1、第第 3 节节 平面向量的数量积及其应用平面向量的数量积及其应用 最新考纲 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 2.了解平面向量的数量积 与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算； 4.能运用数量积表示两个向量的夹角， 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系； 5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题； 6.会用向量方法解决简单的力学 问题与其他一些实际问题. 知 识 梳 理 1.平面向量数量积的有关概念 (1)向量的夹角 定义：已知两个非零向量 a 和 b，如图，作OA a，OB b，则AOB (0 180 )叫作 a 与 b 的夹角. 当 0 时，
2、a 与 b 共线同向. 当 180 时，a 与 b 共线反向. 当 90 时，a 与 b 互相垂直. (2)向量的数量积 定义：已知两个向量 a 与 b，它们的夹角为 ，则数量|a|b|cos_ 叫作 a 与 b 的 数量积(或内积)，记作 a b，即 a b|a|b|cos_，由定义可知零向量与任一向量的 数量积为 0，即 0 a0. (3)数量积的几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的射影 |b|cos_ 的乘积，或 b 的长度|b|与 a 在 b 方向上的射影|a|cos_ 的乘积. 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量 a(x1，y1)，b(
3、x2，y2)， 为向量 a，b 的夹角. (1)数量积：a b|a|b|cos x1x2y1y2. (2)模：|a| a a x21y21. (3)夹角：cos a b |a|b| x1x2y1y2 x21y21 x22y22. (4)两非零向量 ab 的充要条件：a b0x1x2y1y20. (5)|a b|a|b|(当且仅当 ab 时等号成立)|x1x2y1y2| x21y21 x22y22. 3.平面向量数量积的运算律 (1)a bb a(交换律). (2)a b(a b)a (b)(结合律). (3)(ab) ca cb c(分配律). 微点提醒 1.两个向量 a，b 的夹角为锐角a
4、b0 且 a，b 不共线；两个向量 a，b 的夹角为 钝角a bB，且 B 是ABC 一内角，则 B 4. 由余弦定理得(4 2)252c225c 3 5 ， 解得 c1，c7 舍去， 故向量BA 在BC方向上的投影为|BA|cos Bccos B1 2 2 2 2 . 规律方法 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路： (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式 成立等，得到三角函数的关系式，然后求解. (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形 式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域 等. 【训练
5、 3】 (2019 石家庄模拟)已知 A，B，C 分别为ABC 的三边 a，b，c 所对 的角，向量 m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，且 m nsin 2C. (1)求角 C 的大小； (2)若 sin A，sin C，sin B 成等差数列，且CA (ABAC)18，求边 c 的长. 解 (1)由已知得 m nsin Acos Bcos Asin Bsin(AB)， 因为 ABC， 所以 sin(AB)sin(C)sin C， 所以 m nsin C，又 m nsin 2C， 所以 sin 2Csin C，所以 cos C1 2. 又 0I3.I34，00， 所以 cos B 2 2 ，又 B(0，)，所以 B 4. (2)因为|BA BC| 6，所以|CA| 6， 即 b 6，根据余弦定理及基本不等式得 6a2c2 2ac2ac 2ac(2 2)ac(当且仅当 ac 时取等号)，即 ac3(2 2). 故ABC 的面积 S1 2acsin B 3（ 21） 2 ， 因此ABC 的面积的最大值为3 23 2 .
