2019年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题（含答案）.pdf

1、 2019 年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题参考答案 第1页（共 4 页） 13 3 3 386 22+32 2 6 2019 年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题参考答案年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题参考答案 一一 、填空题（本大题共、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 80 分分.） 1 ； 2 ； 3 ； 4 ； 5 ； 6 ； 7 ； 8 . 二、 解答题（本大题共解答题（本大题共 4 小题，共小题，共 70 分分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 9.（本小题满分 15 分）已知函数 11 ( )(

2、)lnf xaxx ax =+. （1）设1a ，讨论( )f x在区间(0,1)上的单调性； （2）设0a ，求( )f x的极值. 解： （1） 22 1 ()() 1 11 ( )()1 xa x a fxa a xxx =+ = . 由1a 可知 1 01a a ，所以( )f x的减区间是 1 (0, a ，增区间是 1 ,1) a . 5 分 （2） 2 1 ()() ( ) xa x a fx x = ，0x. 当1a 时，( )f x的减区间是 1 (0, a 和 ,)a +，增区间是 1 , a a . ( )f x的极小值为 111 ( )()lnfaaa aaa = +，

3、极大值为 11 ( )()lnf aaaa aa =+. 当1a =时， 2 2 (1) ( )0 x fx x = ，( )f x无极值. 10 分 当01a时，( )f x的减区间是(0, a和 1 ,) a +，增区间是 1 ,a a . ( )f x的极小值为 11 ( )()lnf aaaa aa =+，极大值为 111 ( )()lnfaaa aaa = +. 15 分 要进“5000G网课视频共享群”的到自助QQ：763491846的空间日志里查看（空间里有全部学科的资料群） 2019 年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题参考答案 第2页（共 4 页） 10.（本小题满分 15 分

4、）设 1 1a =， 1 2 2 1 1 (2) n n k ann k = = . 求证： （1） 2 2 1 1 (2) (1) n n an n an + + = + ； （2） 12 111 (1)(1)(1)4 (1) n n aaa +. 证明： （1）由已知可得 2 1 2 2 22 1 2 2 1 2 1 1 1 1 (1) (1) n k n n n k n n an kn an n k = + = + + = + + . 5 分 （2）由已知条件有 1 1a =， 2 4a =. 当1n =时， 1 1 124 a +=，不等式成立. 10 分 当2n时，由（1）的结论可得

5、 123 1111 (1)(1)(1)(1) n aaaa + 312 123 1111 n n aaaa aaaa + = 312 1 12341 1111 () n n n aaaa a a aaaa + + + = 222 1 222 123 234(1) n n a n + = + 1 2 2 (1) n a n + = + 222 111 2(1) 23n =+ 111 21 1 22 3(1)nn + 11111 21 (1)()() 2231nn =+ 1 2(2)4 n = 综上所述，不等式成立. 15 分 要进“5000G网课视频共享群”的到自助QQ：763491846的空间

6、日志里查看（空间里有全部学科的资料群） 2019 年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题参考答案 第3页（共 4 页） E M H D B C A x y l y = x+1 l1 M A O N 11.（本小题满分 20 分）如图所示，AD、AH分别是ABC （其中ABAC）的角平分线、高线，点M是AD的中点， MDH的外接圆交CM于点E. 求证：90AEB. 证明：连结HE 由M是AHDRt斜边AD的中点可知MAMHMD=，MDHMHD= . 由,M D H E四点共圆可得HECMDHMHD=. 5 分 从而180180MHCMHDHECMEH= . 又由CMHHME=可知CMHHME. 故

7、MHME MCMH =，从而 MAME MCMA =. 10 分 又因为CMAAME=，所以CMAAME. 故MCAMAE=. 由AD是角平分线，可得BAEBAMMAEMACMCADME=+=+=. 15 分 则有180BHEBAEDHEDME+= +=，从而, ,A B H E四点共圆. 所以90AEBAHB= =. 命题得证. 20 分 12.（本小题满分 20 分）设0k且 1k，直线:1l ykx与 11 :1lyk x关于直线1yx对称， 直线l与 1 l分别交椭圆 2 2 :1 4 x Ey于点A、M和A、N. （1）求 1 k k的值； （2）求证：对任意的k，直线MN恒过定点.

8、 （1）解：直线l与 1 l的交点为(0,1)A. 设点( , )P x y是直线l上异于点(0,1)A的任意一点，点 000 (,)P xy是点P关于直线1yx的对称点. 由 00 1 22 yyxx 得 00 2yxxy. 由 0 0 1 yy xx 得 00 yxyx. 联合解得 0 0 1 1 xy yx . 5 分 要进“5000G网课视频共享群”的到自助QQ：763491846的空间日志里查看（空间里有全部学科的资料群） 2019 年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题参考答案 第4页（共 4 页） 代入直线:1l ykx可得 00 (1)xk y. 又由点 000 (,)P xy在直

9、线 11 :1lyk x上，有 01 0 1yk x，则 01 0 1yk x. 所以有 01 0 xkk x，从而由 0 0x 可得 1 1kk. 10 分 （2）设点M、N的坐标分别为 11 ( ,)x y与 22 (,)xy. 由 11 2 2 1 1 1 1 4 ykx x y 可得 22 11 (41)80kxkx. 所以有 1 2 8 41 k x k ， 2 1 2 1 4 41 k y k . 同理求得 1 2 2 1 8 41 k x k ， 2 1 2 2 1 1 4 41 k y k . 15 分 由 1 1kk可得 2 2 8 4 k x k ， 2 2 2 4 4 k y k . 则直线MN的斜率为 22 42 22 12 2 12 22 1 44 8 81 414 88 8 (33)3 414 MN kk yykk kk k kk xxkkk kk . 所以直线MN的方程为 22 22 1 418 () 41341 kkk yx kkk ，化简得 2 15 33 k yx k . 因此，对任意的k，直线MN恒过定点 5 (0,) 3 . 20 分 要进“5000G网课视频共享群”的到自助QQ：763491846的空间日志里查看（空间里有全部学科的资料群）