122=23+2=83.11.(2015天津,文11)已知函数f(x)=axln x,x(0,+),其中a为实数,f(x)为f(x)的导函数,若f(1)=3,则a的值为.答案:3解析:因为f(x)=axln x,所以f(x)=aln x+ax1x=a(ln x+1).由f(1)=3得a(ln 1+1)=3,所以a=3.12.(2

9、015天津,文12)已知a0,b0,ab=8,则当a的值为时,log2alog2(2b)取得最大值.答案:4解析:由题意知log2alog2(2b)log2a+log2(2b)22=log2(2ab)22=log21622=4,当且仅当log2a=log2(2b),即a=2b时等号成立.又因为ab=8,且a0,所以a=4.13.(2015天津,文13)在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,AB=2,BC=1,ABC=60.点E和F分别在线段BC和DC上,且BE=23BC,DF=16DC,则AEAF的值为.答案:2918解析:由平面几何知识可求得CD=1.由BE=23BC,DF=16DC,得AEA

10、F=(AB+BE)(AD+DF)=AB+23BCAD+16DC=AB+23BCAD+112AB=ABAD+112AB2+23BCAD+118BCAB=|AB|AD|cos 60+11222+23|BC|AD|cos 60+118|BC|AB|cos 120=2112+13+231112-1181212=53-118=2918.14.(2015天津,文14)已知函数f(x)=sin x+cos x(0),xR.若函数f(x)在区间(-,)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=对称,则的值为.答案:2解析:f(x)=sin x+cos x=2sinx+4,由2k-2x+42k+2,kZ,

11、解得2k-34x2k+4,kZ,即f(x)的单调递增区间是2k-34,2k+4(kZ),而f(x)在区间(-,)内单调递增,所以2k-34-(kZ),2k+4(kZ),解得2-2k+34(kZ),22k+4(kZ).因为20,所以只能取k=0,这时有00.由已知,有2q2-3d=2,q4-3d=10,消去d,整理得q4-2q2-8=0.又因为q0,解得q=2,所以d=2.所以数列an的通项公式为an=2n-1,nN*;数列bn的通项公式为bn=2n-1,nN*.(2)由(1)有cn=(2n-1)2n-1,设cn的前n项和为Sn,则Sn=120+321+522+(2n-3)2n-2+(2n-1)

12、2n-1,2Sn=121+322+523+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n,上述两式相减,得-Sn=1+22+23+2n-(2n-1)2n=2n+1-3-(2n-1)2n=-(2n-3)2n-3,所以,Sn=(2n-3)2n+3,nN*.19.(本小题满分14分)(2015天津,文19)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的上顶点为B,左焦点为F,离心率为55.(1)求直线BF的斜率;(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B),直线PQ与y轴交于点M,|PM|=|MQ|.求的值;若|PM|sinBQP=759,求椭圆的方程.解:

13、(1)设F(-c,0).由已知离心率ca=55及a2=b2+c2,可得a=5c,b=2c.又因为B(0,b),F(-c,0),故直线BF的斜率k=b-00-(-c)=2cc=2.(2)设点P(xP,yP),Q(xQ,yQ),M(xM,yM).由(1)可得椭圆的方程为x25c2+y24c2=1,直线BF的方程为y=2x+2c.将直线方程与椭圆方程联立,消去y,整理得3x2+5cx=0,解得xP=-5c3.因为BQBP,所以直线BQ的方程为y=-12x+2c,与椭圆方程联立,消去y,整理得21x2-40cx=0,解得xQ=40c21.又因为=|PM|MQ|,及xM=0,可得=|xM-xP|xQ-x

14、M|=|xP|xQ|=78.由有|PM|MQ|=78,所以|PM|PM|+|MQ|=77+8=715,即|PQ|=157|PM|.又因为|PM|sinBQP=759,所以|BP|=|PQ|sinBQP=157|PM|sinBQP=553.又因为yP=2xP+2c=-43c,所以|BP|=0+5c32+2c+4c32=553c,因此553c=553,得c=1.所以,椭圆方程为x25+y24=1.20.(本小题满分14分)(2015天津,文20)已知函数f(x)=4x-x4,xR.(1)求f(x)的单调区间;(2)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证

15、:对于任意的实数x,都有f(x)g(x);(3)若方程f(x)=a(a为实数)有两个实数根x1,x2,且x10,即x1时,函数f(x)单调递增;当f(x)1时,函数f(x)单调递减.所以,f(x)的单调递增区间为(-,1),单调递减区间为(1,+).(2)证明:设点P的坐标为(x0,0),则x0=413,f(x0)=-12.曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=f(x0)(x-x0),即g(x)=f(x0)(x-x0).令函数F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=f(x)-f(x0)(x-x0),则F(x)=f(x)-f(x0).由于f(x)=-4x3+4在(-,+)上单调递减,故F(x

16、)在(-,+)上单调递减.又因为F(x0)=0,所以当x(-,x0)时,F(x)0,当x(x0,+)时,F(x)0,所以F(x)在(-,x0)上单调递增,在(x0,+)上单调递减,所以对于任意的实数x,F(x)F(x0)=0,即对于任意的实数x,都有f(x)g(x).(3)证明:由(2)知g(x)=-12(x-413).设方程g(x)=a的根为x2,可得x2=-a12+413.因为g(x)在(-,+)上单调递减,又由(2)知g(x2)f(x2)=a=g(x2),因此x2x2.类似地,设曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=h(x),可得h(x)=4x.对于任意的x(-,+),有f(x)-h(x)=-x40,即f(x)h(x).设方程h(x)=a的根为x1,可得x1=a4.因为h(x)=4x在(-,+)上单调递增,且h(x1)=a=f(x1)h(x1),因此x1x1.由此可得x2-x1x2-x1=-a3+413.