2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(课标全国Ⅰ卷)理.docx

1、课标全国理科注意事项:1.本试题分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,第卷1至3页,第卷3至5页.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013课标全国,理1)已知集合A=x|x2-2x0,B=x|-5x0,x2.集合A与B可用图象表示为:由图象可以看出AB=R,故选B.2.(2013课标全国,理2)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为().A.-4B.-

2、45C.4D.45答案:D解析:(3-4i)z=|4+3i|,z=53-4i=5(3+4i)(3-4i)(3+4i)=35+45i.故z的虚部为45,选D.3.(2013课标全国,理3)为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是().A.简单随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样答案:C解析:因为学段层次差异较大,所以在不同学段中抽取宜用分层抽样.4.(2013课标全国,理4)已知双曲线C:x2a2-y2b2=

3、1(a0,b0)的离心率为52,则C的渐近线方程为().A.y=14xB.y=13xC.y=12xD.y=x答案:C解析:e=ca=52,e2=c2a2=a2+b2a2=54.a2=4b2,ba=12.渐近线方程为y=bax=12x.5.(2013课标全国,理5)执行右面的程序框图,如果输入的t-1,3,则输出的s属于().A.-3,4B.-5,2C.-4,3D.-2,5答案:A解析:若t-1,1),则执行s=3t,故s-3,3).若t1,3,则执行s=4t-t2,其对称轴为t=2.故当t=2时,s取得最大值4.当t=1或3时,s取得最小值3,则s3,4.综上可知,输出的s-3,4.故选A.6

4、.(2013课标全国,理6)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为().A.5003 cm3B.8663 cm3C.1 3723 cm3D.2 0483 cm3答案:A解析:设球半径为R,由题可知R,R-2,正方体棱长一半可构成直角三角形,即OBA为直角三角形,如图.BC=2,BA=4,OB=R-2,OA=R,由R2=(R-2)2+42,得R=5,所以球的体积为4353=5003(cm3),故选A.7.(2013课标全国,理7)设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm

5、-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=().A.3B.4C.5D.6答案:C解析:Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,am=Sm-Sm-1=0-(-2)=2,am+1=Sm+1-Sm=3-0=3.d=am+1-am=3-2=1.Sm=ma1+m(m-1)21=0,a1=-m-12.又am+1=a1+m1=3,-m-12+m=3.m=5.故选C.8.(2013课标全国,理8)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为().A.16+8B.8+8C.16+16D.8+16答案:A解析:由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体,由图中数据可知圆柱底面半径r=2,长为4,在长方体中,长为4

6、,宽为2,高为2,所以几何体的体积为r2412+422=8+16.故选A.9.(2013课标全国,理9)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=().A.5B.6C.7D.8答案:B解析:由题意可知,a=C2mm,b=C2m+1m,又13a=7b,13(2m)!m!m!=7(2m+1)!m!(m+1)!,即137=2m+1m+1.解得m=6.故选B.10.(2013课标全国,理10)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,

7、-1),则E的方程为().A.x245+y236=1B.x236+y227=1C.x227+y218=1D.x218+y29=1答案:D解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),A,B在椭圆上,x12a2+y12b2=1, x22a2+y22b2=1,-,得(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0,即b2a2=-(y1+y2)(y1-y2)(x1+x2)(x1-x2),AB的中点为(1,-1),y1+y2=-2,x1+x2=2,而y1-y2x1-x2=kAB=0-(-1)3-1=12,b2a2=12.又a2-b2=9,a2=18,b2=9.椭圆E的方程为x218

8、+y29=1.故选D.11.(2013课标全国,理11)已知函数f(x)=-x2+2x,x0,ln(x+1),x0.若|f(x)|ax,则a的取值范围是().A.(-,0B.(-,1C.-2,1D.-2,0答案:D解析:由y=|f(x)|的图象知:当x0时,y=ax只有a0时,才能满足|f(x)|ax,可排除B,C.当x0时,y=|f(x)|=|-x2+2x|=x2-2x.故由|f(x)|ax得x2-2xax.当x=0时,不等式为00成立.当x0时,不等式等价于x-2a.x-2c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=cn+an2,cn+1=bn+an2,则().A.Sn为递减数列B

9、.Sn为递增数列C.S2n-1为递增数列,S2n为递减数列D.S2n-1为递减数列,S2n为递增数列答案:B第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答.第(22)题第(24)题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2013课标全国,理13)已知两个单位向量a,b的夹角为60,c=ta+(1-t)b.若bc=0,则t=.答案:2解析:c=ta+(1-t)b,bc=tab+(1-t)|b|2.又|a|=|b|=1,且a与b夹角为60,bc,0=t|a|b|cos 60+(1-t),0=12t+1-t.t=2.14

10、.(2013课标全国,理14)若数列an的前n项和Sn=23an+13,则an的通项公式是an=.答案:(-2)n-1解析:Sn=23an+13,当n2时,Sn-1=23an-1+13.-,得an=23an-23an-1,即anan-1=-2.a1=S1=23a1+13,a1=1.an是以1为首项,-2为公比的等比数列,an=(-2)n-1.15.(2013课标全国,理15)设当x=时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos =.答案:-255解析:f(x)=sin x-2cos x=515sinx-25cosx,令cos =15,sin =-25,则f(x)=5sin(+

11、x),当x=2k+2-(kZ)时,sin(+x)有最大值1,f(x)有最大值5,即=2k+2-(kZ),所以cos =cos2k+2-=cos2-=sin =-25=-255.16.(2013课标全国,理16)若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值为.答案:16解析:函数f(x)的图像关于直线x=-2对称,f(x)满足f(0)=f(-4),f(-1)=f(-3),即b=-15(16-4a+b),0=-8(9-3a+b),解得a=8,b=15.f(x)=-x4-8x3-14x2+8x+15.由f(x)=-4x3-24x2-28x+8=0,得x

12、1=-2-5,x2=-2,x3=-2+5.易知,f(x)在(-,-2-5)上为增函数,在(-2-5,-2)上为减函数,在(-2,-2+5)上为增函数,在(-2+5,+)上为减函数.f(-2-5)=1-(-2-5)2(-2-5)2+8(-2-5)+15=(-8-45)(8-45)=80-64=16.f(-2)=1-(-2)2(-2)2+8(-2)+15=-3(4-16+15)=-9.f(-2+5)=1-(-2+5)2(-2+5)2+8(-2+5)+15=(-8+45)(8+45)=80-64=16.故f(x)的最大值为16.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(2013课标

13、全国,理17)(本小题满分12分)如图,在ABC中,ABC=90,AB=3,BC=1,P为ABC内一点,BPC=90.(1)若PB=12,求PA;(2)若APB=150,求tanPBA.解:(1)由已知得PBC=60,所以PBA=30.在PBA中,由余弦定理得PA2=3+14-2312cos 30=74.故PA=72.(2)设PBA=,由已知得PB=sin .在PBA中,由正弦定理得3sin150=sinsin(30-),化简得3cos =4sin .所以tan =34,即tanPBA=34.18.(2013课标全国,理18)(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,

14、AB=AA1,BAA1=60.(1)证明:ABA1C;(2)若平面ABC平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.(1)证明:取AB的中点O,连结OC,OA1,A1B.因为CA=CB,所以OCAB.由于AB=AA1,BAA1=60,故AA1B为等边三角形,所以OA1AB.因为OCOA1=O,所以AB平面OA1C.又A1C平面OA1C,故ABA1C.(2)解:由(1)知OCAB,OA1AB.又平面ABC平面AA1B1B,交线为AB,所以OC平面AA1B1B,故OA,OA1,OC两两相互垂直.以O为坐标原点,OA的方向为x轴的正方向,|OA|为单位长,建立如图所示

15、的空间直角坐标系O-xyz.由题设知A(1,0,0),A1(0,3,0),C(0,0,3),B(-1,0,0).则BC=(1,0,3),BB1=AA1=(-1,3,0),A1C=(0,-3,3).设n=(x,y,z)是平面BB1C1C的法向量,则nBC=0,nBB1=0,即 x+3z=0,-x+3y=0.可取n=(3,1,-1).故cos=nA1C|n|A1C|=-105.所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为105.19.(2013课标全国,理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这

16、批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为12,且各件产品是否为优质品相互独立.(1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.解:(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1,第二次取出

17、的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,所以P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)=416116+11612=364.(2)X可能的取值为400,500,800,并且P(X=400)=1-416-116=1116,P(X=500)=116,P(X=800)=14.所以X的分布列为X400500800P111611614EX=4001116+500116+80014=506.25.20.(2013课标全国,理20)(本小题满分12分)已知圆M:(x+1)2+y

18、2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.解:由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为3的椭圆(左顶点除外),其方程为x24+y23=1(x-2).(2)对于曲线C上

19、任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-22,所以R2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.若l的倾斜角为90,则l与y轴重合,可得|AB|=23.若l的倾斜角不为90,由r1R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则|QP|QM|=Rr1,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).由l与圆M相切得|3k|1+k2=1,解得k=24.当k=24时,将y=24x+2代入x24+y23=1,并整理得7x2+8x-8=0,解得x1,2=-4627.所以|AB|=1+k2|x2-x1|=187.当k=-24时,由图形

20、的对称性可知|AB|=187.综上,|AB|=23或|AB|=187.21.(2013课标全国,理21)(本小题满分12分)设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(1)求a,b,c,d的值;(2)若x-2时,f(x)kg(x),求k的取值范围.解:(1)由已知得f(0)=2,g(0)=2,f(0)=4,g(0)=4.而f(x)=2x+a,g(x)=ex(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4.从而a=4,b=2,c=2,d=2.(2)由(1)知,f(x)=x2+4x+

21、2,g(x)=2ex(x+1).设函数F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2,则F(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).由题设可得F(0)0,即k1.令F(x)=0得x1=-ln k,x2=-2.若1ke2,则-2x10.从而当x(-2,x1)时,F(x)0.即F(x)在(-2,x1)单调递减,在(x1,+)单调递增.故F(x)在-2,+)的最小值为F(x1).而F(x1)=2x1+2-x12-4x1-2=-x1(x1+2)0.故当x-2时,F(x)0,即f(x)kg(x)恒成立.若k=e2,则F(x)=2e2(x+2)(ex-e-2).

22、从而当x-2时,F(x)0,即F(x)在(-2,+)单调递增.而F(-2)=0,故当x-2时,F(x)0,即f(x)kg(x)恒成立.若ke2,则F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)0.从而当x-2时,f(x)kg(x)不可能恒成立.综上,k的取值范围是1,e2.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(2013课标全国,理22)(本小题满分10分)选修41:几何证明选讲如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,ABC的角平分线BE交圆

23、于点E,DB垂直BE交圆于点D.(1)证明:DB=DC;(2)设圆的半径为1,BC=3,延长CE交AB于点F,求BCF外接圆的半径.(1)证明:连结DE,交BC于点G.由弦切角定理得,ABE=BCE.而ABE=CBE,故CBE=BCE,BE=CE.又因为DBBE,所以DE为直径,DCE=90,由勾股定理可得DB=DC.(2)解:由(1)知,CDE=BDE,DB=DC,故DG是BC的中垂线,所以BG=32.设DE的中点为O,连结BO,则BOG=60.从而ABE=BCE=CBE=30,所以CFBF,故RtBCF外接圆的半径等于32.23.(2013课标全国,理23)(本小题满分10分)选修44:坐

24、标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为x=4+5cost,y=5+5sint(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为=2sin .(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(0,02).解:(1)将x=4+5cost,y=5+5sint消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.将x=cos,y=sin代入x2+y2-8x-10y+16=0得2-8cos -10sin +16=0.所以C1的极坐标方程为2-8cos -10sin +16=0.(2)C2的普通方程为x

25、2+y2-2y=0.由x2+y2-8x-10y+16=0,x2+y2-2y=0解得x=1,y=1或x=0,y=2.所以C1与C2交点的极坐标分别为2,4,2,2.24.(2013课标全国,理24)(本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=-2时,求不等式f(x)-1,且当x-a2,12时,f(x)g(x),求a的取值范围.解:(1)当a=-2时,不等式f(x)g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-30.设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则y=-5x,x1.其图像如图所示.从图像可知,当且仅当x(0,2)时,y0.所以原不等式的解集是x|0x2.(2)当x-a2,12时,f(x)=1+a.不等式f(x)g(x)化为1+ax+3.所以xa-2对x-a2,12都成立.故-a2a-2,即a43.从而a的取值范围是-1,43.