（2020年高考专用）第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ第6节.doc

1、第第 6 节节 对数与对数函数对数与对数函数 最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成 自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及 其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为 2，10，1 2的对数函数的 图像； 3.体会对数函数是一类重要的函数模型； 4.了解指数函数 yax(a0， 且 a1) 与对数函数 ylogax(a0，且 a1)互为反函数. 知 识 梳 理 1.对数的概念 一般地，如果 a(a0，a1)的 b 次幂等于 N，即 abN，那么数 b 叫作以 a 为底 N 的对数，记作 logaNb.其中 a 叫作对

2、数的底数，N 叫作真数. 2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：alogaNN；logaabb(a0，且 a1). (2)对数的运算法则 如果 a0 且 a1，M0，N0，那么 loga(MN)logaMlogaN； logaM NlogaMlogaN； logaMnnlogaM(nR)； logamMn n mlogaM(m，nR，且 m0). (3)换底公式：logbNlogaN logab(a，b 均大于零且不等于 1). 3.对数函数及其性质 (1)概念：函数 ylogax(a0，且 a1)叫作对数函数，其中 x 是自变量，函数的 定义域是(0，). (2)对数函数的图

3、像与性质 a1 00； 当 00，且 a1)与对数函数 ylogax(a0，且 a1)互为反函数，它 们的图像关于直线 yx 对称. 微点提醒 1.换底公式的两个重要结论 (1)logab 1 logba；(2)loga mbnn mlogab. 其中 a0，且 a1，b0，且 b1，m，nR. 2.在第一象限内，不同底的对数函数的图像从左到右底数逐渐增大. 3.对数函数 ylogax(a0，且 a1)的图像过定点(1，0)，且过点(a，1)， 1 a，1 ， 函数图像只在第一、四象限. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)log2x22log2x.( ) (2

4、)函数 ylog2(x1)是对数函数.( ) (3)函数 yln1x 1x与 yln(1x)ln(1x)的定义域相同.( ) (4)当 x1 时，若 logaxlogbx，则 abc B.acb C.cba D.cab 解析 0ab. 答案 D 3.(必修 1P94 例 4 改编)函数 ylog2 3（2x1）的定义域是_. 解析 由 log2 3(2x1)0，得 01，c1 B.a1，00，所以 0b1， 若 logablogba5 2， a bba， 则 a_， b_. 解析 (1)由题意知 lg 2lg(2x5)2lg(2x1)， 2(2x5)(2x1)2，(2x)290，2x3，xlo

5、g23. (2)设 logb at，则 t1，因为 t1 t 5 2， 所以 t2，则 ab2. 又 abba，所以 b2bbb 2， 即 2bb2，又 ab1，解得 b2，a4. 答案 (1)D (2)4 2 考点二 对数函数的图像及应用 【例 2】 (1)(2019 安康一模)若函数 f(x)axa x(a0 且 a1)在 R 上为减函数， 则函数 yloga(|x|1)的图像可以是( ) (2)当 x(1，2)时，不等式(x1)21. 在同一坐标系内作出 y(x1)2，x(1，2)及 ylogax 的图像. 若 ylogax 过点(2，1)，得 loga21，所以 a2. 根据题意，函数

6、 ylogax，x(1，2)的图像恒在 y(x1)2，x(1，2)的上方. 结合图像，a 的取值范围是(1，2. 答案 (1)D (2)C 规律方法 1.在识别函数图像时，要善于利用已知函数的性质、函数图像上的特 殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法 求解. 【训练 2】 (1)已知函数 f(x)loga(2xb1)(a0，a1)的图像如图所示，则 a， b 满足的关系是( ) A.0c B.bac C.cba D.cab (2)若 loga(a21)log2ea1， 所以 cab. 法二 lo

7、g1 2 1 3log23，如图，在同一坐标系中作出函数 ylog2x，yln x 的图像， 由图知 cab. (2)由题意得 a0 且 a1，故必有 a212a， 又 loga(a21)1 2.综上，a 1 2，1 . 答案 (1)D (2)C 角度 3 对数型函数性质的综合应用 【例 33】 已知函数 f(x)loga(3ax). (1)当 x0，2时，函数 f(x)恒有意义，求实数 a 的取值范围； (2)是否存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在区间1，2上为减函数，并且最大值为 1？如果存在，试求出 a 的值；如果不存在，请说明理由. 解 (1)a0 且 a1，设 t(x)3ax，

8、 则 t(x)3ax 为减函数， x0，2时，t(x)的最小值为 32a， 当 x0，2时，f(x)恒有意义， 即 x0，2时，3ax0 恒成立. 32a0.a0 且 a1，a 的取值范围是(0，1) 1，3 2 . (2)t(x)3ax，a0， 函数 t(x)为减函数. f(x)在区间1，2上为减函数，ylogat 为增函数， a1，x1，2时，t(x)最小值为 32a，f(x)最大值为 f(1)loga(3a)， 32a0， loga（3a）1，即 ab0，00，a1)在区间 1 2， 内恒有 f(x)0，则 f(x)的 单调递增区间为_. 解析 (1)由 yxc与 ycx的单调性知，C，

9、D 不正确； ylogcx 是减函数，得 logca0，所以 a1，所以函 数 ylogaM 为增函数， 又 M x3 4 2 9 16，因此 M 的单调递增区间为 3 4， . 又 x23 2x0，所以 x0 或 x1 且 b1 或 01 且 00的条件下应为logaM loga|M|(N+，且 为偶数). 3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注 意对数底数的取值范围. 基础巩固题组 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1.已知函数 f(x) 2 x，x4， f（x1），xc B.bac C.cba D.cab 解析 log1 3 1 5log31

10、5 1log 35，因为函数 ylog3x 在(0，)上为增函数，所 以 log35log3 7 2log331，因为函数 y 1 4 x 在(，)上为减函数，所以 1 4 1 3 ab. 答案 D 3.(2018 张家界三模)在同一直角坐标系中， 函数f(x)2ax， g(x)loga(x2)(a0， 且 a1)的图像大致为( ) 解析 由题意，知函数 f(x)2ax(a0，且 a1)为单调递减函数，当 01 时， 函数 f(x)2ax 的零点 x2 a0， 又 g(x)loga(x2)在(2，)上是增函数，排除 B，综上只有 A 满足. 答案 A 4.(2019 肇庆二模)已知 f(x)l

11、g(10x)lg(10x)，则( ) A.f(x)是奇函数，且在(0，10)上是增函数 B.f(x)是偶函数，且在(0，10)上是增函数 C.f(x)是奇函数，且在(0，10)上是减函数 D.f(x)是偶函数，且在(0，10)上是减函数 解析 由 10x0， 10x0，得 x(10，10)， 且 f(x)lg(100x2). f(x)是偶函数， 又 t100x2在(0，10)上单调递减，ylg t 在(0，)上单调递增，故函数 f(x) 在(0，10)上单调递减. 答案 D 5.已知函数 f(x)|ln x|，若 f(m)f(n)(mn0)，则 2 m1 2 n1( ) A.1 2 B.1 C

12、.2 D.4 解析 由 f(m)f(n)，mn0，可知 m1n0， ln mln n，则 mn1. 所以 2 m1 2 n1 2（mn）4 mnmn1 2（mn2） mn2 2. 答案 C 二、填空题 6.lg5 22lg 2 1 2 1 _. 解析 lg5 22lg 2 1 2 1 lg5 2lg 2 22 lg 5 24 2121. 答案 1 7.(2019 昆明诊断)设 f(x)lg 2 1xa 是奇函数，则使 f(x)0，a1)，且 f(1)2. (1)求 a 的值及 f(x)的定义域； (2)求 f(x)在区间 0，3 2 上的最大值. 解 (1)f(1)2，loga42(a0，a1

13、)，a2. 由 1x0， 3x0，得1x3， 函数 f(x)的定义域为(1，3). (2)f(x)log2(1x)log2(3x) log2(1x)(3x)log2(x1)24， 当 x0，1时，f(x)是增函数； 当 x 1，3 2 时，f(x)是减函数， 故函数 f(x)在 0，3 2 上的最大值是 f(1)log242. 10.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(0)0，当 x0 时，f(x)log1 2x. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)解不等式 f(x21)2. 解 (1)当 x0，则 f(x)log1 2(x). 因为函数 f(x)是偶函数，所以 f(x)

14、f(x)log1 2(x)， 所以函数 f(x)的解析式为 f(x) log 1 2x，x0， 0，x0， log1 2（x），x2 转化为 f(|x21|)f(4). 又因为函数 f(x)在(0，)上是减函数， 所以|x21|1. 所以 g(x)loga|x|1|， 当 x1 时， g(x)loga(x1)为增函数， 排除 B， D； 当 00， 2x3y. 又2x5z2lg t lg 2 5lg t lg 5 lg t（2lg 55lg 2） lg 2lg 5 lg t（lg 25lg 32） lg 2lg 5 ln m （x1）（7x）恒成立，求实数 m 的取值范 围. 解 (1)由x1

15、 x10，解得 x1， 函数 f(x)的定义域为(，1)(1，)， 当 x(，1)(1，)时， f(x)lnx1 x1ln x1 x1ln x1 x1 1 lnx1 x1f(x). f(x)lnx1 x1是奇函数. (2)由于 x2，6时，f(x)lnx1 x1ln m （x1）（7x）恒成立， x1 x1 m （x1）（7x）0 恒成立， x2，6，0m(x1)(7x)在 x2，6上恒成立. 令 g(x)(x1)(7x)(x3)216，x2，6， 由二次函数的性质可知，x2，3时函数 g(x)单调递增，x3，6时函数 g(x)单 调递减， 即 x2，6时，g(x)ming(6)7， 0m7. 故实数 m 的取值范围为(0，7).