1、第1课时集合的概念学习目标1.通过实例了解集合与元素的含义，利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题，能判断元素与集合的关系.2.识记常见数集的表示符号导语在体育课上，体育老师常说的一句话就是“集合”，这个时候，同学们从四面八方集合到一起，而这个集合是一个动词，在我们数学课上，也有一个名词“集合”，比如在小学和初中，我们学习过自然数的集合，同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合等，为了进一步了解集合的有关知识，请同学们观察下面的几个例子一、元素与集合的概念问题1看下面的几个例子，观察并讨论它们有什么共同特点？(1)110之间的所有偶数；(2)立德中学今年入学的全体高一学生；(3)所有的
2、正方形；(4)到直线l的距离等于定长d的所有点；(5)方程x23x20的所有实数根；(6)地球上的四大洋提示以上例子中指的都是“所有的”，即某种研究对象的全体，研究对象可以是数、点、代数式，也可以是现实生活中各种各样的事物或人等知识梳理1元素：一般地，我们把研究对象统称为元素元素通常用小写拉丁字母a，b，c，表示；2集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)集合通常用大写拉丁字母A，B，C，表示二、集合中元素的特征问题2问题1中的几个例子都能构成集合吗？它们的元素分别是什么？提示都能构成集合(1)2,4,6,8,10；(2)立德中学今年入学的每一位高一学生；(3)正方形；(4)到直线l的距
3、离等于定长d的点；(5)1,2；(6)太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋知识梳理1集合中元素的特征：确定的，互不相同的，无序的2集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的注意点：(1)集合中的元素必须是确定的，不能是模棱两可的，任何两个元素不能相同，且与顺序无关(2)利用集合相等求参时，已知元素是突破口例1(1)(多选)以下元素的全体能构成集合的是()A中国古代四大发明B周长为10 cm的三角形C方程x22x30的实数根D地球上的小河流(2)集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若PQ，则a_.答案(1)ABC(2)2解析(1)在A中，中国古代四大发明
4、具有确定性，能构成集合；在B中，周长为10 cm的三角形具有确定性，能构成集合；在C中，方程x22x30的实数根为3和1，能构成集合；在D中，地球上的小河流不确定，因此不能构成集合(2)由题意得a24，a2.延伸探究若将例1(2)改为“若集合Q中含有两个元素1和a2，求a的取值范围解由元素是互不相同的，得a21，即a1.反思感悟(1)判断一组对象能构成集合的条件能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素；任何两个对象都是不同的；对元素出现的顺序没有要求(2)判断两个集合相等的注意点若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等跟
5、踪训练1(1)下列说法中正确的是()A与定点A，B等距离的点不能构成集合B由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5C一个集合中有三个元素a，b，c，其中a，b，c是ABC的三边长，则ABC不可能是等腰三角形D高中学生中的游泳能手能构成集合(2)设a，b是两个实数，集合A中含有0，b，三个元素，集合B中含有1，a，ab三个元素，且集合A与集合B相等，则a2b_.答案(1)C(2)1解析(1)A不正确，与定点A，B等距离的点在AB的垂直平分线上，能构成集合；B不正确，由title中的字母构成的元素为t，i，l，e共4个；C正确，一个集合中有三个元素a，b，c，故a，b，c互异，故不可能构
6、成等腰三角形；D不正确，游泳能手没有确定的标准，故不能构成集合(2)由题意知ab0，所以1，所以b1，a1，所以a2b1.三、元素和集合之间的关系问题3如果体育老师说“男同学打篮球，女同学跳绳”，你去打篮球吗？提示是男生就去，不是男生就不去知识梳理1元素和集合之间的关系知识点关系概念记法读法元素与集合的关系属于如果a是集合A的元素aAa属于集合A不属于如果a不是集合A的元素aAa不属于集合A2.常用数集及其记法名称非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或NZQR注意点：(1)元素与集合之间是属于或不属于的关系，注意符号的书写(2)0属于自然数集例2(1)下列结论中，不正
7、确的是()A若aN，则aNB若aZ，则a2ZC若aQ，则|a|QD若aR，则a3R(2)设集合B是小于的所有实数的集合，则2_ B，1_B(用符号“”或“”填空)答案(1)A(2)解析(1)A中当a0时，显然不成立(2)2，2B，(1)23232411，10，aR，若2A，则实数a的取值范围为_答案(1)(2)a4解析(1)略(2)因为2A，所以22a0，即a4.1.知识清单：(1)元素与集合的概念(2)集合中元素的特征(3)元素与集合的关系(4)常用数集的记法2方法归纳：直接法、推理法3常见误区：自然数集中容易遗忘0这个元素1(多选)下列各组对象能构成集合的有()A接近于1的所有正整数B小于
8、0的实数C(2 022,1)与(1,2 022)D未来世界的高科技产品答案BC解析A中，接近于1的所有正整数标准不明确，故不能构成集合；B中，小于0是一个明确的标准，能构成集合；C中，(2 022,1)与(1,2 022)是两个不同的点，是确定的，能构成集合；D中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合2集合M是由大于2且小于1的实数构成的，则下列关系正确的是()A.M B. 0MC1M D. M答案D解析1，故A错；201，故B错；1M，故C错；21，故D正确3设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国_A，美国_A，印度_A，英国_A(用符号“”或“”填空)答案4设集合A含有两个元素x，y，B含有
9、两个元素0，x2，若AB，则实数x_；y_.答案10解析由题意得或即或又当xy0时，不满足集合元素的互异性，所以x1，y0.1下面给出的四类对象中，能构成集合的是()A某班视力较好的同学B长寿的人C的近似值D倒数等于它本身的数答案D解析此题考查集合概念的确定性，只有D中的元素是确定的2设不等式32x0的解集为M，下列关系中正确的是()A0M，2M B0M，2MC0M，2M D0M，2M答案B解析本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式32x0，所以0M；当x2时，32x10，所以2M.3下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是()AP是由元素1，构成的集合，Q是由元素，
10、1，|构成的集合BP是由构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合CP是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合DP是满足不等式1x1的自然数构成的集合，Q是方程x21的解集答案A解析由于A中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B，C，D中P，Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合4已知集合M是方程x2xm0的解组成的集合，若2M，则下列判断正确的是()A1M B0MC1M D2M答案C解析由2M知2为方程x2xm0的一个解，所以222m0，解得m2.所以方程为x2x20，解得x11，x22.故方程的另一根为1.5(多选)集合A中含有三个元素2,4,6，若a
11、A，且6aA，那么a为()A2 B2 C4 D0答案AC解析若a2，则624A；若a4，则642A；若a6，则660A.6(多选)下列说法正确的是()AN*中最小的数是1B若aN*，则aN*C若aN*，bN*，则ab的最小值是2Dx244x的实数解组成的集合中含有2个元素答案AC解析因为N*表示正整数集，容易判断A，C正确；对于B，若a，则满足aN*，但aN*，B错误；对于D，x244x的实数解只有2，所以解集中只有一个元素，D错误7若由a，1组成的集合A与由a2，ab，0组成的集合B相等，则a2 022b2 022的值为_答案1解析由已知可得a0，因为两集合相等，又10，所以0，所以b0，所
12、以a21，即a1，又当a1时，集合A不满足集合中元素的互异性，舍去，所以a1.所以a2 022b2 0221.8以方程x25x60和方程x2x20的根为元素的集合中共有_个元素答案3解析方程x25x60的根是2,3，方程x2x20的根是1,2.根据集合中元素的互异性知，以这两个方程的根为元素的集合中共有3个元素9判断下列元素的全体是否能组成集合，并说明理由：(1)平面上到AOB两边等距离的点；(2)高中学生中的灌篮高手解(1)到AOB两边等距离的点在AOB的角平分线上，故元素是明确的，可以组成集合(2)对于灌篮高手，概念模糊，无法明确界定，故不能组成集合10已知集合A含有两个元素a3和2a1，
13、aR.(1)若3A，试求实数a的值；(2)若aA，试求实数a的值解(1)因为3A，所以3a3或32a1.若3a3，则a0.此时集合A含有两个元素3，1，符合题意；若32a1，则a1.此时集合A含有两个元素4，3，符合题意综上所述，实数a的值为0或1.(2)因为aA，所以aa3或a2a1.当aa3时，有03，不成立；当a2a1时，有a1，此时A中有两个元素2，1，符合题意综上，实数a的值为1.11集合A的元素y满足yx21，集合B的元素(x，y)满足yx21(A，B中xR，yR)则下列选项中元素与集合的关系都正确的是()A2A，且2BB(1,2)A，且(1,2)BC2A，且(3,10)BD(3,
14、10)A，且2B答案C解析集合A中的元素为y，是数集，又yx211，故2A，集合B中的元素为点(x，y)，且满足yx21，经验证，(3,10)B.12(多选)由a2，2a，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值不可能是()A1 B2 C1 D2答案ABD解析由题意知a24,2a4，a22a，解得a2，且a1，即a的取值不可能是1，2.13设集合A含有2,1两个元素，B含有1,2两个元素，定义集合AB，满足x1A，x2B，且x1x2AB，则AB中所有元素之积为()A8 B16 C8 D16答案C解析集合AB中有2，4，1三个元素，故所有元素之积为8.14已知集合A含有两个元素1
15、和2，集合B表示方程x2axb0的解组成的集合，且集合A与集合B相等，则a_；b_.答案32解析因为集合A与集合B相等，且1A，2A，所以1B，2B，即1,2是方程x2axb0的两个实数根所以即15已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则M中元素个数为_答案3解析针对x，y，z中，三个为正、两个为正、一个为正、全为负四种情况进行分类讨论，此时代数式的值分别为4,0,0，4，则M中的元素共3个16设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若aA，则A(a1，且a0)求证：(1)若2A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集证明(1)由题意知若aA，则A.又因为2A，所
16、以1A.因为1A，所以A.因为A，所以2A.所以A中另外两个元素为1，.(2)若A为单元素集，则a，即a2a10，方程无实数解所以a，所以集合A不可能是单元素集第2课时集合的表示学习目标1.掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法.2.会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合导语同学们，上节课我们学习了集合的概念，还有一些特殊的集合，比如非负整数集、正整数集等，我们发现可以用自然语言描述一个集合，而语言正是我们之间相互联系的一种方式，同样的祝福又有着不同的表示方式，例如，我们中文说“祝你生日快乐”，英文为“Happy Birthday to you”等等，那么对于一个集合，会有哪些不同的表示方法
17、呢？让我们一同进入今天的探究之旅一、用列举法表示集合问题1用A表示“本班所有的男生”组成的集合，这是利用的哪种方法表示的集合？你能把集合A中的所有元素逐一列举出来吗？提示这是用自然语言法表示的集合；我们可以把所有男生的名字写出来，或者把所有男生的学号一一写出知识梳理列举法像这样把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫做列举法注意点：(1)元素间用“，”隔开(2)集合中的元素是确定的，元素不重复，且无顺序(3)对于元素个数较少时，把元素一一列举出来并用“ ”括起来即可(4)对于元素个数较多时，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚，然
18、后加省略号，比如正整数集可表示为1,2,3,4,5(5)这里集合的“ ”已包含所有的意思，比如整数，即代表整数集Z，而不能用全体整数，即不能出现“全体”“所有”等字眼例1(教材第3页例1改编)用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有正整数组成的集合；(2)方程x2x0的所有实数根组成的集合；(3)直线y2x1与y轴的交点所组成的集合解(1)设小于10的所有正整数组成的集合为A，那么A1,2,3,4,5,6,7,8,9(2)设方程x2x0的所有实数根组成的集合为B，那么B1,0(3)将x0代入y2x1，得y1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是(0,1)反思感悟用列举法表示集合的3个步骤(
19、1)求出集合的元素；(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；(3)用花括号括起来提醒：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开如(2,3)，(5，1)跟踪训练1用列举法表示下列给定的集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；(2)小于8的质数组成的集合B；(3)方程2x2x30的实数根组成的集合C；(4)一次函数yx3与y2x6的图象的交点组成的集合D.解(1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以A0,2,4,6,8,10(2)小于8的质数有2,3,5,7，所以B2,3,5,7(3)方程2x2x30
20、的实数根为1，所以C.(4)由得所以一次函数yx3与y2x6的交点为(1,4)，所以D(1,4)二、用描述法表示集合问题2你能用列举法表示不等式x73的解集吗？提示不等式x73的解是x10，因为满足x10的实数有无数个，所以x73的解集无法用列举法表示但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即x是实数，且x10，把解集表示为xR|x1不能写成x1(2)用简明、准确的语言进行描述，如方程、不等式、几何图形等(3)不能出现未被说明的字母，如xZ|x2m中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的(4)所有描述的内容都要写在花括号内，如“xZ|x2m，mN”不符合要求，应将“mN”写进“”中，即xZ|x
21、2m，mN(5)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若xR是明确的，则xR可省略不写，如集合DxR|x20也可表示为Dx|x20(6)多层描述时，应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如x|x1(7)“”有“所有”“全体”的含义，如所有实数组成的集合可以用描述法表示为x|x是实数，但如果写成x|x是所有实数、x|x是全体实数、x|x是实数集都是错误的，因为“”本身既表示集合的意思，也表示了“所有”“全体”的意思，此处是初学者容易犯的错误，要注意领会例2用描述法表示下列集合：(1)不等式2x31的解组成的集合A；(2)C2,4,6,8,10；(3)平面直角坐标系中第二象限内
22、的点组成的集合D.解(1)不等式2x31的解组成的集合为A，则集合A中的元素是数，设代表元素为x，则x满足2x31，则Ax|2x31，即Ax|x2(2)设偶数为x，则x2n，nZ.但元素是2,4,6，8,10，所以x2n，n5，nN*.所以Cx|x2n，n5，nN*(3)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x0，故第二象限内的点的集合为D(x，y)|x0反思感悟(1)用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性，即它是数集、点集还是其他的类型，一般地，数集用一个字母代表其元素，点集用一个有序实数对代表其元素(2)若描述部分出现代表元素以外的字母，则要对新字母说明其含义或指出其取值
23、范围跟踪训练2(教材第4页例2改编)试分别用描述法和列举法表示下列集合：(1)方程x250的所有实数根组成的集合A；(2)由小于8的所有自然数组成的集合B.解(1)描述法表示为AxR|x250，列举法表示为A，(2)描述法表示为xN|x8(形式不唯一)，列举法表示为0,1,2,3,4,5,6,7三、方程与集合例3已知集合Ax|ax22x10，aR，若A中只有一个元素，求a的值解当a0时，原方程变为2x10，此时x，符合题意；当a0时，方程ax22x10为一元二次方程，当44a0，即a1时，原方程的解为x1，符合题意故当A中只有一个元素时，a的值为0或1.延伸探究1在本例条件下，若A中至多有一个
24、元素，求a的取值范围解A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素当A中只有一个元素时，由例题可知，a0或a1.当A中没有元素时，44a1.故当A中至多有一个元素时，a的取值范围为a|a0或a12在本例条件下，是否存在实数a，使集合A与集合1相等？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由解A1，1A，a210，即a3.又当a3时，由3x22x10，得x或x1，即方程ax22x10有两个根和1，此时A，与A1矛盾故不存在实数a，使A1反思感悟根据已知的集合求参数的关注点(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如例3集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元
25、素个数问题转化为方程的根的个数问题(2)a0这种情况极易被忽视，对于方程“ax22x10”有两种情况：一是a0，即它是一元一次方程；二是a0，即它是一元二次方程，也只有在这种情况下，才能用判别式来解决问题跟踪训练3已知集合Aa3，(a1)2，a22a2，若1A，求实数a的值解若a31，则a2，此时A1,1,2，不符合集合中元素的互异性，舍去若(a1)21，则a0或a2.当a0时，A3,1,2，满足题意；当a2时，由知不符合条件，故舍去若a22a21，则a1，此时A2,0,1，满足题意综上所述，实数a的值为1或0.1知识清单：(1)列举法(2)描述法(3)集合与方程、不等式的关系2方法归纳：分类
26、讨论3常见误区：列举法与描述法的乱用；涉及x2的系数不确定时，忽略讨论方程是一次方程还是二次方程1集合xN*|x21的另一种表示法是()A0,1,2,3 B1,2,3C0,1,2,3,4 D1,2,3,4答案B解析因为x21，xN*，所以x3，xN*，从而x1,2,3.2对集合用描述法来表示，其中正确的一个是()A.B.C.D.答案D解析A，B中x可以表示负数，C中没有元素.3下列说法中正确的是()0与0表示同一个集合；由1,2,3组成的集合可表示为1,2,3或3,2,1；方程(x1)2(x2)0的所有解组成的集合可表示为1,2；集合x|4x5可以用列举法表示A只有和 B只有和C只有 D只有和
27、答案B解析中“0”不能表示集合，而“0”可以表示集合，故错误；根据集合中元素的无序性可知正确；根据集合中元素的互异性可知正确；不能用列举法表示，原因是集合中有无数个元素，不能一一列举4用列举法表示集合D(x，y)|yx28，xN，yN为_答案(0,8)，(1,7)，(2,4)解析由已知得集合D为点集，结合元素的条件可知答案只有三组，列举可得答案1已知集合Mx|xN，则()A0M BMC.M D1M答案A解析由集合Mx|xN知，0M，故A正确；M，故B错误；M，故C错误；1M，故D错误2已知集合A1,2，Bx|xab，aA，bA，则集合B中的元素个数为()A1 B2 C3 D4答案C解析集合A1
28、,2，Bx|xab，aA，bA，B2,3,4，集合B中的元素个数为3.3把集合x|x24x50用列举法表示为()Ax1，x5 Bx|x1或x5Cx24x50 D1,5答案D解析根据题意，解x24x50可得x1或5，用列举法表示为1,54若1x2，x2，则实数x的值为()A1 B1C1或1 D1或3答案B解析由1x2，x2，可得x21或x21，当x21时，x1.当x1时，x23，满足要求；当x1时，121，不满足元素的互异性，舍去当x21时，x1，舍去x1.5下列集合中表示同一集合的是()AM(3,2)，N(2,3)BM2,3，N3,2CM(x，y)|xy1，Ny|xy1DM2,3，N(2,3)
29、答案B解析选项A中的集合M是由点(3,2)组成的点集，集合N是由点(2,3)组成的点集，故集合M与N不是同一个集合；选项C中的集合M是由一次函数y1x图象上的所有点组成的集合，集合N是由一次函数y1x图象上的所有点的纵坐标组成的集合，即Ny|xy1R，故集合M与N不是同一个集合；选项D中的集合M是数集，而集合N是点集，故集合M与N不是同一个集合；对于选项B，由集合中元素的无序性，可知M，N表示同一个集合6(多选)已知集合AxN|x6，则下列关系式成立的是()A0A B1.5AC1A D6A答案ABC解析AxN|x60,1,2,3,4,5，6A，故D不成立，其余都成立7集合x|x2m3，mN*，
30、m5，用列举法表示为_答案1,1,3,5解析集合中的元素满足x2m3，mN*，m6的解构成的集合；(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合；(5)方程组的解集解(1)0，1(2)x|x2n1，且x8(4)1,2,3,4,5,6(5)解集用描述法表示为，解集用列举法表示为(2，1)10下列三个集合：Ax|yx21；By|yx21；C(x，y)|yx21(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义分别是什么？解(1)它们是互不相同的集合(2)集合Ax|yx21的代表元素是x，且xR；集合By|yx21的代表元素是y，满足条件yx21的y的取值范围是y1.集合C(x，y)|yx21的代
31、表元素是(x，y)，是抛物线yx21上的点11由大于3且小于11的偶数所组成的集合是()Ax|3x11，xZBx|3x11Cx|3x11，x2kDx|3x11，x2k，kZ答案D解析由题意可知，满足题设条件的只有选项D.12将集合用列举法表示，正确的是()A2,3 B(2,3)Cx2，y3 D(2,3)答案B解析解方程组得所以集合(2,3)13已知Aa2,2a25a，12且3A，则由a的值构成的集合是()A B.C1 D.答案D解析3A，Aa2,2a25a，12，或解得a.14若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A1,1,2_(填“是”或“不是”)可倒数集试写出一
32、个含三个元素的可倒数集_答案不是(答案不唯一)解析由于2的倒数不在集合A中，故集合A不是可倒数集若一个元素aA，则A.若集合中有三个元素，故必有一个元素a，即a1，故可取的集合有，等15对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，mnmn；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，mnmn，则在此定义下，集合M(a，b)|ab16中的元素个数是()A18 B17 C16 D15答案B解析因为11516,21416,31316,41216,51116,61016,7916,8816,9716,10616,11516,12416,13316,14216,15116
33、,11616,16116，集合M中的元素是有序数对(a，b)，所以集合M中的元素共有17个16已知集合A，B，试问集合A与B有几个相同的元素？并写出由这些相同元素组成的集合解对于集合A，B，因为xN，N，所以当x1时，1；当x7时，3；当x9时，9.所以A1,7,9，B1,3,9所以集合A与B有2个相同的元素，集合A，B的相同元素组成的集合为1,9学习目标1.理解两个集合间的包含关系.2.能用符号和Venn图表示两个集合间的关系.3.理解空集与子集、真子集之间的关系导语我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系，如55,53等等，两个集合之间是否也有类似的关系呢？(同学们有可能回答包含关系)嗯
34、，大家都预习课本了，有同学说了，集合间有包含关系，不错，本节课的关键词就是“包含”，古人有云：困难里包含着胜利；失败里孕育着成功；书包含着人生；机会包含于每个人的奋斗之中一、子集问题1观察下面的几个例子，请同学们说出它们之间的“包含”关系吧(1)A1,2,3，B1,2,3,4,5；(2)C为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合；(3)Ax|x2k，kZ，B偶数提示(1)集合A包含于集合B，或集合B包含集合A.(2)集合C包含于集合D，或集合D包含集合C.(3)集合A包含集合B，集合B也包含集合A.知识梳理1子集定义一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个
35、元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集记法与读法记作AB(或BA)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)图示结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即AA；(2)对于集合A，B，C，若AB，且BC，则AC2.一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作AB.也就是说，若AB，且BA，则AB.注意点：(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由任意xA，能推出xB.(2)集合A与集合B相等，就是集合A与集合B中的元素完全一致，集合“AB”可类比实数中的结论“若ab，且ba，则ab”
36、，即“若AB，且BA，则AB”，反之亦成立例1指出下列各对集合之间的关系：(1)A1,1，B(1，1)，(1,1)，(1，1)，(1,1)；(2)Ax|1x4，Bx|x50；(3)Ax|x是正方形，Bx|x是矩形；(4)Mx|x2n1，nN*，Nx|x2n1，nN*解(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系(2)集合Bx|x5，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知AB.(3)正方形是特殊的矩形，故AB.(4)M正奇数，N不含1的正奇数，故NM.反思感悟判断集合间关系的常用方法跟踪训练1(1)已知Ax|x是正数，Bx|x是正整数，Cx|x是实数，那么A
37、，B，C之间的关系是()AABC BBACCCAB DABC答案B解析集合A，B，C的关系如图(2)下列集合与集合A2 022,1相等的是()A(1,2 022)B(x，y)|x2 022，y1Cx|x22 023x2 0220D(2 022,1)答案C解析(1,2 022)表示一个点，不是集合，A不符合；集合(x，y)|x2 022，y1的元素是点，与集合A不相等，B不符合；x|x22 023x2 02202 022,1A，故C符合题意；集合(2 022,1)的元素是点，与集合A不相等，D不符合二、真子集问题2通过学习子集的概念我们发现，一个非空集合的子集有好多个，你能对它们进行分类吗？提示对于一个含有多个元素的集合，它的子集的元素的个数大多比它本身少，但有一个特殊的，那就是它本身也是它本身的一个子集知识梳理1真子集定义如果集
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