（2020年高考专用）第一章集合与常用逻辑用语 第3节.doc

1、第第 3 节节 全称量词与存在量词、逻辑联结词全称量词与存在量词、逻辑联结词 “且且”“”“或或”“”“非非” 最新考纲 1.了解逻辑联结词“且”、“或”、 “非”的含义；2.理解全称量词 与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 知 识 梳 理 1.简单的逻辑联结词 (1)命题中的且、或、非叫作逻辑联结词. (2)命题 p 且 q，p 或 q，綈 p 的真假判断 P q p 且 q p 或 q 綈 p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 2.全称量词与存在量词 (1)常见的全称量词有： “任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所

2、有的”等. (2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某 个”“有的”等. 3.全称命题与特称命题 (1)含有全称量词的命题叫全称命题. (2)含有存在量词的命题叫特称命题. 4.含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 任意 xM，p(x) 存在 x0M，綈 p(x0) 存在 x0M，p(x0) 任意 xM，綈 p(x) 微点提醒 1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p 或 q见真即真，p 且 q见假即假，p 与綈 p真假相反. 2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”. 3.“p 或 q”的否定是“(綈 p)且(綈 q)”，“p 且 q”的否定是

3、“(綈 p)或(綈 q)”. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)命题“56 或 52”是假命题.( ) (2)命题綈(p 且 q)是假命题，则命题 p，q 中至少有一个是真命题.( ) (3)“长方形的对角线相等”是特称命题.( ) (4)存在 x0M，p(x0)与任意 xM，綈 p(x)的真假性相反.( ) 解析 (1)错误.命题 p 或 q 中，p，q 有一真则真. (2)错误.p 且 q 是真命题，则 p，q 都是真命题. (3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(选修 21P15 练习(2)改编)命

4、题“任意 xR，x2x0”的否定是( ) A.存在 x0R，x20x00 B.存在 x0R，x20x00，所以存在 x0R，使 x 2 0x010 成立，故 p 为真命题，綈 p 为假命题.又易知命题 q 为假命题，所以綈 q 为真命题，所以 p 且 (綈 q)为真命题. 答案 (1)A (2)B 规律方法 1.“p 或 q”、 “p 且 q”、 “綈 p”形式命题真假的判断关键是对逻辑 联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；(2) 判断其中命题 p， q 的真假； (3)确定“p 或 q”“p 且 q”“綈 p”形式命题的真假. 2.p 且 q 形式是“一假

5、必假， 全真才真”， p 或 q 形式是“一真必真， 全假才假”， 綈 p 则是“与 p 的真假相反”. 【训练 1】 (1)(2019 济南模拟)若命题“p 或 q”与命题“綈 p”都是真命题，则 ( ) A.命题 p 与命题 q 都是真命题 B.命题 p 与命题 q 都是假命题 C.命题 p 是真命题，命题 q 是假命题 D.命题 p 是假命题，命题 q 是真命题 (2)(2017 山东卷)已知命题 p：存在 xR，x2x10；命题 q：若 a2n0. 答案 D 角度 2 全称(特称)命题的真假判断 【例 22】 (1)(2019 江西师大附中月考)已知定义域为 R 的函数 f(x)不是偶

6、函数， 则下列命题一定为真命题的是( ) A.任意 xR，f(x)f(x) B.任意 xR，f(x)f(x) C.存在 x0R，f(x0)f(x0) D.存在 x0R，f(x0)f(x0) (2)(2018 昆明一中质检)已知命题 p：任意 xR，x1 x2；命题 q：存在 x0(0， )，x20x30，则下列命题中为真命题的是( ) A.(綈 p)且 q B.p 且(綈 q) C.(綈 p)且(綈 q) D.p 且 q 解析 (1)定义域为 R 的函数 f(x)不是偶函数，任意 xR，f(x)f(x)为假命 题，存在 x0R，f(x0)f(x0)为真命题. (2)对于 p：当 x1 时，x1

7、 x2，p 为假命题.取 x0(0，1)，此时 x 2 0x30， q 为真命题. 从而綈 p 为真命题，(綈 p)且 q 为真命题. 答案 (1)C (2)A 规律方法 1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称 命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写 为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论. 2.判定全称命题“任意 xM， p(x)”是真命题， 需要对集合 M 中的每一个元素 x， 证明 p(x)成立； 要判断特称命题是真命题， 只要在限定集合内至少找到一个 xx0， 使 p(x0)成立. 【训练 2】 (1)(20

8、19 河北“五个一”名校联考)命题“存在 x0R， 12 (2)已知命题 p：存在 x0(，0)，2x03x，所以命题 p 为假命题，从而綈 p 为真命题； 因为当 x 0， 2 时，xsin x，所以命题 q 为真命题，所以(綈 p)且 q 为真命题. 答案 (1)D (2)C 考点三 由命题的真假求参数的取值范围 【例 3】 (1)(2018 宝鸡调研)已知命题 p：任意 xR，log2(x2xa)0 恒成立， 命题 q：存在 x02，2，2a2x0，若命题 p 且 q 为真命题，则实数 a 的取值范 围为_. (2)已知 f(x)ln(x21)，g(x) 1 2 x m，若对任意 x10

9、，3，存在 x21，2， 使得 f(x1)g(x2)，则实数 m 的取值范围是_. 解析 (1)由题知，命题 p：任意 xR，log2(x2xa)0 恒成立，即 x2xa 10 恒成立，所以 14(a1)5 4；命题 q：存在 x02，2，使 得 2a2x0，则 a2.当 p 且 q 为真命题时，须满足 a5 4， a2， 故实数 a 的取值范围为 5 4，2 . (2)当 x0，3时，f(x)minf(0)0，当 x1，2时，g(x)ming(2)1 4m，对任 意 x10，3，存在 x21，2使得 f(x1)g(x2)等价于 f(x)ming(x)min，得 01 4 m，所以 m1 4.

10、 答案 (1) 5 4，2 (2) 1 4， 规律方法 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤： (1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围； (2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围. 2.全称命题可转化为恒成立问题. 含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决. 【训练 3】 本例(2)中，若将“存在 x21，2”改为“任意 x21，2”，其他 条件不变，则实数 m 的取值范围是_. 解析 当 x1，2时，g(x)maxg(1)1 2m，对任意 x10，3，任意 x21， 2使得 f(x1)g(x2)等价于 f(x)ming(x)max，得 01 2m

11、，m 1 2. 答案 1 2， 思维升华 1.把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”“且”“非”字 眼，要结合语句的含义理解. 2.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构 去写，并注意与否命题的区别；否定的规律是“改量词，否结论”. 易错防范 1.正确区别命题的否定与否命题 “否命题”是对原命题“若 p， 则 q”的条件和结论分别加以否定而得的命题， 它 既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“綈 p”，只是否定命题 p 的 结论.命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真. 2.几点注意： (1)注意命题是全称命题还是特称

12、命题，是正确写出命题的否定的前提； (2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进 行否定； (3)注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”. 逻辑推理、数学运算突破双变量“存在性或任意性”问题 逻辑推理的关键要素是： 逻辑的起点、 推理的形式、 结论的表达.解决双变量“存 在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为 两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻 辑推理素养和良好的数学思维品质. 类型 1 形如“对任意 x1A，都存在 x2B，使得 g(x2)f(x1)成立” 【例 1

13、】 已知函数 f(x)x3(1a)x2a(a2)x，g(x)19 6 x1 3，若对任意 x1 1，1，总存在 x20，2，使得 f(x1)2ax1g(x2)成立，求实数 a 的取值范围. 解 由题意知，g(x)在0，2上的值域为 1 3，6 . 令 h(x)f(x)2ax3x22xa(a2)，则 h(x)6x2，由 h(x)0 得 x1 3. 当 x 1，1 3 时，h(x)0，所以h(x)minh 1 3 a22a1 3. 又由题意可知，h(x)的值域是 1 3，6 的子集，所以 h（1）6， a22a1 3 1 3， h（1）6， 解得实数 a 的取值范围是2，0. 评析 理解全称量词与

14、存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略 是“等价转化”， 即“函数 f(x)的值域是 g(x)的值域的子集”从而利用包含关系构 建关于 a 的不等式组，求得参数的取值范围. 类型 2 形如“存在 x1A 及 x2B，使得 f(x1)g(x2)成立” 【例 2】 已知函数 f(x) 2x3 x1，x 1 2，1 ， 1 3x 1 6，x 0，1 2 ， 函数 g(x)ksinx 6 2k2(k0)， 若存在 x10，1及 x20，1，使得 f(x1)g(x2)成立，求实数 k 的取值范围. 解 由题意，易得函数 f(x)的值域为0，1，g(x)的值域为 22k，23k 2 ，并且 两

15、个值域有公共部分. 先求没有公共部分的情况，即 22k1 或 23 2k1，所以 0 1 3x11 2，且 a1， 实数 a 的取值范围是 1 2，1 (1，). 答案 D 二、填空题 9.若“任意 x 0， 4 ，tan xm”是真命题，则实数 m 的最小值为_. 解析 函数 ytan x 在 0， 4 上是增函数， ymaxtan 41， 依题意， mymax， 即 m1.m 的最小值为 1. 答案 1 10.已知命题 p： 1 x2x20，则綈 p 对应的集合为_. 解析 由 p： 1 x2x20， 得 p： x2 或 x0，则命题“p 且(綈 q)”是假命题； 已知直线 l1：ax3y

16、10，l2：xby10，则 l1l2的充要条件是a b3； 命题“若 x23x20， 则 x1”的逆否命题是“若 x1， 则 x23x20”. 其中正确结论的序号为_. 解析 中命题 p 为真命题，命题 q 为真命题， 所以 p 且(綈 q)为假命题，故正确； 当 ba0 时，有 l1l2，故不正确； 正确，所以正确结论的序号为. 答案 12.已知命题 p：存在 x0R，(m1)(x201)0，命题 q：任意 xR，x2mx10 恒成立.若 p 且 q 为假命题，则实数 m 的取值范围为_. 解析 由命题 p：存在 x0R，(m1)(x201)0 可得 m1；由命题 q：任意 x R，x2mx

17、10 恒成立，即 m240.若“綈 p”和“p 且 q”都是假命题，则实数 a 的取值范围是 ( ) A.(，2)(1，) B.(2，1 C.(1，2) D.(1，) 解析 方程 x2ax10 没有实根等价于 a240 等价于 a2x在(0，)上恒成立，即 a1. 因“綈 p”是假命题，则 p 是真命题，又因“p 且 q”是假命题，则 q 是假命题. 2a1， 解得 1a2. 答案 C 15.已知函数 f(x) 3 x，x0，当 m0 时，mx20， 所以命题 p 为假命题； 当 m1 9时，因为 f(1)3 11 3， 所以 ff(1)f 1 3 1 9 1 3 2 0， 所以命题 q 为真

18、命题， 逐项检验可知，只有(綈 p)且 q 为真命题. 答案 16.(2019 深圳质检)设 p：实数 x 满足 x24ax3a20，q：实数 x 满足|x3|0 且綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围. 解 (1)由 x24ax3a20 得(x3a)(xa)0， 当 a1 时，1x3，即 p 为真时，实数 x 的取值范围是(1，3). 由|x3|1 得1x31，解得 2x4， 即 q 为真时，实数 x 的取值范围是(2，4)， 若 p 且 q 为真，则 p 真且 q 真， 故实数 x 的取值范围是(2，3). (2)由 x24ax3a20 得(x3a)(xa)0，所以 ax3a. 若綈 p 是綈 q 的充分不必要条件， 则綈 p綈 q，且綈 q 綈 p，所以 qp，且 p q， 即 q 是 p 的充分不必要条件. 设 Ax|p，Bx|q，则 BA， 又 Ax|px|ax3a，Bx|qx|2x4， 所以 3a4 且 a2，解得4 3a2， 实数 a 的取值范围是 4 3，2 .