2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(江苏卷).docx

1、江苏数学试题参考公式:样本数据x1,x2,xn的方差s2=1ni=1n(xi-x)2,其中x=1ni=1nxi.棱锥的体积公式:V=13Sh,其中S是锥体的底面积,h为高.棱柱的体积公式:V=Sh,其中S是柱体的底面积,h为高.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.(2013江苏,1)函数y=3sin2x+4的最小正周期为.答案:解析:函数y=3sin2x+4的最小正周期T=22=.2.(2013江苏,2)设z=(2-i)2(i为虚数单位),则复数z的模为.答案:5解析:|z|=|(2-i)2|=|4-4i+i2|=|3-4i|=32+(-4

2、)2=5.3.(2013江苏,3)双曲线x216-y29=1的两条渐近线的方程为.答案:y=34x解析:由题意可知所求双曲线的渐近线方程为y=34x.4.(2013江苏,4)集合-1,0,1共有个子集.答案:8解析:由于集合-1,0,1有3个元素,故其子集个数为23=8.5.(2013江苏,5)下图是一个算法的流程图,则输出的n的值是.答案:3解析:第一次循环后:a8,n2;第二次循环后:a26,n3;由于2620,跳出循环,输出n=3.6.(2013江苏,6)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下:运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990

3、918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为.答案:2解析:由题中数据可得x甲=90,x乙=90.于是s甲2=15(87-90)2+(91-90)2+(90-90)2+(89-90)2+(93-90)2=4,s乙2=15(89-90)2+(90-90)2+(91-90)2+(88-90)2+(92-90)2=2,由s甲2s乙2,可知乙运动员成绩稳定.故应填2.7.(2013江苏,7)现有某类病毒记作XmYn,其中正整数m,n(m7,n9)可以任意选取,则m,n都取到奇数的概率为.答案:2063解析:由题意知m的可能取值为1,2,3,7;n的可能取值为1,2,3,9.由于是任取

4、m,n:若m=1时,n可取1,2,3,9,共9种情况;同理m取2,3,7时,n也各有9种情况,故m,n的取值情况共有79=63种.若m,n都取奇数,则m的取值为1,3,5,7,n的取值为1,3,5,7,9,因此满足条件的情形有45=20种.故所求概率为2063.8.(2013江苏,8)如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1V2=.答案:124解析:由题意可知点F到面ABC的距离与点A1到面ABC的距离之比为12,SADESABC=14.因此V1V2=13AFSAED2AFSA

5、BC=124.9.(2013江苏,9)抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部和边界).若点P(x,y)是区域D内的任意一点,则x+2y的取值范围是.答案:-2,12解析:由题意可知抛物线y=x2在x=1处的切线方程为y=2x-1.该切线与两坐标轴围成的区域如图中阴影部分所示:当直线x+2y=0平移到过点A12,0时,x+2y取得最大值12.当直线x+2y=0平移到过点B(0,-1)时,x+2y取得最小值-2.因此所求的x+2y的取值范围为-2,12.10.(2013江苏,10)设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点,AD=12AB,BE=23BC.若DE=

6、1AB+2AC(1,2为实数),则1+2的值为.答案:12解析:由题意作图如图.在ABC中,DE=DB+BE=12AB+23BC=12AB+23(AC-AB)=-16AB+23AC=1AB+2AC,1=-16,2=23.故1+2=12.11.(2013江苏,11)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2-4x,则不等式f(x)x的解集用区间表示为.答案:(-5,0)(5,+)解析:函数f(x)为奇函数,且x0时,f(x)=x2-4x,则f(x)=x2-4x,x0,0,x=0,-x2-4x,x0,x2-4xx,或xx.由此可解得x5或-5x0,b0),右焦点为F,右准线为l,短

7、轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1,F到l的距离为d2.若d2=6d1,则椭圆C的离心率为.答案:33解析:设椭圆C的半焦距为c,由题意可设直线BF的方程为xc+yb=1,即bx+cy-bc=0.于是可知d1=bcb2+c2=bca,d2=a2c-c=a2-c2c=b2c.d2=6d1,b2c=6bca,即ab=6c2.a2(a2-c2)=6c4.6e4+e2-1=0.e2=13.e=33.13.(2013江苏,13)在平面直角坐标系xOy中,设定点A(a,a),P是函数y=1x(x0)图象上一动点.若点P,A之间的最短距离为22,则满足条件的实数a的所有值为.答案:-1,10解析

8、:设P点的坐标为x,1x,则|PA|2=(x-a)2+1x-a2=x2+1x2-2ax+1x+2a2.令t=x+1x2,则|PA|2=t2-2at+2a2-2=(t-a)2+a2-2(t2).结合题意可知(1)当a2,t=2时,|PA|2取得最小值.此时(2-a)2+a2-2=8,解得a=-1,a=3(舍去).(2)当a2,t=a时,|PA|2取得最小值.此时a2-2=8,解得a=10,a=-10(舍去).故满足条件的实数a的所有值为10,-1.14.(2013江苏,14)在正项等比数列an中,a5=12,a6+a7=3.则满足a1+a2+ana1a2an的最大正整数n的值为.答案:12解析:

9、设正项等比数列an的公比为q,则由a5=12,a6+a7=a5(q+q2)=3可得q=2,于是an=2n-6,则a1+a2+an=132(1-2n)1-2=2n-5-132.a5=12,q=2,a6=1,a1a11=a2a10=a62=1.a1a2a11=1.当n取12时,a1+a2+a12=27-132a1a2a11a12=a12=26成立;当n取13时,a1+a2+a13=28-13213时,随着n增大a1+a2+an将恒小于a1a2an.因此所求n的最大值为12.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(2013江

10、苏,15)(本小题满分14分)已知a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ),0.(1)若|a-b|=2,求证:ab;(2)设c=(0,1),若a-b=c,求,的值.(1)证明:由题意得|a-b|2=2,即(a-b)2=a2-2ab+b2=2.又因为a2=b2=|a|2=|b|2=1,所以2-2ab=2,即ab=0.故ab.(2)解:因为a+b=(cos +cos ,sin +sin )=(0,1),所以cos+cos=0,sin+sin=1,由此得cos =cos(-).由0,得0-,又0,所以=56,=6.16.(2013江苏,16)(本小题满分14分)如图,在三棱锥S-ABC

11、中,平面SAB平面SBC,ABBC,AS=AB.过A作AFSB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.求证:(1)平面EFG平面ABC;(2)BCSA.证明:(1)因为AS=AB,AFSB,垂足为F,所以F是SB的中点.又因为E是SA的中点,所以EFAB.因为EF平面ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC.同理EG平面ABC.又EFEG=E,所以平面EFG平面ABC.(2)因为平面SAB平面SBC,且交线为SB,又AF平面SAB,AFSB,所以AF平面SBC.因为BC平面SBC,所以AFBC.又因为ABBC,AFAB=A,AF,AB平面SAB,所以BC平面SAB.因为SA平面SAB,

12、所以BCSA.17.(2013江苏,17)(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.解:(1)由题设,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3,由题意,|3k+1|k2+1=1,解得k=0或-34,故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的

13、方程为(x-a)2+y-2(a-2)2=1.设点M(x,y),因为MA=2MO,所以x2+(y-3)2=2x2+y2,化简得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|2-1|CD2+1,即1a2+(2a-3)23.由5a2-12a+80,得aR;由5a2-12a0,得0a125.所以点C的横坐标a的取值范围为0,125.18.(2013江苏,18)(本小题满分16分)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B

14、,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min,在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min,山路AC长为1 260 m,经测量,cos A=1213,cos C=35.(1)求索道AB的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?解:(1)在ABC中,因为cos A=1213,cos C=35,所以sin A=513,sin C=45.从而sin B=sin-(A

15、+C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=51335+121345=6365.由正弦定理ABsinC=ACsinB,得AB=ACsinBsin C=1 260636545=1 040(m).所以索道AB的长为1 040 m.(2)假设乙出发t min后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t) m,乙距离A处130t m,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2130t(100+50t)1213=200(37t2-70t+50),因0t1 040130,即0t8,故当t=3537(min)时,甲、乙两游客距离最短.(3)由正弦定理

16、BCsinA=ACsinB,得BC=ACsinBsin A=1 2606365513=500(m).乙从B出发时,甲已走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min,由题意得-3500v-710503,解得1 25043v62514,所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min,乙步行的速度应控制在1 25043,62514(单位:m/min)范围内.19.(2013江苏,19)(本小题满分16分)设an是首项为a,公差为d的等差数列(d0),Sn是其前n项和.记bn=nSnn2+c,nN*,其中c为实数.(1)若c=0,且b1,b2,

17、b4成等比数列,证明:Snk=n2Sk(k,nN*);(2)若bn是等差数列,证明:c=0.证明:由题设,Sn=na+n(n-1)2d.(1)由c=0,得bn=Snn=a+n-12d.又因为b1,b2,b4成等比数列,所以b22=b1b4,即a+d22=aa+32d,化简得d2-2ad=0.因为d0,所以d=2a.因此,对于所有的mN*,有Sm=m2a.从而对于所有的k,nN*,有Snk=(nk)2a=n2k2a=n2Sk.(2)设数列bn的公差是d1,则bn=b1+(n-1)d1,即nSnn2+c=b1+(n-1)d1,nN*,代入Sn的表达式,整理得,对于所有的nN*,有d1-12dn3+

18、b1-d1-a+12dn2+cd1n=c(d1-b1).令A=d1-12d,B=b1-d1-a+12d,D=c(d1-b1),则对于所有的nN*,有An3+Bn2+cd1n=D.(*)在(*)式中分别取n=1,2,3,4,得A+B+cd1=8A+4B+2cd1=27A+9B+3cd1=64A+16B+4cd1,从而有7A+3B+cd1=0,19A+5B+cd1=0,21A+5B+cd1=0,由,得A=0,cd1=-5B,代入方程,得B=0,从而cd1=0.即d1-12d=0,b1-d1-a+12d=0,cd1=0.若d1=0,则由d1-12d=0,得d=0,与题设矛盾,所以d10.又因为cd1

19、=0,所以c=0.20.(2013江苏,20)(本小题满分16分)设函数f(x)=ln x-ax,g(x)=ex-ax,其中a为实数.(1)若f(x)在(1,+)上是单调减函数,且g(x)在(1,+)上有最小值,求a的取值范围;(2)若g(x)在(-1,+)上是单调增函数,试求f(x)的零点个数,并证明你的结论.解:(1)令f(x)=1x-a=1-axx0,进而解得xa-1,即f(x)在(a-1,+)上是单调减函数.同理,f(x)在(0,a-1)上是单调增函数.由于f(x)在(1,+)上是单调减函数,故(1,+)(a-1,+),从而a-11,即a1.令g(x)=ex-a=0,得x=ln a.当

20、xln a时,g(x)ln a时,g(x)0.又g(x)在(1,+)上有最小值,所以ln a1,即ae.综上,有a(e,+).(2)当a0时,g(x)必为单调增函数;当a0时,令g(x)=ex-a0,解得aln a.因为g(x)在(-1,+)上是单调增函数,类似(1)有ln a-1,即00,得f(x)存在唯一的零点;当a0时,由于f(ea)=a-aea=a(1-ea)0,且函数f(x)在ea,1上的图象不间断,所以f(x)在(ea,1)上存在零点.另外,当x0时,f(x)=1x-a0,故f(x)在(0,+)上是单调增函数,所以f(x)只有一个零点.当0ae-1时,令f(x)=1x-a=0,解得

21、x=a-1.当0x0,当xa-1时,f(x)0,即0ae-1时,f(x)有两个零点.实际上,对于0ae-1,由于f(e-1)=-1-ae-10,且函数f(x)在e-1,a-1上的图象不间断,所以f(x)在(e-1,a-1)上存在零点.另外,当x(0,a-1)时,f(x)=1x-a0,故f(x)在(0,a-1)上是单调增函数,所以f(x)在(0,a-1)上只有一个零点.下面考虑f(x)在(a-1,+)上的情况.先证f(ea-1)=a(a-2-ea-1)e时,exx2.设h(x)=ex-x2,则h(x)=ex-2x,再设l(x)=h(x)=ex-2x,则l(x)=ex-2.当x1时,l(x)=ex

22、-2e-20,所以l(x)=h(x)在(1,+)上是单调增函数.故当x2时,h(x)=ex-2xh(2)=e2-40,从而h(x)在(2,+)上是单调增函数,进而当xe时,h(x)=ex-x2h(e)=ee-e20.即当xe时,exx2.当0ae时,f(ea-1)=a-1-aea-1=a(a-2-ea-1)0,且函数f(x)在a-1,ea-1上的图象不间断,所以f(x)在(a-1,ea-1)上存在零点.又当xa-1时,f(x)=1x-a0,故f(x)在(a-1,+)上是单调减函数,所以f(x)在(a-1,+)上只有一个零点.综合,当a0或a=e-1时,f(x)的零点个数为1,当 0a0,求证:

23、2a3-b32ab2-a2b.证明:2a3-b3-(2ab2-a2b)=2a(a2-b2)+b(a2-b2)=(a2-b2)(2a+b)=(a-b)(a+b)(2a+b).因为ab0,所以a-b0,a+b0,2a+b0,从而(a-b)(a+b)(2a+b)0,即2a3-b32ab2-a2b.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(2013江苏,22)(本小题满分10分)如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,ABAC,AB=AC=2,A1A=4,点D是BC的中点.(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦

24、值;(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值.解:(1)以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0),A1(0,0,4),C1(0,2,4),所以A1B=(2,0,-4),C1D=(1,-1,-4).因为cos=A1BC1D|A1B|C1D|=182018=31010,所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为31010.(2)设平面ADC1的法向量为n1=(x,y,z),因为AD=(1,1,0),AC1=(0,2,4),所以n1AD=0,n1AC1=0,即x+y=0且y+2z=0,取z=1,得x=

25、2,y=-2,所以,n1=(2,-2,1)是平面ADC1的一个法向量.取平面AA1B的一个法向量为n2=(0,1,0),设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为.由|cos |=n1n2|n1|n2|=291=23,得sin =53.因此,平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为53.23.(2013江苏,23)(本小题满分10分)设数列an:1,-2,-2,3,3,3,-4,-4,-4,-4,(-1)k-1k,(-1)k-1kk个,即当(k-1)k2nk(k+1)2(kN*)时,an=(-1)k-1k.记Sn=a1+a2+an(nN*).对于lN*,定义集合Pl=n|Sn是an的

26、整数倍,nN*,且1nl.(1)求集合P11中元素的个数;(2)求集合P2 000中元素的个数.解:(1)由数列an的定义得a1=1,a2=-2,a3=-2,a4=3,a5=3,a6=3,a7=-4,a8=-4,a9=-4,a10=-4,a11=5,所以S1=1,S2=-1,S3=-3,S4=0,S5=3,S6=6,S7=2,S8=-2,S9=-6,S10=-10,S11=-5,从而S1=a1,S4=0a4,S5=a5,S6=2a6,S11=-a11,所以集合P11中元素的个数为5.(2)先证:Si(2i+1)=-i(2i+1)(iN*).事实上,当i=1时,Si(2i+1)=S3=-3,-i

27、(2i+1)=-3,故原等式成立;假设i=m时成立,即Sm(2m+1)=-m(2m+1),则i=m+1时,S(m+1)(2m+3)=Sm(2m+1)+(2m+1)2-(2m+2)2=-m(2m+1)-4m-3=-(2m2+5m+3)=-(m+1)(2m+3).综合可得Si(2i+1)=-i(2i+1).于是S(i+1)(2i+1)=Si(2i+1)+(2i+1)2=-i(2i+1)+(2i+1)2=(2i+1)(i+1).由上可知Si(2i+1)是2i+1的倍数,而ai(2i+1)+j=2i+1(j=1,2,2i+1),所以Si(2i+1)+j=Si(2i+1)+j(2i+1)是ai(2i+1

28、)+j(j=1,2,2i+1)的倍数.又S(i+1)(2i+1)=(i+1)(2i+1)不是2i+2的倍数,而a(i+1)(2i+1)+j=-(2i+2)(j=1,2,2i+2),所以S(i+1)(2i+1)+j=S(i+1)(2i+1)-j(2i+2)=(2i+1)(i+1)-j(2i+2)不是a(i+1)(2i+1)+j(j=1,2,2i+2)的倍数,故当l=i(2i+1)时,集合Pl中元素的个数为1+3+(2i-1)=i2,于是,当l=i(2i+1)+j(1j2i+1)时,集合Pl中元素的个数为i2+j.又2 000=31(231+1)+47,故集合P2 000中元素的个数为312+47=1 008.