1、2019 年“中南传媒湖南新教材杯”重庆市高中数学竞赛 暨全国高中数学联赛(重庆赛区)预赛试题参考答案 2019 年“中南传媒湖南新教材杯”重庆市高中数学竞赛 暨全国高中数学联赛(重庆赛区)预赛试题参考答案 一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1.设A为三元集合(三个不同实数组成的集合) ,集合| ,Bxy x yA xy=+,若 222 log 6, log 10, log 15B =,则集合A =_. 答案: 22 1, log 3, log 5 提示:设 222 log, log, logAabc=,其中0.abc , 4 ( ( )3
2、f f x x +=, 则(8)f= . 答案: 7 2 提示: 由题意存在 0 0x 使 0 ()3f x=。 又因( )f x是(0,)+上的单调函数, 这样的 0 0x 是唯一的,再由0 0 4 ( ()3f f x x += 得 00 00 44 ()3xf x xx =+=+ 解得 0 4x =或 0 1x = (舍)。所以 4 ( )4f x x =, 47 (8)4 82 f=。 8.已知 为椭圆 2 9 + 2 4 = 1的内接三角形,且过点(1,0),则 的面积的最大 值为_. 答案: 162 3 提示:经伸缩变换 = 3 = 2得 内接于圆2 + 2= 1,过点(1 3,0
3、), = 6,设距的距离为,则0 1 3,| | = 21 2, 1 2 (1 + ),易知当 = 1 3 时, 有最大值为82 9 ,的最大值为 162 3 . 二、解答题(第 9 题 16 分,第 10、11 题各 20 分) 二、解答题(第 9 题 16 分,第 10、11 题各 20 分) 9.已知过点(3,0)斜率为的直线交双曲线: 2 2 3 = 1右支于、两点, 为双曲线的 右焦点,且| + | = 16,求的值. 解:设(1,1),(2,2),则直线 l: = ( 3).离心率 = 2。4 分 联立 = ( 3) 2 2 3 = 1 得(2 3)2 62 + 92+ 3 = 0
4、 1+ 2= 62 23.8 分 16 = | + | = (21 1) + (22 1) = 2 62 23 2 .12 分 = 3. 16 分。 10.数列满足1= 3,2= 6,+2= +1 2 +9 ( +). (1)证明:数列是正整数数列; (2)是否存在 +,使得2109 ,并说明理由. 证明: (1)已知 3= 15,+2= +1 2 + 9 +1+3= +2 2 + 9 相减得 +3+1 +2 = +2+ +1 +2+ +1 为常数数列。 5 分 +2+ +1 = 3+1 2 =3 +2= 3+1 ,又1,2 ( +) 又 0, +( +) . 10 分 (2)2109 = 3
5、 19 37,假设有2109 ,则19 。. 15 分 法一:由 1= 3,2= 6,+2= 3+1 得 3,6,15,1,7,1,15,6,3,3,6,(mod 19) 19 ( +) 19 法二:+2= +1 2 + 9 +1 2 9(mod 19) 由费马小定理得 1 1(mod 19),矛盾. 所以不存在 +,使得2109 ,得证. 20 分 11.已知 , 0,2019+ = 1,求证 + 2019 1 1 300. 注:可直接应用以下结论 (1)ln 1( 0); (2)ln2019 7.610。 证明:设 = 2019,() = + , 0,则 () = + (1 ),0 1.
6、只要证 ()min 1 1 300,因为 (0) = (1) = 1 1 1 300, 所以只要证明:对满足 () = 0的,有 () 1 1 300。. 5 分 令 () = 1 21(1 )1= 0 得 = 2 1, 此时 () = + = + ( + 1) +1 = ( + 1) 1 2 1 +1 = +1 1 1,. 10 分 () 1 1 300 +1 1 1 1 1 300 1 1 1 1 300 +1 ln2019 2018 ln1 1 300 +ln1 1 2020 . 15 分 ln 1 2018 ln1 1 300 +ln1 1 2020 2018 1 300 1 2020 7.7 ln2019 7.61,不等式成立,得证. 20 分