人教A版新教材必修第一册第五章《三角函数》全部教案（共26课时）.docx

1、5.1.1任意角学习目标1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.2.了解象限角的概念，理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合.3.利用象限角和终边相同的角的概念解决简单的问题导语同学们，钟表是帮助我们掌握时间的好帮手，生活中我们经常听到时钟慢了5分钟，或时钟快了30分钟，应该如何校准？再比如，我们一节课45分钟，时针、分针以及秒针分别旋转了多少度？再比如在体操、花样游泳、跳水等项目中，我们也常常听到“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”等这样的解说，这些问题都和角度是分不开的，为了研究这些问题，我们开始今天的新课一、任意角的概念问题1在初中是如何定义角的？角的范

2、围是多少？提示角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形，角的范围是0360.知识梳理1角的概念角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形2角的表示如图所示，角可记为“”或“”或“AOB”，始边：OA，终边：OB，顶点：O.3角的分类名称定义图示正角一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角负角一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有做任何旋转形成的角4.任意角我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角5相反角我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角的相反角记为.例1若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为()A120 B120C60

3、 D60答案B解析由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为360120.反思感悟正确理解锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小逆时针旋转形成一个正角，顺时针旋转形成一个负角正角与负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属习惯，就好像正数和负数的规定一样跟踪训练1经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是()A60，720 B60，720C30，360 D60，720答案B解析钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，而36060，2360720，故钟表的时针和分针转过的角度分别是60，720.二、象限角问题2现在，我们把角的概念

4、推广到了任意角，如何更形象地表示一个角？提示我们通常在直角坐标系内讨论角，为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角注意点：(1)锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，直角的终边在坐标轴上，它不属于任何一个象限(2)每一个象限都有正角和负角(3)无法比较两个象限角的大小例2(多选)在160；480；960；1 530下列四个角中，属于第二象限角的是()A160 B480C960 D1 530答案ABC解析A中，160很显然是第二象限角；B中，480120360是第二象限角；C中，9603360120是第二象限角；D中，1 530

5、436090不是第二象限角反思感悟正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念的关系，需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可跟踪训练2(多选)下列叙述不正确的是()A三角形的内角是第一象限角或第二象限角B钝角是第二象限角C第二象限角比第一象限角大D小于180的角是钝角、直角或锐角答案ACD解析直角不属于任何一个象限，故A不正确；钝角是大于90小于180的角，是第二象限角，故B正确；由于120是第二象限角，390是第一象限角，120390，故C不正确；由于零角和负角也小于180，故D不正确三、终边相同的角问题3给定一个角，它的终边是否唯一？

6、若两角的终边相同，那么这两个角相等吗？提示给定一个角，它的终边唯一；两角终边相同，这两个角不一定相等，比如30的终边和390的终边相同，它们正好相差了360知识梳理终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和例3已知1 845，在与终边相同的角中，求满足下列条件的角(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)360720之间的角解因为1 84545(5)360，即1 845角与45角的终边相同，所以与角终边相同的角的集合是|45k360，kZ，(1)最小的正角为315.(2)最大的负角为45.(3)3607

7、20之间的角分别是45，315，675.反思感悟终边相同的角的表示(1)终边相同的角都可以表示成k360(kZ)的形式(2)终边相同的角相差360的整数倍跟踪训练3若角2与240角的终边相同，则等于()A120k360，kZB120k180，kZC240k360，kZD240k180，kZ答案B解析角2与240角的终边相同，则2240k360，kZ，则120k180，kZ.四、区域角以及终边在已知直线上的角的表示例4已知角的终边在图中阴影部分内，试指出角的取值范围解终边在30角的终边所在直线上的角的集合为S1|30k180，kZ，终边在18075105角的终边所在直线上的角的集合为S2|105

8、k180，kZ，因此，终边在图中阴影部分内的角的取值范围为|30k180105k180，kZ反思感悟(1)象限角的判定方法根据图象判定利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为0360之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系将角转化到0360范围内在直角坐标平面内，在0360之间没有两个角终边是相同的(2)表示区域角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的360360范围内的角和，写出最简区间x|x，其中360.第三步：起始、终止边界对应角，再加上360的整数倍，即得区域角集合跟踪训练4已知，如图所示(1)分别写出终边

9、落在OA，OB位置上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合解(1)终边落在OA位置上的角的集合为|210k360，kZ，终边落在OB位置上的角的集合为|300k360，kZ(2)终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合是|210k360300k360，kZ1知识清单：(1)正角、负角、零角的概念(2)终边相同的角的表示(3)象限角、区域角的表示2方法归纳：数形结合、分类讨论3常见误区：锐角与小于90角的区别，终边相同的角的表示中漏掉kZ.1“是锐角”是“是第一象限角”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析因为是锐角能推出是第一象限角

10、，但是反之不成立，例如400是第一象限角，但不是锐角，所以“是锐角”是“是第一象限角”的充分不必要条件22 022是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角答案C解析2 0225360222，所以2 022角的终边与222角的终边相同，为第三象限角3与460角终边相同的角可以表示成()A460k360，kZ B100k360，kZC260k360，kZ D260k360，kZ答案C解析因为460260(2)360，故与460角终边相同的角可以表示成260k360，kZ.4.已知角的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角的集合是_答案|45k360150k360，kZ解

11、析观察图形可知，角的集合是|45k360150k360，kZ1如果角的终边上有一点P(0，3)，那么()A是第三象限角 B是第四象限角C是第三或第四象限角 D不是象限角答案D解析点P(0，3)在y轴负半轴上，故的终边为y轴的负半轴2若是第四象限角，则180是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角答案C解析可以给赋一特殊值60，则180240，故180是第三象限角3时针走过2小时40分，则分针转过的角度是()A80 B80 C960 D960答案D解析4060，360240.由于时针、分针都是顺时针旋转，时针走过2小时40分，分针转过的角度为2360240960.4下面各组角中

12、，终边相同的是()A390，690 B330，750C480，420 D3 000，840答案B解析因为33036030，750236030，所以330与750终边相同5.如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是()A|45120B|120315C|45k360120k360，kZD|120k360315k360，kZ答案C解析如题图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是|45k360120k360，kZ6(多选)下列四个角为第二象限角的是()A200 B100 C220 D420答案AB解析200360160，在0360范围内，与200终边相同的角为160，它是第二象限角，同理100为第

13、二象限角，220为第三象限角，420为第一象限角71 112角是第_象限角答案一解析1 112360332，1 112的终边与32的终边相同，均为第一象限角8在0360范围内，与角60的终边在同一条直线上的角为_答案120，300解析与角60的终边在同一条直线上的角可表示为60k180，kZ.所求角在0360范围内，060k180360，kZ，解得k，kZ，k1或2.当k1时，120；当k2时，300.9已知1 910.(1)把写成k360(kZ,0360)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求，使与的终边相同，且7200.解(1)1 9106360250，它是第三象限角(2)令250n360

14、(nZ)，取n1，2就得到符合7200的角当n1时，250360110；当n2时，250720470.故110或470.10在平面直角坐标系中，用阴影表示下列集合：(1)|30k36060k360，kZ；(2)|30k18060k180，kZ解(1) 根据任意角的定义，画出集合|30k36060k360，kZ对应的区域如图阴影部分(含边界)所示(2)根据任意角的定义，画出集合|30k18060k180，kZ对应的区域如图阴影部分(含边界)所示11(多选)角45k180(kZ)的终边落在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案AC解析当k2m1(mZ)时，2m180225m36022

15、5，故为第三象限角；当k2m(mZ)时，m36045，故为第一象限角故的终边落在第一或第三象限12终边与坐标轴重合的角的集合是()A|k360，kZB|90k180，kZC|k180，kZD|k90，kZ答案D解析终边在坐标轴上的角为90的整数倍，所以终边与坐标轴重合的角的集合为|k90，kZ13已知为锐角，则2为()A第一象限角 B第二象限角C第一或第二象限角 D小于180的正角答案D解析因为为锐角，所以090，则02180.14若为ABC的一个内角，且4与120的终边相同，则_.答案120或30解析4120k360，kZ，30k90，kZ，又0180，当k1时，120；当k0时，30.15

16、角与角的终边关于y轴对称，则与的关系为()Ak360，kZB180k360，kZC180k360，kZDk360，kZ答案B解析方法一(特值法)令30，150，则180.方法二(直接法)因为角与角的终边关于y轴对称，所以180k360，kZ，即180k360，kZ.16若是第二象限角，试分别确定2，的终边所在位置解是第二象限角，90k360180k360(kZ)1802k36023602k360(kZ)，2的终边位于第三或第四象限，或在y轴的非正半轴上方法一45k18090k180(kZ)，当k2n(nZ)时，45n36090n360(nZ)；当k2n1(nZ)时，225n360270n360

17、(nZ)，的终边位于第一或第三象限30k12060k120(kZ)，当k3n(nZ)时，30n36060n360(nZ)；当k3n1(nZ)时，150n360180n360(nZ)；当k3n2(nZ)时，270n360300n360(nZ)，的终边位于第一、第二或第四象限方法二将坐标系的每个象限二等分，得到8个区域自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上，如图所示是第二象限角，与角所在象限标号一致的区域，即为的终边所在的象限，的终边位于第一或第三象限将坐标系的每个象限三等分，得到12个区域自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上，如图所示是第二象限角，与角所在象限标号一致的区域，即为的终边所在

18、的象限，的终边位于第一、第二或第四象限51.2弧度制学习目标1.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的相互转化.2.掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式导语同学们，本节课题目中有弧度二字，大家想到了什么？我们是否想到足球射门的弧度、篮球投篮的弧度，我们认知的弧度是非常简单的形状，也正是因为有了弧度才完美，比如：海浪因弧度而活跃；嘴角因为有弧度而美丽；月有阴晴圆缺，正因有弧度而富有神韵而在我们数学中，正是因为弧度的引入，给数学学科带来了巨大的改变一、弧度制的概念问题1我们上节课所学习的角度制能否与实数建立一一对应的关系？提示不能，比如30211，这种表示不能与实数建立一一对应的关系，也不利于三角函数

19、的求值为了能把角和实数建立联系，经过几千年的发展、探究和讨论，人们在衡量角度上达成共识，形成了今天的弧度制知识梳理1弧度制我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角2弧度数的计算在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为 rad，那么.3一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.注意点：一定大小的圆心角所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关例1下列各命题中，真命题是()A1弧度就是1的圆心角所对的弧B1弧度是长度等于半径的弧C1弧度是1的弧与1的角之和D1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小答案D解析根据弧度制和角度制的规定可知

20、A，B，C均错误，D正确反思感悟(1)圆心角与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的；(2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系跟踪训练1下列说法正确的是()A1弧度的圆心角所对的弧长等于半径B大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大C所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等D用弧度表示的角都是正角答案A解析对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以是负角或零角，故D错误二、角度制与弧度制的相互转化

21、问题2根据公式|，你能得出圆周角的弧度数吗？提示因为半径为r的圆的周长为l2r，故圆周角的弧度数2，而圆周角的角度数是360，于是我们有了弧度与角度的换算关系知识梳理角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度3602 rad2 rad360180 rad rad1801 rad0.017 45 rad1 rad57.30度数弧度数弧度数度数注意点：(1)弧度单位rad可以省略(2)在同一个题目中，弧度与角度不能混用例2把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72；(2)300；(3)2；(4).解(1)7272.(2)300300.(3)22.(4)40.反思感悟角度与弧度的互化技巧在进行角度与弧度

22、的换算时，抓住关系式 rad180是关键，由它可以得到：度数弧度数，弧度数度数一般情况下，省略弧度单位rad.跟踪训练2已知15，1，105，试比较，的大小解1515，105105，1，.三、利用弧度表示角例3将1 125写成2k(kZ)的形式，其中02，并判断它是第几象限角？解1 1251 1258，其中2，所以是第四象限角，所以1 125是第四象限角延伸探究若在本例的条件下，在4，4范围内找出与终边相同的角的集合解依题意得，与终边相同的角为2k，kZ，由42k4，kZ，知k2，1,0,1，所以所求角的集合为.反思感悟用弧度制表示终边相同的角的两个关注点(1)用弧度制表示终边相同的角2k(k

23、Z)时，其中2k是的偶数倍，而不是整数倍(2)注意角度制与弧度制不能混用跟踪训练3(1)用弧度制表示与150角终边相同的角的集合为()A.B.C.D.答案D解析150150，故与150角终边相同的角的集合为.(2)终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合为(用弧度制表示)_ _答案解析结合图象，设终边落在阴影部分(包括边界)的角是，满足条件的角的集合是.四、弧度制下的扇形的弧长与面积公式问题3我们初中所学扇形的弧长和面积公式是什么？提示初中我们已学习过，圆心角为n的扇形的弧长公式和面积公式分别为l，S，由弧度与角度的换算关系，我们可以知道.知识梳理设扇形的半径为R，弧长为l，(02)为其圆心

24、角，则(1)弧长公式：lR.(2)扇形的面积公式：SlRR2.例4已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数解设扇形圆心角的弧度数为(02 rad，舍去当R4时，l2，此时，(rad)综上可知，扇形圆心角的弧度数为 rad.延伸探究已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？解设扇形圆心角的弧度数为(02)，弧长为l，半径为r，面积为S，则l2r4，所以l42r，所以Slr(42r)rr22r(r1)21，所以当r1时，S最大，且Smax1，因此，2(rad)反思感悟扇形的弧长和面积的求解策略(1)记公式：面积公式：SlRR2，弧长公

25、式：lR(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，是扇形圆心角的弧度数，02)(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求解跟踪训练4已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60，求扇形的弧长和面积解已知扇形的圆心角60，半径r10 cm，则弧长lr10(cm)，面积Slr10(cm2)1知识清单：(1)弧度制的概念(2)弧度制与角度制的相互转化(3)掌握特殊角的度数与弧度数的对应关系(4)扇形的弧长与面积的计算2方法归纳：由特殊到一般、数学运算3常见误区：弧度与角度混用1(多选)

26、下列说法中，正确的是()A半圆所对的圆心角是 radB周角的大小等于2C1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度答案ABC解析根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误2若2 rad，则的终边在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案C3时针经过一小时，转过了()A. rad B rad C. rad D rad答案B解析时针经过一小时，转过30，30 rad.4周长为9，圆心角为1 rad的扇形的面积为_答案解析设扇形的半径为r，弧长为l，由题意可知所以所以Slr.1下列命题中，假命题是()A“度”与“弧度”是度量角的两种

27、不同的度量单位B1的角是周角的，1 rad的角是周角的C1 rad的角比1的角要大D用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关答案D解析根据1度、1弧度的定义可知只有D为假命题2角的终边所在的象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案A解析2，是第一象限角，故是第一象限角3集合中角所表示的范围(阴影部分)是()答案C解析当k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线yx的左上部分(包含边界)；当k为奇数时，集合对应的区域为第三象限内直线yx的右下部分(包含边界)4将1 485化成2k(02，kZ)的形式是()A8 B.8C.10 D.10答案D解析1 4855360315，化为2k

28、(02，kZ)的形式为10.5在单位圆中，200的圆心角所对的弧长为()A. B. C9 D10答案B解析lR2001.6(多选)下列表示中正确的是()A终边在x轴上的角的集合是|k，kZB终边在第二象限的角的集合为C终边在坐标轴上的角的集合是D终边在直线yx上的角的集合是答案ABC解析A，B显然正确；对于C，终边在x轴上的角的集合为|k，kZ，终边在y轴上的角的集合为，其并集为，故C正确；对于D，终边在yx上的角的集合为或，其并集为，故D不正确7.如图，扇形AOB的面积是1，它的弧长是2，则扇形的圆心角的弧度数为_答案2解析SlR1，又l2，R1，2.8亲爱的考生，本场考试需要2个小时，则在

29、本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为_答案解析由题意知2，因为是顺时针，故钟表的时针转过的弧度数为.9已知角1 200.(1)将改写成2k(kZ,02)的形式，并指出是第几象限角；(2)在区间4，0上找出与角终边相同的角解(1)因为1 2001 20032，所以角与的终边相同，又0)，求扇形的最大面积及此时的值；(2)若扇形的面积是定值S(S0)，求扇形的最小周长及此时的值解(1)由题意，可得2rrC，即rC2r，则扇形面积Sr2(C2r)rr2Cr2C2，故当rC时，S取得最大值C2，此时22.(2)由题意，可得Sr2，即r，则扇形周长C2rr2r4，当且仅当2r，即r时取等号，故当r时，C

30、取得最小值4，此时2.5.2.1三角函数的概念学习目标1.借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数的定义.2.掌握利用诱导公式一求给定角的三角函数值并能确定函数值的符号导语游乐园是人们常去的地方，各种神奇的游乐器械吸引着人们去玩耍，尤其是那高大的摩天轮，带着人们在空中旋转，既好玩又刺激，我们假设一摩天轮的中心离地面h米，它的半径为r米，按逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，我们建立如图所示的直角坐标系，假设你现在的位置在A处，经过30秒，你离地面有多高？经过210秒呢？经过570秒呢？带着这些问题，开始我们今天的新课一、三角函数的概念问题1初中我们学习过锐角的三角函数，正弦、余弦和正切，这三

31、个三角函数分别是怎样定义的？提示在初中，我们是在直角三角形中定义的，正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边问题2之前学习了任意角，我们也把任意角放到了平面直角坐标系中，那么角的终边和单位圆是否有交点？交点唯一吗？提示有交点，交点唯一知识梳理任意角的三角函数的定义条件如图，设是一个任意角，R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)定义正弦把点P的纵坐标y叫做的正弦函数，记作sin ，即ysin 余弦把点P的横坐标x叫做的余弦函数，记作cos ，即xcos 正切把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作tan ，即tan (x0)三角函数将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函

32、数，通常将它们记为：正弦函数ysin x，xR余弦函数ycos x，xR正切函数ytan x，xk，kZ注意点：(1)三角函数值是比值，是一个实数(2)三角函数值的大小只与角的大小有关(3)推广：已知终边上任意一点可求三角函数值的大小，若已知角终边上一点P(x，y)不是单位圆上一点，则先求r，再求sin ，cos ，tan (x0)例1(教材178页例1改编)求的正弦、余弦和正切值解在直角坐标系中，作AOB(如图)易知AOB的终边与单位圆的交点坐标为，所以sin ，cos ，tan .反思感悟利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况(1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交

33、点坐标，即可求出各三角函数值(2)若已知角终边上一点P(x，y)(x0)是单位圆上一点，则sin y，cos x，tan .(3)若已知角终边上一点P(x，y)(x0)不是单位圆上一点，则先求r，再求sin ，cos ，tan .(4)若已知角终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论跟踪训练1(1)(多选)若角的终边经过点P(x，3)且sin ，则x的值为()A B1 C1 D.答案BC解析|OP|，sin ，解得x21，x1.(2)在(1)中，将“sin ”改为“cos ”，求x的值解|OP|，cos ，解得x21，又x0，x1.二、正弦、余弦、正切函数值在各个象限内的符号问题3根据三角函数的定义，大家猜测一下三角函数值在各个象限内的符号提示三角函数值的符号是根据三角函数的定义和各象限内的坐标符号导出的根据三角函数的定义可知，正弦的符号取决于纵坐标y的符号，余弦的符号取决于横坐标x的符号，正切的符号是由纵坐标y和横坐标x共同决定的，同号