2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(湖南卷)理.docx

1、数学(理工农医类)(湖南卷)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013湖南,理1)复数z=i(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于(). A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:B解析:z=i+i2=-1+i,对应点为(-1,1),故在第二象限,选B.2.(2013湖南,理2)某学校有男、女学生各500名,为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是().A.抽签法B.随机数法C.系统抽样法D.分层抽样法答案:D解析:看男、

2、女学生在学习兴趣与业余爱好是否存在明显差异,应当分层抽取,故宜采用分层抽样.3.(2013湖南,理3)在锐角ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asin B=3b,则角A等于().A.12B.6C.4D.3答案:D解析:由2asin B=3b得2sin Asin B=3sin B,故sin A=32,故A=3或23.又ABC为锐角三角形,故A=3.4.(2013湖南,理4)若变量x,y满足约束条件y2x,x+y1,y-1.则x+2y的最大值是().A.-52B.0C.53D.52答案:C解析:约束条件表示的可行域为如图阴影部分.令x+2y=d,即y=-12x+d2,由线性规划知识可得

3、最优点为13,23,所以dmax=13+43=53.5.(2013湖南,理5)函数f(x)=2ln x的图象与函数g(x)=x2-4x+5的图象的交点个数为().A.3B.2C.1D.0答案:B解析:设f(x)与g(x)图象的交点坐标为(x,y),则y=2ln x,y=x2-4x+5,联立得2ln x=x2-4x+5,令h(x)=x2-4x+5-2ln x(x0),由h(x)=2x-4-2x=0得x1=1+2,x2=1-2(舍).当h(x)0,即x(1+2,+)时,h(x)单调递增.又h(1)=20,h(2)=1-2ln 20,h(x)与x轴必有两个交点,故答案为B.6.(2013湖南,理6)

4、已知a,b是单位向量,ab=0,若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范围是().A.2-1,2+1B.2-1,2+2C.1,2+1D.1,2+2答案:A解析:由题意,不妨令a=(0,1),b=(1,0),c=(x,y),由|c-a-b|=1得(x-1)2+(y-1)2=1,|c|=x2+y2可看做(x,y)到原点的距离,而点(x,y)在以(1,1)为圆心,以1为半径的圆上.如图所示,当点(x,y)在位置P时到原点的距离最近,在位置P时最远,而PO=2-1,PO=2+1,故选A.7.(2013湖南,理7)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能

5、等于().A.1B.2C.2-12D.2+12答案:C解析:根据三视图中正视图与俯视图等长,故正视图中的长为2cos ,如图所示.故正视图的面积为S=2cos (04),1S2,而2-128,故a=3;a=3不满足a8,故a=5;a=5不满足a8,故a=7;a=7不满足a8,故a=9,满足a8,终止循环.输出a=9.14.(2013湖南,理14)设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两个焦点,P是C上一点.若|PF1|+|PF2|=6a,且PF1F2的最小内角为30,则C的离心率为.答案:3解析:不妨设|PF1|PF2|,由|PF1|+|PF2|=6a,|PF1|-|P

6、F2|=2a可得|PF1|=4a,|PF2|=2a.2aa0,cb0.(1)记集合M=(a,b,c)|a,b,c不能构成一个三角形的三条边长,且a=b,则(a,b,c)M所对应的f(x)的零点的取值集合为;(2)若a,b,c是ABC的三条边长,则下列结论正确的是.(写出所有正确结论的序号)x(-,1),f(x)0;xR,使ax,bx,cx不能构成一个三角形的三条边长;若ABC为钝角三角形,则x(1,2),使f(x)=0.答案:(1)x|00.从而g()=1-cos =1-1-sin2=1-45=15.(2)f(x)g(x)等价于3sin x1-cos x,即3sin x+cos x1.于是si

7、nx+612.从而2k+6x+62k+56,kZ,即2kx2k+23,kZ.故使f(x)g(x)成立的x的取值集合为x2kx2k+23,kZ.18.(2013湖南,理18)(本小题满分12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示:X1234Y51484542这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率;(2)从所种作物中随

8、机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.解:(1)所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地块内部的作物株数为3,边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有C31C121=36种,选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8种.故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率为836=29.(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列.因为P(Y=51)=P(X=1),P(Y=48)=P(X=2),P(Y=45)=P(X=3),P(Y=42)=P(X=4),所以只需求出P(X=k)(k=1,

9、2,3,4)即可.记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k=1,2,3,4),则n1=2,n2=4,n3=6,n4=3.由P(X=k)=nkN得P(X=1)=215,P(X=2)=415,P(X=3)=615=25,P(X=4)=315=15.故所求的分布列为Y51484542P2154152515所求的数学期望为E(Y)=51215+48415+4525+4215=34+64+90+425=46.19.(2013湖南,理19)(本小题满分12分)如图,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,ADBC,BAD=90,ACBD,BC=1,AD=AA1=3.(1)证明:ACB1D;(2)求直线B

10、1C1与平面ACD1所成角的正弦值.解法1:(1)如图,因为BB1平面ABCD,AC平面ABCD,所以ACBB1.又ACBD,所以AC平面BB1D.而B1D平面BB1D,所以ACB1D.(2)因为B1C1AD,所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角(记为).如图,连结A1D,因为棱柱ABCD-A1B1C1D1是直棱柱,且B1A1D1=BAD=90,所以A1B1平面ADD1A1.从而A1B1AD1.又AD=AA1=3,所以四边形ADD1A1是正方形,于是A1DAD1.故AD1平面A1B1D,于是AD1B1D.由(1)知,ACB1D,所以B1D平面ACD1.故AD

11、B1=90-.在直角梯形ABCD中,因为ACBD,所以BAC=ADB.从而RtABCRtDAB,故ABDA=BCAB.即AB=DABC=3.连结AB1,易知AB1D是直角三角形,且B1D2=BB12+BD2=BB12+AB2+AD2=21,即B1D=21.在RtAB1D中,cosADB1=ADB1D=321=217,即cos(90-)=217.从而sin =217.即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为217.解法2:(1)易知,AB,AD,AA1两两垂直.如图,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设AB=t,则相关各点的坐标为:A(0,0

12、,0),B(t,0,0),B1(t,0,3),C(t,1,0),C1(t,1,3),D(0,3,0),D1(0,3,3).从而B1D=(-t,3,-3),AC=(t,1,0),BD=(-t,3,0).因为ACBD,所以ACBD=-t2+3+0=0.解得t=3或t=-3(舍去).于是B1D=(-3,3,-3),AC=(3,1,0).因为ACB1D=-3+3+0=0,所以ACB1D,即ACB1D.(2)由(1)知,AD1=(0,3,3),AC=(3,1,0),B1C1=(0,1,0).设n=(x,y,z)是平面ACD1的一个法向量,则nAC=0,nAD1=0,即3x+y=0,3y+3z=0.令x=

13、1,则n=(1,-3,3).设直线B1C1与平面ACD1所成角为,则sin =|cos |=nB1C1|n|B1C1|=37=217.即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为217.20.(2013湖南,理20)(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心.(1)写出点P到居民区A的“L路径”

14、长度最小值的表达式(不要求证明):(2)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小.解:设点P的坐标为(x,y).(1)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|,xR,y0,+).(2)由题意知,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值.当y1时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|,因为d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|x+10|+|x-14|,(*)当且仅当x=3时,

15、不等式(*)中的等号成立,又因为|x+10|+|x-14|24,(*)当且仅当x-10,14时,不等式(*)中的等号成立.所以d1(x)24,当且仅当x=3时,等号成立.d2(y)=2y+|y-20|21,当且仅当y=1时,等号成立.故点P的坐标为(3,1)时,P到三个居民区的“L路径”长度之和最小,且最小值为45.当0y1时,由于“L路径”不能进入保护区,所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|,此时,d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|,d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y21.由知,d1(x)24,故d1(x

16、)+d2(y)45,当且仅当x=3,y=1时等号成立.综上所述,在点P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小.21.(2013湖南,理21)(本小题满分13分)过抛物线E:x2=2py(p0)的焦点F作斜率分别为k1,k2的两条不同直线l1,l2,且k1+k2=2,l1与E相交于点A,B,l2与E相交于点C,D,以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k10,k20,证明:FMFN0,k20,k1k2,所以0k1k2k1+k222=1.故FMFN0,所以点M到直线l的距离d=|2pk12+pk1+p|5=p|2k12+

17、k1+1|5=p2k1+142+785.故当k1=-14时,d取最小值7p85.由题设,7p85=755,解得p=8.故所求的抛物线E的方程为x2=16y.22.(2013湖南,理22)(本小题满分13分)已知a0,函数f(x)=x-ax+2a.(1)记f(x)在区间0,4上的最大值为g(a),求g(a)的表达式;(2)是否存在a,使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)当0xa时,f(x)=a-xx+2a;当xa时,f(x)=x-ax+2a.因此,当x(0,a)时,f(x)=-3a(x+2a)20

18、,f(x)在(a,+)上单调递增.若a4,则f(x)在(0,4)上单调递减,g(a)=f(0)=12.若0a4,则f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增.所以g(a)=maxf(0),f(4).而f(0)-f(4)=12-4-a4+2a=a-12+a,故当0a1时,g(a)=f(4)=4-a4+2a;当1a4时,g(a)=f(0)=12.综上所述,g(a)=4-a4+2a,01.(2)由(1)知,当a4时,f(x)在(0,4)上单调递减,故不满足要求.当0a4时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增.若存在x1,x2(0,4)(x1x2),使曲线y=f(x)在(x1,f(x1),(x2,f(x2)两点处的切线互相垂直,则x1(0,a),x2(a,4),且f(x1)f(x2)=-1,即-3a(x1+2a)23a(x2+2a)2=-1.亦即x1+2a=3ax2+2a.(*)由x1(0,a),x2(a,4)得x1+2a(2a,3a),3ax2+2a3a4+2a,1.故(*)成立等价于集合A=x|2ax3a与集合B=x3a4+2ax1的交集非空.因为3a4+2a3a,所以当且仅当02a1,即0a12时,AB.综上所述,存在a使函数f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直,且a的取值范围是0,12.