人教A版新教材必修第一册《4.5.2 用二分法求方程的近似解》教案（定稿）.docx

1、4.5.2用二分法求方程的近似解学习目标1.了解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法的实施步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想导语同学们，前几天有个同事买了一部手机，为了游戏更有趣，我暂且不能告诉大家是什么牌子的手机，我可以告诉大家这部手机的价位在2 000元3 000元，如果我给大家6次猜价的机会，我只能告诉大家猜的价格比真实值多或少，大家能否猜出与手机真实价钱的误差在50元以内的价钱？注意啊，你的机会只有5次！要解决这个问题，接下来，让我们一起探究解决这个问题的方法吧一、二分法的概念问题1有16个大小相同，颜色相同的金币，其中有15个金币是真的，有一个质量稍轻的是假的用天平

2、称几次一定可以找出这个稍轻的假币？提示4次第一次，两端各放8个金币，高的那一端一定有假币；第二次，两端各放4个金币，高的那一端一定有假币；第三次，两端各放2个金币，高的那一端一定有假币；第四次，两端各放1个金币，高的那一端一定是假币再比如：有8个质量不均匀的小球，只有一个比别的都重，找出最重的小球的问题；有一段电路出现故障的问题；检修下水道堵塞的问题；包括刚才让大家猜测手机价格的问题等等这些都可以用上述方法解决，在这个过程中，体现出了“一分为二，逐步逼近”的思想，这就是我们今天要学习的“二分法”知识梳理二分法：对于在区间a，b上图象连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把它的

3、零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法注意点：(1)二分法的求解原理是函数零点存在定理(2)用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如yx2，该函数有零点为0，但不能用二分法求解例1(1)(多选)下列函数图象与x轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是()答案ABC解析根据二分法的定义，知函数f(x)在区间a，b上的图象连续不断，且f(a)f(b)0，即函数的零点是变号零点，才能将区间a，b一分为二，逐步得到零点的近似值对各图象分析可知，选项A，B，C都符合条件，而选项D不符合，因为零点左右两侧的函数值不变号，所以不能用

4、二分法求函数零点的近似值(2)已知f(x)x26xc有零点，但不能用二分法求出，则c的值是()A9 B8 C7 D6答案A反思感悟运用二分法求函数的零点应具备的条件(1)函数图象在零点附近连续不断(2)在该零点左右两侧的函数值异号只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点跟踪训练1已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A4,4 B3,4C5,4 D4,3答案D解析图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右两侧的函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3.二、用二分法求函数零点的近似解问题2按上述思路，你能想办法求函数f(x)x33的近似解

5、吗？提示由于f(1)20，因此可以确定区间1,2作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：端点或中点的横坐标计算端点或中点的函数值定区间a01，b02f(1)2，f(2)51,2x01.5f(x0)0.37501,1.5x11.25f(x1)1.046 901.25,1.5x21.375f(x2)0.400 401.375,1.5x31.437 5f(x3)0.029 501.437 5,1.5当然，我们可以一直重复下去，这样的话，也会使求得的函数零点更精确，显然，这可能是一个无休止的过程，即便是计算机，也可能被累死机实际上，如果我们一开始给一个精确度的话，只要满足了给出的精确度，我们就

6、可以停止计算，比如，该问题中，我们给出精确度为0.1.由于|1.51.437 5|0.062 50.1，所以原函数的一个正实数零点可取为1.437 5.知识梳理给定精确度，用二分法求函数yf(x)零点x0的近似值的步骤1确定零点x0的初始区间a，b，验证f(a)f(b)0.2求区间(a，b)的中点c.3计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：(1)若f(c)0(此时x0c)，则c就是函数的零点；(2)若f(a)f(c)0(此时x0(a，c)，则令bc；(3)若f(c)f(b)0(此时x0(c，b)，则令ac.4判断是否达到精确度：若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤24.以上

7、步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断注意点：(1)初始区间的确定要包含函数的变号零点(2)精确度表示当区间的长度小于时停止二分例2(多选)用二分法求函数f(x)5x7x2的一个零点，其参考数据如下：x0.062 50.093 750.1250.156 250.187 5f(x)0.456 70.180 90.097 80.379 70.664 7根据上述数据，可得f(x)5x7x2的一个零点近似值(精确度0.05)为()A0.625 B0.093 75C0.125 D0.096答案BCD解析已知f(0.093 75)0，则

8、函数f(x)的零点的初始区间为(0.093 75,0.125)，所以零点在区间(0.093 75,0.125)上，|0.1250.093 75|0.031 250.05，所以0.093 75,0.096,0.125都符合题意反思感悟二分法求函数零点的关注点(1)验证零点所在的区间是否符合精确度要求(2)区间内的任一点都可以作为零点的近似解，一般取端点作为零点的近似解跟踪训练2用二分法求方程2x3x70在区间(1,3)内的近似解，取区间的中点为x02，那么下一个有根的区间是_答案(1,2)解析设f(x)2x3x7，f(1)2370，f(2)30，f(1)f(2)0，f(x)零点所在的区间为(1,

9、2)，方程2x3x70下一个有根的区间是(1,2)三、二分法的实际应用问题3现在你能猜出手机的大概价格了吗？提示利用公式|ab|n即可，其中，价格区间为2 000,3 000，精确度50，故有n，所以通过5次二分，便可得到手机的大概价格例3在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障，这是一条长为10 km，大约有200根电线杆的线路，设计一个能迅速查出故障所在的方案，维修线路的工人师傅最多检测几次就能找出故障地点所在区域(精确到100 m范围内)?解如图，工人师傅首先从中点C检测，用随身带的话机向两端测试，发现AC段正常，可见故障在BC段；再从线段BC的中点D检测，发现

10、BD段正常，可见故障在CD段；再从CD段的中点E检测；，由此类推，每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，可以算出经过n次检测，所剩线路的长度为 m，则有100，即2n100，又2664,27128，故至多检测7次就能找到故障地点所在区域反思感悟二分法的思想在实际生活中应用十分广泛，二分法不仅可用于线路、水管、煤气管道故障的排查，还能用于实验设计、资料查询、资金分配等跟踪训练3一块电路板的AB线段之间有60个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊口脱落造成的，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至少需要检测()A4次 B6次C8次 D30次答案B解析第一次，可去掉30个结果，从剩余的30个中继

11、续二分法；第二次，可去掉15个结果，从剩余的15个中继续二分法；第三次，可去掉7或8个结果，考虑至多的情况，所以去掉7个结果，从剩余的8个中继续二分法；第四次，可去掉4个结果，从剩余的4个中继续二分法；第五次，可去掉2个结果，从剩余的2个中继续二分法；第六次，可去掉1个结果，得到最终结果，所以至少需要检测六次1知识清单：(1)二分法的定义(2)利用二分法求函数的零点、方程的近似解(3)二分法在实际生活中的应用2方法归纳：化归、逼近3常见误区：二分法并不适用于所有零点，只能求函数的变号零点，且函数图象在零点附近是连续的1观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是()答案A2下列函数中，必须用

12、二分法求其零点的是()Ayx7 By5x1Cylog3x Dyxx答案D解析A，B，C项均可用解方程求其根，D项不能用解方程求其根，只能用二分法求零点3用二分法求函数f(x)x35的零点可以取的初始区间是()A(2，1) B(1,0)C(0,1) D(1,2)答案A解析f(2)f(1)120，所以可以取的初始区间是(2，1)4若函数f(x)x3x22x2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：f(1)2f(1.5)0.625f(1.25)0.984f(1.375)0.260f(1.438)0.165f(1.406 5)0.052那么方程x3x22x20的一个近似根(精确度0

13、.05)为()A1.5 B1.375 C1.438 D1.25答案C解析f(1.406 5)0，f(1.406 5)f(1.438)0，该方程的根在区间(1.406 5,1.438)内，又|1.406 51.438|0.031 50.05，方程的近似根可以是1.438.1用二分法求函数yf(x)在区间2,4上的唯一零点的近似值时，验证f(2)f(4)0，取区间(2,4)的中点x13，计算得f(2)f(x1)0，则此时零点x0所在的区间是()A(2,4) B(2,3)C(3,4) D无法确定答案B2用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是()Ax1 Bx2 Cx3 Dx4答案

14、C解析能用二分法求零点的函数必须满足在区间a，b上连续不断，且f(a)f(b)0.而x3左右两侧的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件3用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是()A|ab|0.1 B|ab|0.001 D|ab|0.001答案B解析据二分法的步骤知当|ba|小于精确度时，便可结束计算4已知函数yf(x)为0,1上的连续函数，且f(0)f(1)0，使用二分法求函数零点，要求近似值的精确度达到0.1，则需对区间至少二分的次数为()A2 B3 C4 D5答案C5在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0

15、.64)0，f(0.68)0，则函数的一个精确度为0.05的正实数零点的近似值不可以为()A0.68 B0.72C0.7 D0.6答案D解析已知f(0.64)0，则函数f(x)的零点的初始区间为(0.64,0.72)，又因为0.68(0.640.72)，且f(0.68)0，所以零点在区间(0.68,0.72)上，|0.720.68|0.040.05，所以0.68,0.7,0.72都符合6(多选)利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表x1.61.41.210.80.60.40.20y2x0.329 90.378 90.435 30.50.574 30.659 80.757 90.870 6

16、1yx22.561.961.4410.640.360.160.040若方程2xx2有一个根位于区间(a，a0.4)内，则a可以取()A1.4 B1 C0.8 D0.6答案BC解析令f(x)2xx2，则f(1.6)0，f(1.4)0，f(1.2)0，f(1)0，f(0.8)0，f(0.4)0，f(0.2)0，f(0)0，f(1.4)f(1)0，f(1)f(0.6)0，f(0.8)f(0.4)0，故a可能取1或0.87用二分法求方程x32x50在区间(2,4)上的实数根时，取中点x13，则下一个有根区间是_答案(2,3)解析设函数f(x)x32x5，f(2)10，f(4)510，下一个有根区间是(

17、2,3)8在12枚崭新的硬币中，有一枚外表与真币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称_次就可以发现假币答案3解析将12枚硬币平均分成两份，放在天平上，假币在轻的那6枚硬币里面；将这6枚平均分成两份，则假币一定在轻的那3枚硬币里面；将这3枚硬币任拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚即是假币；若不平衡，则轻的那一枚即是假币，依据上述分析，最多称3次就可以发现这枚假币9以下是用二分法求方程x33x50的一个近似解(精确度为0.1)的不完整的过程，请补充完整，并写出结论设函数f(x)x33x5，其图象在(，)上是连续不断的一条曲线先求值，f(0)_，f(1)

18、_，f(2)_，f(3)_.所以f(x)在区间_内存在零点x0.填表：区间中点mf(m)的符号区间长度解因为方程为x33x50，令f(x)x33x5，所以f(0)5，f(1)1，f(2)9，f(3)31，f(x)在区间(1,2)内存在零点x0，填表为区间中点mf(m)的符号区间长度(1,2)1.51(1,1.5)1.250.5(1,1.25)1.1250.25(1.125,1.25)1.187 50.125(1.125,1.187 5)1.156 250.062 5因为|1.187 51.125|0.062 50.1，所以原方程的近似解可取1.187 5.10已知函数f(x)3x，方程f(x)

19、0在(1，)内是否有根？若有根，有几个？若函数有零点，请写出函数零点的大致区间解方程f(x)0在(1，)内有根， f(x)3x3x1，当x(1，)时，函数f(x)为增函数，所以若方程f(x)0有根，则最多有一个根因为f(0)10，所以函数f(x)在区间(0,1)上有唯一零点11用二分法求方程x2lg3的近似解，可以取的一个区间是()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)答案C解析令f(x)x2lg3，则f(2)22lg322lg 23lg 210，用二分法求方程x2lg3的近似解，可以取的一个区间是(2,3)12若函数f(x)在a，b上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f(

20、a)f(b)0，则()Af(x)在上有零点Bf(x)在上有零点Cf(x)在上无零点Df(x)在上无零点答案B解析由f(a)f(b)0可知ff(b)0，根据函数零点存在定理可知f(x)在上有零点13用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|ab|(为精确度)时，函数零点的近似值x0与真实零点的误差的取值范围为()A. B. C0，) D0,2)答案B解析真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，而ba，所以误差的取值范围为.14某同学在借助计算器求“方程lg x2x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)lg xx2，算得f(1)0；在以下过程中，他用“二分法”又取了

21、4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x1.8.那么他再取的x的4个值依次是_答案1.5,1.75,1.875,1.812 5解析第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.812 5)15用二分法求方程ln(2x6)23x的根的近似值时，令f(x)ln(2x6)23x，并用计算器得到下表：x1.001.251.3751.50f(x)1.079 40.191 80.360 40.998 9则由表中的数据，可得方程ln(2x6)23x的一个近似解(精确度为0.1)为()A1.125

22、B1.312 5C1.437 5 D1.468 75答案B解析因为f(1.25)f(1.375)0.1，因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312 5，两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5，1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.062 5x20，则f(x1)f(x2)ln2(x1x2)，且1，x1x20，f(x1)f(x2)，即f(x)ln x2x6在(0，)上是增函数，f(x)至多有一个零点又f(2)ln 220，f(2)f(3)0，即f(x)在(2,3)内有一个零点f(x)在(0，)上只有一个零点(2)解f(2)0，取x1，则fln10，f(3)f0.ff0.x0，又，满足题意的区间为.