2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(天津卷)文.docx

1、天津文科本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.第卷1至2页,第卷3至5页.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第卷注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.2.本卷共8小题,每小题5分,共40分.参考公式:如果事件A,B互斥,那么P(AB)=P(A)+P(B).棱柱的体积公式V=Sh.其中S表示棱柱的底面面积,h表示棱

2、柱的高.球的体积公式V=43R3.其中R表示球的半径.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013天津,文1)已知集合A=xR|x|2,B=xR|x1,则AB=(). A.(-,2B.1,2C.-2,2D.-2,1答案:D解析:解不等式|x|2,得-2x2,即A=x|-2x2,AB=x|-2x1,故选D.2.(2013天津,文2)设变量x,y满足约束条件3x+y-60,x-y-20,y-30,则目标函数z=y-2x的最小值为().A.-7B.-4C.1D.2答案:A解析:作约束条件3x+y-60,x-y-20,y-30所表示的可行域,如图所示,z=y-2x可化

3、为y=2x+z,z表示直线在y轴上的截距,截距越大z越大,作直线l0:y=2x,平移l0,当l0过点A(5,3)时,z取最小值,且为-7,选A.3.(2013天津,文3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出n的值为().A.7B.6C.5D.4答案:D解析:由程序框图可知,n=1时,S=-1;n=2时,S=1;n=3时,S=-2;n=4时,S=22,输出n的值为4,故选D.4.(2013天津,文4)设a,bR,则“(a-b)a20”是“ab”的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:因为a20,而(a-b)a20,所以a-b0,即a

4、b;由ab,a20,得到(a-b)a20可以为0,所以“(a-b)a20”是“ab”的充分而不必要条件.5.(2013天津,文5)已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a=().A.-12B.1C.2D.12答案:C解析:由题意知点P(2,2)在圆(x-1)2+y2=5上,设切线的斜率为k,则k2-02-1=-1,解得k=-12,直线ax-y+1=0的斜率为a,其与切线垂直,所以-12a=-1,解得a=2,故选C.6.(2013天津,文6)函数f(x)=sin2x-4在区间0,2上的最小值为().A.-1B.-22C.22D.0答案:B解析:

5、因为x0,2,所以2x-4-4,34,当2x-4=-4,即x=0时,f(x)取得最小值-22.7.(2013天津,文7)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间0,+)上单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(log12a)2f(1),则a的取值范围是().A.1,2B.0,12C.12,2D.(0,2答案:C解析:因为log12a=-log2a,所以f(log2a)+f(log12a)=f(log2a)+f(-log2a)=2f(log2a),原不等式变为2f(log2a)2f(1),即f(log2a)f(1).又因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在0,+)上递增,所以|log2

6、a|1,即-1log2a1,解得12a2,故选C.8.(2013天津,文8)设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3.若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则().A.g(a)0f(b)B.f(b)0g(a)C.0g(a)f(b)D.f(b)g(a)0答案:A解析:由f(a)=ea+a-2=0得0a1.由g(b)=ln b+b2-3=0得1b2.因为g(a)=ln a+a2-30,所以f(b)0g(a),故选A.第卷注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题,共110分.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.(2013天

7、津,文9)i是虚数单位,复数(3+i)(1-2i)=.答案:5-5i解析:(3+i)(1-2i)=3-6i+i-2i2=5-5i.10.(2013天津,文10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为92,则正方体的棱长为.答案:3解析:由题意知V球=43R3=92,R=32.设正方体的棱长为a,则3a2=2R,a=3,所以正方体的棱长为3.11.(2013天津,文11)已知抛物线y2=8x的准线过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为.答案:x2-y23=1解析:抛物线y2=8x的准线为x=-2,则双曲线的一个焦点为(-2,0

8、),即c=2,离心率e=ca=2,故a=1,由a2+b2=c2得b2=3,所以双曲线的方程为x2-y23=1.12.(2013天津,文12)在平行四边形ABCD中,AD=1,BAD=60,E为CD的中点.若ACBE=1,则AB的长为.答案:12解析:取平面的一组基底AB,AD,则AC=AB+AD,BE=BC+CE=-12AB+AD,ACBE=(AB+AD)-12AB+AD=-12|AB|2+12ABAD+|AD|2=-12|AB|2+14|AB|+1=1,解方程得|AB|=12(舍去|AB|=0),所以线段AB的长为12.13.(2013天津,文13)如图,在圆内接梯形ABCD中,ABDC.过

9、点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB=AD=5,BE=4,则弦BD的长为.答案:152解析:因为在圆内接梯形ABCD中,ABDC,所以AD=BC,BAD+BCD=180,ABE=BCD.所以BAD+ABE=180.又因为AE为圆的切线,所以AE2=BEEC=49=36,故AE=6.在ABE中,由余弦定理得cosABE=AB2+BE2-AE22ABBE=18,cosBAD=cos(180-ABE)=-cosABE=-18,在ABD中,BD2=AB2+AD2-2ABADcosBAD=2254,所以BD=152.14.(2013天津,文14)设a+b=2,b0,则12|a|+|a|b的最小值

10、为.答案:34解析:因为a+b=2,所以a+b2=1,12|a|+|a|b=a+b22|a|+|a|b=a4|a|+b4|a|+|a|ba4|a|+2b4|a|a|b=a4|a|+1,当且仅当b=2|a|时,等号成立.当a0时,a4|a|+1=54,故12|a|+|a|b54;当ab0)的左焦点为F,离心率为33,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程;(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若ACDB+ADCB=8,求k的值.解:(1)设F(-c,0),由ca=33,知a=3c.过点F且与x轴垂直的直线为x=-c,代入

11、椭圆方程有(-c)2a2+y2b2=1,解得y=6b3,于是26b3=433,解得b=2,又a2-c2=b2,从而a=3,c=1,所以椭圆的方程为x23+y22=1.(2)设点C(x1,y1),D(x2,y2),由F(-1,0)得直线CD的方程为y=k(x+1),由方程组y=k(x+1),x23+y22=1消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.求解可得x1+x2=-6k22+3k2,x1x2=3k2-62+3k2.因为A(-3,0),B(3,0),所以ACDB+ADCB=(x1+3,y1)(3-x2,-y2)+(x2+3,y2)(3-x1,-y1)=6-2x1x2-2y1

12、y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+2k2+122+3k2.由已知得6+2k2+122+3k2=8,解得k=2.19.(2013天津,文19)(本小题满分14分)已知首项为32的等比数列an的前n项和为Sn(nN*),且-2S2,S3,4S4成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)证明Sn+1Sn136(nN*).(1)解:设等比数列an的公比为q,因为-2S2,S3,4S4成等差数列,所以S3+2S2=4S4-S3,即S4-S3=S2-S4,可得2a4=-a3,于是q=a4a3=-12.又a1=32,所以等

13、比数列an的通项公式为an=32-12n-1=(-1)n-132n.(2)证明:Sn=1-12n,Sn+1Sn=1-12n+11-12n=2+12n(2n+1),n为奇数,2+12n(2n-1),n为偶数.当n为奇数时,Sn+1Sn随n的增大而减小,所以Sn+1SnS1+1S1=136.当n为偶数时,Sn+1Sn随n的增大而减小,所以Sn+1SnS2+1S2=2512.故对于nN*,有Sn+1Sn136.20.(2013天津,文20)(本小题满分14分)设a-2,0,已知函数f(x)=x3-(a+5)x,x0,x3-a+32x2+ax,x0.(1)证明f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区

14、间(1,+)内单调递增;(2)设曲线y=f(x)在点Pi(xi,f(xi)(i=1,2,3)处的切线相互平行,且x1x2x30.证明x1+x2+x3-13.证明:(1)设函数f1(x)=x3-(a+5)x(x0),f2(x)=x3-a+32x2+ax(x0),f1(x)=3x2-(a+5),由a-2,0,从而当-1x0时,f1(x)=3x2-(a+5)3-a-50,所以函数f1(x)在区间(-1,0内单调递减.f2(x)=3x2-(a+3)x+a=(3x-a)(x-1),由于a-2,0,所以当0x1时,f2(x)1时,f2(x)0.即函数f2(x)在区间0,1)内单调递减,在区间(1,+)内单

15、调递增.综合,及f1(0)=f2(0),可知函数f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+)内单调递增.(2)由(1)知f(x)在区间(-,0)内单调递减,在区间0,a+36内单调递减,在区间a+36,+内单调递增.因为曲线y=f(x)在点Pi(xi,f(xi)(i=1,2,3)处的切线相互平行,从而x1,x2,x3互不相等,且f(x1)=f(x2)=f(x3).不妨设x10x2x3,由3x12-(a+5)=3x22-(a+3)x2+a=3x32-(a+3)x3+a,可得3x22-3x32-(a+3)(x2-x3)=0,解得x2+x3=a+33,从而0x2a+36x3.设g(x)=3x2-(a+3)x+a,则ga+36g(x2)g(0)=a.由3x12-(a+5)=g(x2)a,解得-2a+53x1-2a+53+a+33,设t=2a+53,则a=3t2-52,因为a-2,0,所以t33,153,故x1+x2+x3-t+3t2+16=12(t-1)2-13-13,即x1+x2+x3-13.