2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(大纲全国卷)理.docx

1、大纲全国理科1.(2012大纲全国,理1)复数=(). A.2+iB.2-iC.1+2iD.1-2iC=1+2i.2.(2012大纲全国,理2)已知集合A=1,3,B=1,m,AB=A,则m=().A.0或B.0或3C.1或D.1或3BA=1,3,B=1,m,AB=A,m=3或m=.m=3或m=0或m=1.当m=1时,与集合中元素的互异性不符,故选B.3.(2012大纲全国,理3)椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为x=-4,则该椭圆的方程为().A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1C焦距为4,即2c=4,c=2.又准线x=-4,-=-4.a2=8.b2=a2-c2=8-4=4.椭圆的方

2、程为+=1,故选C.4.(2012大纲全国,理4)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,CC1=2,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为().A.2B.C.D.1D连结AC交BD于点O,连结OE,AB=2,AC=2.又CC1=2,则AC=CC1.作CHAC1于点H,交OE于点M.由OE为ACC1的中位线知,CMOE,M为CH的中点.由BDAC,ECBD知,BD面EOC,CMBD.CM面BDE.HM为直线AC1到平面BDE的距离.又ACC1为等腰直角三角形,CH=2.HM=1.5.(2012大纲全国,理5)已知等差数列an的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列

3、的前100项和为().A.B.C.D.AS5=15,a1=1.d=1.an=1+(n-1)1=n.=.设的前n项和为Tn,则T100=+=1-+-+-=1-=.6.(2012大纲全国,理6)ABC中,AB边的高为CD.若=a,=b,ab=0,|a|=1,|b|=2,则=().A.a-bB.a-bC.a-bD.a-bDab=0,ab.又|a|=1,|b|=2,|=.|=.|=.=(a-b)=a-b.7.(2012大纲全国,理7)已知为第二象限角,sin +cos =,则cos 2=().A.-B.-C.D.Asin +cos =,且为第二象限角,(kZ).2(kZ).由(sin +cos )2=

4、1+sin 2=,sin 2=-.cos 2=-=-.8.(2012大纲全国,理8)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cosF1PF2=().A.B.C.D.C设|PF2|=m,则|PF1|=2m,由双曲线定义:|PF1|-|PF2|=2a,2m-m=2.m=2.又2c=2=4,由余弦定理可得cosF1PF2=.9.(2012大纲全国,理9)已知x=ln ,y=log52,z=,则().A.xyzB.zxyC.zyxD.yz1,y=log52log5=,z=,且e0=1,yz0时,x1;当y0时,-1x1.函数的递增区间为(-,-1)

5、和(1,+),递减区间为(-1,1).x=-1时,取得极大值;x=1时,取得极小值.要使函数图象与x轴恰有两个公共点,只需:f(-1)=0或f(1)=0,即(-1)3-3(-1)+c=0或13-31+c=0,c=-2或c=2.11.(2012大纲全国,理11)将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有().A.12种B.18种C.24种D.36种A当第一行为ab时,有和两种情况,当第一行为a,b时,共有4种情况.同理当第一行为a,c时,共有4种情况;当第一行为b,c时,共有4种情况;不同的排列方法共有12种.12.(2012大纲

6、全国,理12)正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,AE=BF=.动点P从E出发沿直线向F运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角.当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为().A.16B.14C.12D.10B结合已知中的点E,F的位置,由反射与对称的关系,可将点P的运动路线展开成直线,如图.当点P碰到E时,m为偶数,且=,即4m=3n.故m的最小值为6.n=8,线段PE与网格线交点的个数为(除E点外)6+8=14个.(PE的方程为:y=x-,即4y=3x-,x,y不能同时为整数,所以PE不过网格交点)13.(2012大纲全国,理13)若x,y满足约

7、束条件则z=3x-y的最小值为.-1由题意画出可行域,由z=3x-y得y=3x-z,要使z取最小值,只需截距最大即可,故直线过A(0,1)时,z最小.zmin=30-1=-1.14.(2012大纲全国,理14)当函数y=sin x-cos x(0x2)取得最大值时,x=.y=sin x-cos x=2=2sin.当y取最大值时,x-=2k+,x=2k+.又0x0,则P(0,0,2),E,B(,-b,0).于是=(2,0,-2),=,=,从而=0,=0,故PCBE,PCDE.又BEDE=E,所以PC平面BDE.(2)=(0,0,2),=(,-b,0).设m=(x,y,z)为平面PAB的法向量,则

8、m=0,m=0,即2z=0且x-by=0,令x=b,则m=(b,0).设n=(p,q,r)为平面PBC的法向量,则n=0,n=0,即2p-2r=0且+bq+r=0,令p=1,则r=,q=-,n=.因为面PAB面PBC,故mn=0,即b-=0,故b=,于是n=(1,-1,),=(-,-,2),cos=,=60.因为PD与平面PBC所成角和互余,故PD与平面PBC所成的角为30.19.(2012大纲全国,理19)乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换.每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.

9、6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中,甲先发球.(1)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率;(2)表示开始第4次发球时乙的得分,求的期望.解:记Ai表示事件:第1次和第2次这两次发球,甲共得i分,i=0,1,2;A表示事件:第3次发球,甲得1分;B表示事件:开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2.(1)B=A0A+A1,P(A)=0.4,P(A0)=0.42=0.16,P(A1)=20.60.4=0.48,P(B)=P(A0A+A1)=P(A0A)+P(A1)=P(A0)P(A)+P(A1)P()=0.160.4+0.48(1-0.4)=0.352.(2)P(A2)=0

10、.62=0.36.的可能取值为0,1,2,3.P(=0)=P(A2A)=P(A2)P(A)=0.360.4=0.144,P(=2)=P(B)=0.352,P(=3)=P(A0)=P(A0)P()=0.160.6=0.096,P(=1)=1-P(=0)-P(=2)-P(=3)=1-0.144-0.352-0.096=0.408.E()=0P(=0)+1P(=1)+2P(=2)+3P(=3)=0.408+20.352+30.096=1.400.20.(2012大纲全国,理20)设函数f(x)=ax+cos x,x0,.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设f(x)1+sin x,求a的取值范围.解:

11、(1)f(x)=a-sin x.当a1时,f(x)0,且仅当a=1,x=时,f(x)=0,所以f(x)在0,是增函数;当a0时,f(x)0,且仅当a=0,x=0或x=时,f(x)=0,所以f(x)在0,是减函数;当0a1时,由f(x)=0解得x1=arcsin a,x2=-arcsin a.当x0,x1)时,sin x0,f(x)是增函数;当x(x1,x2)时,sin xa,f(x)0,f(x)是减函数;当x(x2,时,sin x0,f(x)是增函数.(2)由f(x)1+sin x得f()1,a-11,所以a.令g(x)=sin x-,则g(x)=cos x-.当x时,g(x)0,当x时,g(

12、x)0)有一个公共点A,且在A处两曲线的切线为同一直线l.(1)求r;(2)设m,n是异于l且与C及M都相切的两条直线,m,n的交点为D,求D到l的距离.解:(1)设A(x0,(x0+1)2),对y=(x+1)2求导得y=2(x+1),故l的斜率k=2(x0+1).当x0=1时,不合题意,所以x01.圆心为M,MA的斜率k=.由lMA知kk=-1,即2(x0+1)=-1,解得x0=0,故A(0,1),r=|MA|=,即r=.(2)设(t,(t+1)2)为C上一点,则在该点处的切线方程为y-(t+1)2=2(t+1)(x-t),即y=2(t+1)x-t2+1.若该直线与圆M相切,则圆心M到该切线

13、的距离为,即=,化简得t2(t2-4t-6)=0,解得t0=0,t1=2+,t2=2-.抛物线C在点(ti,(ti+1)2)(i=0,1,2)处的切线分别为l,m,n,其方程分别为y=2x+1,y=2(t1+1)x-+1,y=2(t2+1)x-+1,-得x=2.将x=2代入得y=-1,故D(2,-1).所以D到l的距离d=.22.(2012大纲全国,理22)函数f(x)=x2-2x-3,定义数列xn如下:x1=2,xn+1是过两点P(4,5),Qn(xn,f(xn)的直线PQn与x轴交点的横坐标.(1)证明:2xnxn+13;(2)求数列xn的通项公式.解:(1)用数学归纳法证明:2xnxn+13.当n=1时,x1=2,直线PQ1的方程为y-5=(x-4),令y=0,解得x2=,所以2x1x23.假设当n=k时,结论成立,即2xkxk+13.直线PQk+1的方程为y-5=(x-4),令y=0,解得xk+2=,由归纳假设知xk+2=4-0,即xk+1xk+2.所以2xk+1xk+23,即当n=k+1时,结论成立.由、知对任意的正整数n,2xnxn+13.(2)由(1)及题意得xn+1=.设bn=xn-3,则=+1,+=5,数列是首项为-,公比为5的等比数列.因此+=-5n-1,即bn=-,所以数列xn的通项公式为xn=3-.