人教A版新教材必修第一册《4.5.1 函数的零点与方程的解》教案（定稿）.docx

1、4.5.1函数的零点与方程的解学习目标1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系.2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数导语同学们，我国古代数学家对部分方程的求解问题给出了比较系统的求解方法，比如：大约在公元50100年间编成的九章算术，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程的具体求解方法，11世纪的时候，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法，13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次方程正解的方法，今天，让我们站在这些数学巨人的肩上，来探究方程的解与函数零点的关系吧一、函数的零点与方程的解问题1观察下列三组方程与函数：

2、方程函数x22x30yx22x3x22x10yx22x1x22x30yx22x3利用函数图象探究方程的根与函数图象与x轴的交点之间的关系提示方程x22x30的根为1,3，函数yx22x3的图象与x轴交于点(1,0)，(3,0)；x22x10有两个相等的实数根，为1，函数yx22x1的图象与x轴有唯一交点(1,0)；x22x30没有实根，函数yx22x3的图象与x轴无交点问题2问题1中的函数的零点是函数图象与x轴的交点坐标吗？提示不是，零点不是点，零点是函数图象与x轴的交点的横坐标知识梳理1概念：对于一般函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点2函数的零点、函数的图象与

3、x轴的交点、对应方程的解的关系：注意点：(1)零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标(2)求零点可转化为求对应方程的解(3)不能用公式求解的方程，可以与函数联系起来，利用函数的图象和性质找零点，然后得到方程的解例1(多选)方程(x24)0的解可以是()Ax2 Bx Cx Dx2答案CD解析由题意，得方程(x24)0，则x240或2x10，解得x2或x，又由2x10，解得x，所以方程(x24)0的解为x2或x.反思感悟探究函数零点的两种求法(1)代数法：求方程f(x)0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点(2)几何法：与函数yf(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐

4、标即为函数的零点跟踪训练1求下列函数的零点：(1)f(x)(2)f(x)(lg x)2lg x.解(1)当x0时，令x22x30，解得x3(x1舍去)；当x0时，令2ln x0，解得xe2.所以函数f(x)的零点为3和e2.(2)令(lg x)2lg x0，则lg x(lg x1)0，lg x0或lg x1，x1或x10，函数f(x)的零点是1,10.二、函数零点存在定理问题3探究函数yx24x5的零点所在区间及零点所在区间的端点对应函数值的正负情况，并说明函数图象在零点附近有什么变化规律？提示利用图象可知，零点5(6，4)，零点1(0,2)，且f(6)f(4)0，f(0)f(2)0，且函数图

5、象在零点附近是连续不断的再比如：函数f(x)2x1的零点为，(0,1)，且有f(0)f(1)0；函数f(x)log2(x1)的零点为2,2，且有ff(3)0，且以上函数在零点附近的图象也都是连续的知识梳理函数零点存在定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的解注意点：(1)定理要求函数在闭区间a，b上连续，且f(a)f(b)0.(2)闭区间a，b上的连续函数yf(x)，f(a)f(b)0是函数有零点的充分不必要条件(3)该定理是用来

6、判断函数的变号零点，比如yx2，有零点为0，但是该零点的两侧函数值的符号相同，称为不变号零点例2(多选)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)0，f(2)0，则下列说法错误的是()Af(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点Bf(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点Cf(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点Df(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点答案ABD解析由题知f(0)f(1)0，因此无法判断f(x)在区间(1,2)上是否有零点反思感悟确定函数f(x)的零点所在区间的常用

7、方法(1)解方程法：当对应方程f(x)0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上(2)利用函数零点存在定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若f(a)f(b)0，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断跟踪训练2函数f(x)lg x的零点所在的区间是()A(0,1) B(1,10)C(10,100) D(100，)答案B解析函数f(x)的定义域为(0，)，且函数f(x)在定义域内单调递增，f(1)10，在(1,10)内，函数f(x)存在零点三、函数零点个数的问

8、题问题4你现在能说出问题1中的三个函数的零点的个数吗？是怎么判断的？提示第一个函数有两个零点，第二个函数有一个零点，第三个函数没有零点可以直接求解或利用二次函数的判别式判断个数，对于一般的函数可利用函数图象判断与x轴的交点个数例3判断下列函数的零点的个数(1)f(x)x2x；(2)f(x)ln xx23.解(1)由f(x)0，即x2x0，得240，所以方程x2x0没有实数根，即f(x)零点的个数为0.(2)方法一函数对应的方程为ln xx230，所以原函数零点的个数即为函数yln x与y3x2的图象交点的个数在同一平面直角坐标系下，作出两函数的图象(如图)由图象知，函数y3x2与yln x的图

9、象只有一个交点从而方程ln xx230有一个根，即函数f(x)ln xx23有一个零点方法二由于f(1)ln 112320，所以f(1)f(2)0，又f(x)ln xx23的图象在(1,2)上是连续的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，又f(x)在(0，)上是单调递增的，所以零点只有一个反思感悟判断函数零点个数的四种常用方法(1)利用方程的解，转化为解方程，有几个不同的实数解就有几个零点(2)画出函数yf(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数(3)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定yf(x)在(a，b)内零点的个数(4)转化成两个函数图象的交点个数问题跟踪训练3已知函

10、数f(x)若k0，则函数y|f(x)|1的零点个数是()A1 B2 C3 D4答案D解析令y|f(x)|10，得|f(x)|1，即f(x)1或f(x)1.当x0时，由ln x1或ln x1，得xe或x；当x0时，由kx21或kx21，得x0或x0.则函数y|f(x)|1的零点个数是4.1知识清单：(1)函数的零点的定义(2)函数的零点与方程的解的关系(3)函数零点存在定理(4)函数零点个数的判断2方法归纳：定理法、方程法、数形结合法3常见误区：零点理解成点；零点个数问题不能转化成函数图象交点个数的问题1函数f(x)log2x的零点是()A1 B2 C3 D4答案A解析令f(x)log2x0，解

11、得x1.2函数f(x)2x的零点所在的区间是()A(1，) B. C. D.答案B解析易知f(x)在(0，)上单调递增由f(x)2x，得f20，ff(1)0.零点所在区间为.3对于函数f(x)，若f(1)f(3)0，则()A方程f(x)0一定有一实数解B方程f(x)0一定无实数解C方程f(x)0一定有两实根D方程f(x)0可能无实数解答案D解析函数f(x)的图象在(1,3)上未必连续，故尽管有f(1)f(3)0，不存在实数c(a，b)使得f(c)0B若f(a)f(b)0，有可能存在实数c(a，b)使得f(c)0D若f(a)f(b)0且a1)Dy答案D解析令y0，得选项A和C中的函数的零点均为1

12、和1；选项B中函数的零点为和1；只有选项D中函数无零点3函数f(x)log3x82x的零点一定位于区间()A(5,6) B(3,4)C(2,3) D(1,2)答案B解析f(3)log3382310.又因为f(x)在(0，)上为增函数，所以其零点一定位于区间(3,4)4已知f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于()A0 B1C1 D不能确定答案A解析因为奇函数的图象关于原点对称，所以若f(x)有三个零点，则其和必为0.5已知函数f(x)则函数f(x)的零点为()A.，0 B2,0 C. D0答案D解析当x1时，令2x10，得x0.当x1时，令1log2x0，得x(舍)综上所述，

13、函数f(x)的零点为0.6(多选)下列图象表示的函数中有两个零点的有()答案CD解析根据零点的定义，零点是函数图象与x轴的交点的横坐标，选项A中函数图象与x轴没有交点，即函数没有零点；选项B中函数图象与x轴只有一个交点，即函数只有一个零点；选项C，D中函数图象与x轴有两个交点，即函数有两个零点7已知函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，则函数g(x)bx2ax1的零点是_答案，解析由题意知，方程x2axb0的两根为2,3，即a5，b6，方程bx2ax16x25x10的根为，即为函数g(x)的零点8请写出同时满足以下条件的一个函数：_.该函数的定义域是R，且其图象是一条连续不断的曲线；该函数

14、是偶函数；该函数恰有2个零点答案f(x)x21(答案不唯一)解析因为函数为定义在R上的偶函数，且恰有两个零点，故可取f(x)x21(答案不唯一)9判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出其零点(1)f(x)x22x1；(2)f(x)x4x2；(3)f(x)4x5；(4)f(x)log3(x1)解(1)令x22x10，解得x1x21，所以函数f(x)x22x1的零点为1.(2)令f(x)x2(x1)(x1)0，解得x0或x1或x1，故函数f(x)x4x2的零点为0，1和1.(3)令4x50，则4x5，因为4x0，50，所以方程4x50无实数解所以函数f(x)4x5不存在零点(4)令log3(x

15、1)0，解得x0，所以函数f(x)log3(x1)的零点为0.10函数f(x)x2axb的零点是1和2，判断函数g(x)ax3bx4的零点所在的大致区间解1和2是函数f(x)x2axb的零点，1和2是x2axb0的两个实数解，12a，12b，即a1，b2.g(x)x32x4.g(1)1，g(2)8，g(1)g(2)0，yg(x)在区间(1,2)内有零点又yg(x)在R上是单调函数，yg(x)只有一个零点综上可知，函数g(x)的零点所在的大致区间为(1,2)11已知函数f(x)在区间a，b上单调，且图象是连续不断的，若f(a)f(b)0，则方程f(x)0在区间a，b上()A至少有一实数解 B至多

16、有一实数解C没有实数解 D必有唯一的实数解答案D解析由题意知函数f(x)为连续函数，f(a)f(b)0，函数f(x)在区间a，b上至少有一个零点，又函数f(x)在区间a，b上是单调函数，函数f(x)在区间a，b上至多有一个零点，故函数f(x)在区间a，b上有且只有一个零点，即方程f(x)0在区间a，b内必有唯一的实数解12已知函数yf(x)的图象是条连续不断的曲线，有如下对应值，则下列说法正确的是()x123456y123.5621.457.8211.4553.76128.88A.函数yf(x)在区间1,6上有3个零点B函数yf(x)在区间1,6上至少有3个零点C函数yf(x)在区间1,6上至

17、多有3个零点D函数yf(x)在区间1,2上无零点答案B解析由表可知f(2)f(3)0，f(3)f(4)0，f(4)f(5)0，但函数yf(x)在1,2上也有可能存在零点13方程x 0的解的个数为()A2 B3C4 D2或3或4答案A解析方程x0的解的个数，等于函数yx和函数y 的图象的交点个数，如图所示数形结合可得，函数yx和函数y的图象的交点个数为2，故方程x0的解的个数为2.14已知函数f(x)3xx，g(x)log3x2，h(x)log3xx的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是_(用“”连接)答案abc解析画出函数y3x，ylog3x，yx，y2的图象，如图所示，观察图象可知

18、，函数f(x)3xx，g(x)log3x2，h(x)log3xx的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知abc.15已知函数f(x)若存在实数x1，x2，x3，当x1x2x3时，有f(x1)f(x2)f(x3)成立，则(x1x2)f(x3)的取值范围是_答案(8，4解析由解析式可得图象如图所示，由图象知，x1，x2，x3R，当x1x20时，f(x)x22x.(1)求出函数f(x)在R上的解析式；(2)画出函数f(x)的图象，并写出单调区间；(3)若yf(x)与ym有3个交点，求实数m的取值范围解(1)由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)0; 当x0，因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x). 所以f(x)f(x)(x)22(x)x22x. 综上，f(x)(2)图象如图所示，单调递增区间为(，1，1，)；单调递减区间为(1,1). (3)因为方程f(x)m有三个不同的解，由图象可知， 1m1，即m(1,1)