2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(北京卷)文.docx

1、北京文科1.(2012北京,文1)已知集合A=xR|3x+20,B=xR|(x+1)(x-3)0,则AB=().A.(-,-1)B.C.D.(3,+)D由题意得,A=,B=x|x3,所以AB=(3,+).2.(2012北京,文2)在复平面内,复数对应的点的坐标为().A.(1,3)B.(3,1)C.(-1,3)D.(3,-1)A=1+3i,对应的点的坐标为(1,3).3.(2012北京,文3)设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是().A.B.C.D.D由题意知此概型为几何概型,设所求事件为A,如图所示,边长为2的正方形区域为总度量,满足事件

2、A的是阴影部分区域A,故由几何概型的概率公式得P(A)=.4.(2012北京,文4)执行如图所示的程序框图,输出的S值为().A.2B.4C.8D.16C初始:k=0,S=1,第一次循环:由03,得S=120=1,k=1;第二次循环:由13得,S=121=2,k=2;第三次循环:由2a1,则a4a2BA中当a1,a3为负数,a2为正数时,a1+a32a2不成立;B中根据等比数列的性质及均值不等式得,+2=2;C中取a1=a3=1,a2=-1,显然a1a2;D中取a1=1,a2=-2,a3=4,a4=-8,可知a4a2不一定成立.综上可知仅有B正确.7.(2012北京,文7)某三棱锥的三视图如图

3、所示,该三棱锥的表面积是().A.28+6B.30+6C.56+12D.60+12B根据三棱锥的三视图可还原此几何体的直观图为:此几何体为一个底面为直角三角形,高为4的三棱锥,因此表面积为S=(2+3)4+45+4(2+3)+2=30+6.8.(2012北京,文8)某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前m年的年平均产量最高,m的值为().A.5B.7C.9D.11C结合Sn与n的关系图象可知,前2年产量均为0,显然=0为最小,在第3年第9年期间,Sn的增长呈现持续稳定性.但在第9年之后,Sn的增长骤然降低,因为当n=9时,的值为最大,故m的值为9.9.(201

4、2北京,文9)直线y=x被圆x2+(y-2)2=4截得的弦长为.2由题意得,圆x2+(y-2)2=4的圆心为(0,2),半径为2,圆心到直线x-y=0的距离d=.设截得的弦长为l,则由+()2=22,得l=2.10.(2012北京,文10)已知an为等差数列,Sn为其前n项和,若a1=,S2=a3,则a2=,Sn=.1(n2+n)由a1=,S2=a3得,a1+a2=a3,即a3-a2=,an是一个以a1=为首项,以为公差的等差数列.an=+(n-1)=n,a2=1,Sn=n2+n=(n2+n).11.(2012北京,文11)在ABC中,若a=3,b=,A=,则C的大小为.由正弦定理得,=,从而

5、=,即sinB=,B=30或B=150.由ab可知B=150不合题意,B=30.C=180-60-30=90.12.(2012北京,文12)已知函数f(x)=lg x,若f(ab)=1,则f(a2)+f(b2)=.2由已知可得,lg(ab)=1,f(a2)+f(b2)=lg a2+lg b2=lg(a2b2)=2lg(ab)=21=2.13.(2012北京,文13)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为;的最大值为.11=(+)=(+)=|2+,=0.=12+0=1.=(+)=+=|2(01),的最大值为1.14.(2012北京,文14)已知f(x)=m(x-2m)(x+

6、m+3),g(x)=2x-2.若xR,f(x)0或g(x)0,则m的取值范围是.(-4,0)由题意可知,m0时不能保证对xR,f(x)0或g(x)0成立.(1)当m=-1时,f(x)=-(x+2)2,g(x)=2x-2,画出图象,显然满足条件;(2)当-1m-(m+3),要使其满足条件,则需解得-1m0,如图;(3)当m2m,要使其满足条件,则需解得-4m0,a+b+c=600.当数据a,b,c的方差s2最大时,写出a,b,c的值(结论不要求证明),并求此时s2的值.(注:s2=(x1-)2+(x2-)2+(xn-)2,其中为数据x1,x2,xn的平均数)解:(1)厨余垃圾投放正确的概率约为=

7、.(2)设生活垃圾投放错误为事件A,则事件表示生活垃圾投放正确.事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量,即P()约为=0.7,所以P(A)约为1-0.7=0.3.(3)当a=600,b=c=0时,s2取得最大值.因为=(a+b+c)=200,所以s2=(600-200)2+(0-200)2+(0-200)2=80 000.18.(2012北京,文18)已知函数f(x)=ax2+1(a0),g(x)=x3+bx.(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;(2)当a=

8、3,b=-9时,若函数f(x)+g(x)在区间k,2上的最大值为28,求k的取值范围.解:(1)f(x)=2ax,g(x)=3x2+b.因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以f(1)=g(1),且f(1)=g(1).即a+1=1+b,且2a=3+b.解得a=3,b=3.(2)记h(x)=f(x)+g(x),当a=3,b=-9时,h(x)=x3+3x2-9x+1,h(x)=3x2+6x-9.令h(x)=0,得x1=-3,x2=1.h(x)与h(x)在(-,2上的情况如下:x(-,-3)-3(-3,1)1(1,2)2h(x)+0-0+h(x)28-43由此

9、可知:当k-3时,函数h(x)在区间k,2上的最大值为h(-3)=28;当-3kb0)的一个顶点为A(2,0),离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.(1)求椭圆C的方程;(2)当AMN的面积为时,求k的值.解:(1)由题意得解得b=.所以椭圆C的方程为+=1.(2)由得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),x1+x2=,x1x2=.所以|MN|=.又因为点A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离d=,所以AMN的面积为S=|MN|d=.由=,解得k=1.20.(2

10、012北京,文20)设A是如下形式的2行3列的数表,abcdef满足性质P:a,b,c,d,e,f-1,1,且a+b+c+d+e+f=0.记ri(A)为A的第i行各数之和(i=1,2),cj(A)为A的第j列各数之和(j=1,2,3);记k(A)为|r1(A)|,|r2(A)|,|c1(A)|,|c2(A)|,|c3(A)|中的最小值.(1)对如下数表A,求k(A)的值;11-0.80.1-0.3-1(2)设数表A形如11-1-2ddd-1其中-1d0.求k(A)的最大值;(3)对所有满足性质P的2行3列的数表A,求k(A)的最大值.解:(1)因为r1(A)=1.2,r2(A)=-1.2,c1

11、(A)=1.1,c2(A)=0.7,c3(A)=-1.8,所以k(A)=0.7.(2)r1(A)=1-2d,r2(A)=-1+2d,c1(A)=c2(A)=1+d,c3(A)=-2-2d.因为-1d0,所以|r1(A)|=|r2(A)|1+d0,|c3(A)|1+d0.所以k(A)=1+d1.当d=0时,k(A)取得最大值1.(3)任给满足性质P的数表A(如下所示).abcdef任意改变A的行次序或列次序,或把A中的每个数换成它的相反数,所得数表A*仍满足性质P,并且k(A)=k(A*).因此,不妨设r1(A)0,c1(A)0,c2(A)0.由k(A)的定义知,k(A)r1(A),k(A)c1(A),k(A)c2(A).从而3k(A)r1(A)+c1(A)+c2(A)=(a+b+c)+(a+d)+(b+e)=(a+b+c+d+e+f)+(a+b-f)=a+b-f3.所以k(A)1.由(2)知,存在满足性质P的数表A使k(A)=1.故k(A)的最大值为1.