2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学丙卷.docx

1、绝密 启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项:1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答第卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。(1) 设集合A=0,2,4,6,8,10,B=4,8,则AB=(A)4,8(B)0,2,6(C

2、)0,2,6,10(D)0,2,4,6,8,10(2) 若z=4+3i,则z|z|=(A)1(B)-1(C)45+35i(D)45-35i(3) 已知向量BA=(12,32),BC=(32,12),则ABC=(A)30(B)45(C)60(D)120(4) 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15,B点表示四月的平均最低气温约为5.下面叙述不正确的是(A)各月的平均最低气温都在0以上(B)七月的平均温差比一月的平均温差大(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同(D)平均最高气温高于20的月份有5个(5) 小

3、敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是(A)815(B)18(C)115(D)130(6) 若tan=-13,则cos2=(A)-45(B)-15(C)15(D)45(7) 已知a=243,b=323,c=2513,则(A)bac(B)abc(C)bca(D)cab0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点,P为C上一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为(A)13(B)12(C)23(D)34第卷本卷包括必考题

4、和选考题两部分。第1321题为必考题,每个试题考生都必须作答。第2224题为选考题。考生根据要求作答。二、填空题:本题共4小题,每小题5分。(13) 设x,y满足约束条件2x-y+10,x-2y-10,x1,则z=2x+3y-5的最小值为.(14) 函数y=sinx-3cosx的图像可由函数y=2sinx的图像至少向右平移个单位长度得到.(15) 已知直线l:x-3y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,则|CD|=.(16) 已知f(x)为偶函数,当x0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是.三、解答题:

5、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(17) (本小题满分12分)已知各项都为正数的数列an满足a1=1,an2-(2an+1-1)an-2an+1=0.()求a2,a3;()求an的通项公式.(18) (本小题满分12分)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.注:年份代码1-7分别对应年份2008-2014.()由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;()建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注:参考数据:i=17yi=9.32,i=17tiyi=40.17,i=17(y

6、i-y)2=0.55,72.646.参考公式:相关系数r=i=1n(ti-t)(yi-y)i=1n(ti-t)2i=1n(yi-y)2,回归方程y=a+bt中斜率和截距最小二乘估计公式分别为:b=i=1n(ti-t)(yi-y)i=1n(ti-t)2,a=y-bt.(19) (本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.()证明MN平面PAB;()求四面体N-BCM的体积.(20) (本小题满分12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于

7、A,B两点,交C的准线于P,Q两点.()若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明ARFQ;()若PQF的面积是ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.(21) (本小题满分12分)设函数f(x)=lnx-x+1.()讨论f(x)的单调性;()证明当x(1,+)时,1x-1lnx1,证明当x(0,1)时,1+(c-1)xcx.请考生在第2224题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。(22) (本小题满分10分)选修41:几何证明选讲如图,O中AB的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点.()若PFB=2PCD,求PCD的大小;()若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证

8、明OGCD.(23) (本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=3cos,y=sin,(为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为sin(+4)=22.()写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;()设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.(24) (本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-a|+a.()当a=2时,求不等式f(x)6的解集;()设函数g(x)=|2x-1|.当xR时,f(x)+g(x)3,求a的取值范围.试卷全解全析全国丙卷文科(1

9、)C根据补集的定义,知从集合A=0,2,4,6,8,10中去掉集合B中的元素4,8后,剩下的4个元素0,2,6,10构成的集合即为AB,即AB=0,2,6,10,故选C.(2)D因为z=4+3i,所以它的模为|z|=|4+3i|=42+32=5,共轭复数为z=4-3i.故z|z|=45-35i,选D.(3)A因为BA=12,32,BC=32,12,所以BABC=34+34=32.又因为BABC=|BA|BC|cosABC=11cosABC=cosABC,所以cosABC=32,即ABC=30.故选A.(4)D由题图可知,0 在虚线圈内,所以各月的平均最低气温都在0 以上,A正确;易知B,C正确

10、;平均最高气温高于20 的月份有3个,分别为六月、七月、八月,D错误.故选D.(5)C密码的前两位共有15种可能,其中只有1种是正确的密码,因此所求概率为115.故选C.(6)D(方法1)cos 2=cos2-sin2=cos2-sin2cos2+sin2=1-tan21+tan2=1-1321+-132=45.故选D.(方法2)tan =-13,sincos=-13,即3sin =-cos .两边平方得9sin2=cos2,即91-cos22=1+cos22,解得cos 2=45.(7)A因为a=243=423,c=2513=523,b=323,且函数y=x23在0,+)内是增函数,所以32

11、3423523,即ba16,退出循环,输出n=4.故选B.(9)D(方法1)记角A,B,C的对边分别为a,b,c,则由题意得,SABC=12a13a=12acsin B,c=23a.由正弦定理,得sin C=23sin A.C=34-A,sin C=sin34-A=23sin A,即22cos A+22sin A=23sin A,整理得sin A=-3cos A.sin2A+cos2A=1,sin2A+19sin2A=1,即sin2A=910,解得sin A=31010(排除负值).故选D.(方法2)记角A,B,C的对边分别为a,b,c,则由题意得SABC=12aa3=12acsin B,c=

12、23a.b2=a2+23a2-2a2a322=5a29,即b=5a3.由正弦定理asinA=bsinB得,sin A=asinBb=a225a3=31010.故选D.(10)B由题意知该几何体为四棱柱,且四棱柱的底面是边长为3的正方形,侧棱长为35,所以所求表面积为(33+36+335)2=54+185,故选B.(11)B由题意知要使球的体积最大,则它与直三棱柱的若干个面相切.设球的半径为R,易得ABC的内切球的半径为6+8-102=2,则R2.因为2R3,即R32,所以Vmax=43323=92,故选B.(12)A由题意知,A(-a,0),B(a,0),根据对称性,不妨令P-c,b2a,设l

13、:x=my-a,M-c,a-cm,E0,am.直线BM:y=-a-cm(a+c)(x-a).又直线BM经过OE的中点,(a-c)a(a+c)m=a2m,解得a=3c.e=ca=13,故选A.(13)-10满足已知条件的可行域为如图所示的阴影部分,其中A(1,0),B(-1,-1),C(1,3).z=2x+3y-5,y=-2x3+5+z3.作直线y=-23x,并在可行域内移动,当直线经过点B时,直线在y轴上的截距最小,即z最小.故zmin=2(-1)+3(-1)-5=-10.(14)3因为y=sin x-3cos x=2sinx-3,所以函数y=sin x-3cos x的图像可由函数y=2sin

14、 x的图像至少向右平移3个单位长度得到.(15)4由题意得直线l的倾斜角为6,坐标原点O到直线l的距离为|6|1+(-3)2=3.设直线l与x轴交于点E,结合题意知B(0,23),E(-6,0),则|BE|=62+(23)2=43.因为|AB|=212-32=23,所以A为EB的中点.由题意知ACBD,所以C为DE的中点,即|CE|=|CD|=|AE|cos6=|AB|cos6=2332=4.(16)y=2x当x0时,-x0,f(-x)=ex-1+x.因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=ex-1+x.因为f(x)=ex-1+1,所以f(1)=2,所求切线方程为y-2=2(x-1),

15、即y=2x.(17)解 ()由题意得a2=12,a3=14.5分()(等比数列的定义、通项公式)由an2-(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+1).因为an的各项都为正数,所以an+1an=12.故an是首项为1,公比为12的等比数列,因此an=12n-1.12分(18)解 ()由折线图中数据和附注中参考数据得t=4,i=17(ti-t)2=28,i=17(yi-y)2=0.55,i=17(ti-t)(yi-y)=i=17tiyi-t i=17yi=40.17-49.32=2.89.r2.890.5522.6460.99.4分因为y与t的相关系数近似为0

16、.99,说明y与t的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.6分()由y=9.3271.331及()得b=i=17(ti-t)(yi-y)i=17(ti-t)2=2.89280.103,a=y-b t1.331-0.10340.92.所以,y关于t的回归方程为:y=0.92+0.10t.10分将2016年对应的t=9代入回归方程得:y=0.92+0.109=1.82.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨.12分(19)解 ()由已知得AM=23AD=2.取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TNBC,TN=12BC=2.3分又ADBC,故T

17、N􀱀AM,四边形AMNT为平行四边形,于是MNAT.因为AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN平面PAB.6分()因为PA平面ABCD,N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为12PA.9分取BC的中点E,连结AE.由AB=AC=3得AEBC,AE=AB2-BE2=5.由AMBC得M到BC的距离为5,故SBCM=1245=25.所以四面体N-BCM的体积VN-BCM=13SBCMPA2=453.12分(20)解 由题设知F12,0.设l1:y=a,l2:y=b,则ab0,且Aa22,a,Bb22,b,P-12,a,Q-12,b,R-12,a+b2.记过A,B两点的直线为

18、l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.3分()由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=a-b1+a2=a-ba2-ab=1a=-aba=-b=k2.所以ARFQ.5分()设l与x轴的交点为D(x1,0),则SABF=12|b-a|FD|=12|b-a|x1-12,SPQF=|a-b|2.由题设可得12|b-a|x1-12=|a-b|2,所以x1=0(舍去),x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).(分类讨论)当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得2a+b=yx-1(x1).而a+b2=y,所以y2=x-1(x1).当AB与x轴垂直时

19、,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.12分(21)解 ()(导数与函数的单调性)由题设,f(x)的定义域为(0,+),f(x)=1x-1,令f(x)=0解得x=1.当0x0,f(x)单调递增;当x1时,f(x)0,f(x)单调递减.4分()由()知f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=0.所以当x1时,ln xx-1.故当x(1,+)时,ln xx-1,ln1x1x-1,即1x-1lnx1,(构造函数)设g(x)=1+(c-1)x-cx,则g(x)=c-1-cxln c,令g(x)=0,解得x0=lnc-1lnclnc.当x0,g(x)单调递增;当xx0时,g(x)0,g

20、(x)单调递减.9分由()知1c-1lncc,故0x01.又g(0)=g(1)=0,故当0x0.所以当x(0,1)时,1+(c-1)xcx.12分(22)解 ()连结PB,BC,则BFD=PBA+BPD,PCD=PCB+BCD.因为AP=BP,所以PBA=PCB.又BPD=BCD,所以BFD=PCD.又PFB+BFD=180,PFB=2PCD,所以3PCD=180,因此PCD=60.5分()因为PCD=BFD,所以EFD+PCD=180,由此知C,D,F,E四点共圆,其圆心既在CE的垂直平分线上,又在DF的垂直平分线上,故G就是过C,D,F,E四点的圆的圆心,所以G在CD的垂直平分线上.又O也

21、在CD的垂直平分线上,因此OGCD.10分(23)解 ()C1的普通方程为x23+y2=1.C2的直角坐标方程为x+y-4=0.5分()由题意,可设点P的直角坐标为(3cos ,sin ).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d()的最小值,d()=|3cos+sin-4|2=2sin+3-2.8分当且仅当=2k+6(kZ)时,d()取得最小值,最小值为2,此时P的直角坐标为32,12.10分(24)解 ()当a=2时,f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+26得-1x3.因此f(x)6的解集为x|-1x3.5分()当xR时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当x=12时等号成立,所以当xR时,f(x)+g(x)3等价于|1-a|+a3.7分(分类讨论)当a1时,等价于1-a+a3,无解.当a1时,等价于a-1+a3,解得a2.所以a的取值范围是2,+).10分