人教A版新教材必修第一册《3.1.2 第3课时 分段函数》教案（定稿）.docx

1、第3课时分段函数学习目标1.会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质.3.能用分段函数解决生活中的一些简单问题导语大家知道国家电网依据什么来收取电费吗？其实他们是按不同的时间段来收取费用，一般来说，白天稍贵一些，晚上稍便宜一些，反映到我们数学上，这就需要我们分两段来研究用电的费用，生活中诸如此类的问题很多，比如用水收费问题、出租车计费问题、个人所得税纳税问题等这些都属于我们今天要研究的分段函数的范畴一、分段函数求值(范围)问题问题函数y是两个函数吗？提示是一个函数，只不过x的取值范围不同，解析式不同知识梳理分段函数(1)定义：像y这样的函数称为分段函数；(2)本质：函数

2、在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系注意点：分段函数的定义域是各段范围的并集，值域为各段上值域的并集例1已知函数f(x)(1)求f(5)，f(1)，f；(2)若f(a22)a4，求实数a的取值范围解(1)由5(，2，1(2,2)，(，2，知f(5)514，f(1)3158，fff35.(2)因为a222，所以f(a22)2(a22)12a23，所以不等式f(a22)a4化为2a2a10，解得a1或a，即实数a的取值范围是1，)延伸探究1本例条件不变，若f(a)3，求实数a的值解当a2时，f(a)a13，即a22，不符合题意，舍去；当2a2x，求x的取值范围解当x2时，f(x)2x可化为x1

3、2x，即x1，所以x2；当2x2x可化为3x52x，即x5，所以2x2x可化为2x12x，则x.综上可得，x的取值范围是(，2)反思感悟(1)分段函数求值的方法先确定要求值的自变量属于哪一段区间然后代入该段的解析式求值当出现f(f(x0)的形式时，应从内到外依次求值(2)已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解跟踪训练1(1)已知f(x)使f(x)1成立的x的取值范围是()A4,2) B4,2C(0,2 D(4,2答案B解析当x0时，f(x)1即x11，解得x4,0；当x0时

4、，f(x)1即(x1)21，解得x0,2，综上，x4,2(2)函数f(x)若f(x0)8，则x0_.答案或10解析当x02时，f(x0)x28，即x6，x0或x0(舍去)；当x02时，f(x0)x08，x010.综上可知，x0或x010.二、分段函数的图象及应用例2已知函数f(x)x22，g(x)x，令(x)minf(x)，g(x)(即f(x)和g(x)中的较小者)(1)分别用图象和解析式表示(x)；(2)求函数(x)的定义域，值域解(1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图.由图中函数取值的情况，结合函数(x)的定义，可得函数(x)的图象如图.令x22x，得x2或x1.结合图

5、，得出(x)的解析式为(x)(2)由图知，(x)的定义域为R，(1)1，(x)的值域为(，1反思感悟分段函数图象的画法(1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象跟踪训练2函数f(x)的图象如图所示，求函数f(x)的解析式解当x2时，设f(x)cxd，则解得所以f(x)2x，所以f(x)三、分段函数在实际问题中的应用例3第24届冬季奥林匹克运动会，即2

6、022年北京冬奥会于2022年2月4日开幕冬奥会吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已是“一墩难求”，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元每生产x万盒，需投入成本h(x)万元，当产量小于或等于50万盒时，h(x)180x100；当产量大于50万盒时，h(x)x260x3 500，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完求“冰墩墩”玩具手办销售利润y(万元)关于产量x(万盒)的函数关系式(利润销售总价成本总价，销售总价销售单价销售量，成本总价固定成本生产中投入成本)解当产

7、量小于或等于50万盒时，y200x200180x10020x300，当产量大于50万盒时，y200x200x260x3 500x2140x3 700，故销售利润y(万元)关于产量x(万盒)的函数关系式为yxN.反思感悟分段函数的实际应用(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式跟踪训练3某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：(1)5 km以内(含5 km)，票价2元；(2)5 km以上，

8、每增加5 km，票价增加1元(不足5 km的按5 km计算)如果某条线路的总里程为20 km，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象解设票价为y元，里程为x公里由题意可知，自变量x的取值范围是(0,20由“招手即停”公共汽车票价的制定规则，可得到以下函数解析式y函数图象如图1知识清单：(1)分段函数的概念及求值(2)分段函数的图象及应用2方法归纳：分类讨论、数形结合法3常见误区：(1)作分段函数图象时要注意衔接点的虚实(2)求分段函数的函数值时要依据自变量的取值范围确定对应的解析式1一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下站停车，

9、装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是()答案B2著名的Dirichlet函数D(x) 则D(D(x)等于()A0 B1C. D.答案B解析D(x)0,1，D(x)为有理数，D1.3已知函数f(x)则f(2)等于()A1 B0 C1 D2答案A4函数f(x)若f(x)3，则x的值是_答案解析当x1时，x23，得x1，舍去；当1x10.令2mx10m16m，解得x13.7某商品的单价为5 000元，若一次性购买超过5件，但不超过10件时，每件优惠500元；若一次性购买超过10件，则每件优惠1 000元某单位购买x件(xN*，x15

10、)，设总购买费用是f(x)元，则f(x)的解析式是_答案f(x)解析当x5，xN*时，f(x)5 000x；当5x10，xN*时，f(x)(5 000500)x4 500x；当10x15，xN*时，f(x)(5 0001 000)x4 000x.8. 已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是_答案f(x)解析由题图可知，图象是由两段组成，当1x0时，设f(x)axb，将(1,0)，(0,1)代入解析式，则即f(x)x1；当0x1时，设f(x)kx，将(1，1)代入，则k1，f(x)x，综上所述，f(x)9已知函数f(x)1(2x2)(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；(2)画出

11、函数f(x)的图象；(3)写出函数f(x)的值域解(1)当0x2时，f(x)11；当2x0时，f(x)11x.所以f(x)(2)函数f(x)的图象如图所示(3)由(2)知，f(x)在(2,2上的值域为1,3)10中华人民共和国个人所得税法规定，公民全月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不必纳税，超过5 000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：全月应纳税所得额税率不超过3 000元的部分3%超过3 000元至12 000元的部分10%超过12 000元至25 000元的部分20%某职工每月收入为x元，应交纳的税额为y元(1)请写出y关于x的函数关系式；(2)有一职工八月

12、份交纳了54元的税款，请问该职工八月份的工资是多少？解(1)由题意，得y(2)该职工八月份交纳了54元的税款，5 0001时，f(x)x2x2，则f(2)22224，当x1时，f(x)1x2，ff1.12设函数f(x)若f(a)a，则实数a的值为()A1 B1C2或1 D1或2答案B解析由题意知，f(a)a，当a0时，有a1a，解得a2，不满足条件，舍去；当a0时，有a，解得a1(舍去)或a1.所以实数a的值是1.13AQI表示空气质量指数，AQI的数值越小，表明空气质量越好，当AQI的数值不大于100时称空气质量为“优良”如图是某地3月1日到12日AQI的数值的统计数据，图中点A表示3月1日

13、的AQI的数值为201.则下列叙述不正确的是()A这12天中有6天空气质量为“优良”B这12天中空气质量最好的是3月9日C从3月9日到12日，空气质量越来越好D从3月4日到9日，空气质量越来越好答案C14已知函数f(x)则使f(x)2成立的x的值组成的集合为_答案解析由题意可得或由解得1x；由解得x或x1.综上所述，使f(x)2成立的x的值组成的集合为.15设xR，则函数y2|x1|3|x|的值域为_答案y|y2解析当x1时，y2(x1)3xx2；当0x1时，y2(x1)3x5x2；当x0时，y2(x1)3xx2.故y根据函数解析式作出函数图象，如图所示由图象可以看出，函数的值域为y|y216

14、如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系骑车者9时离开家，15时回到家根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？(3)第一次休息时，离家多远？(4)11：00到12：00他骑了多少千米？(5)他在9：0010：00和10：0010：30的平均速度分别是多少？(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？解(1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米(2)10：30开始第一次休息，休息了半小时(3)第一次休息时，离家17千米(4)11：00至12：00他骑了13千米(5)9：0010：00的平均速度是10千米/时；10：0010：30的平均速度是14 千米/时(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形