（2020年高考专用）第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布第9节.doc

1、第第 9 节节 离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差 最新考纲 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、 方差的概念； 2.能计算简 单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题 知 识 梳 理 1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布列为 P(Xai)pi(i1，2，r). (1)均值 EXa1p1a2p2arpr，EX 刻画的是 X 取值的“中心位置”. (2)方差 DXE(XEX)2为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 与其均值 EX 的平均 偏离程度. 2.均值与方差的性质 (1)E(aXb)aE(X)b. (2)D(aXb)a2

2、D(X)(a，b 为常数). 3.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若 X 服从两点分布，则 E(X)p，D(X)p(1p). (2)若 XB(n，p)，则 E(X)np，D(X)np(1p). 微点提醒 1.若 x1，x2相互独立，则 E(x1 x2)E(x1) E(x2). 2.均值与方差的关系：D(X)E(X2)E2(X). 3.超几何分布的均值：若 X 服从参数为 N，M，n 的超几何分布，则 E(X)nM N . 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)期望值就是算术平均数，与概率无关.( ) (2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量.( )

3、 (3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或 标准差越小，则偏离变量平均程度越小.( ) (4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回 事.( ) 解析 均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离散 型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事，故(1)(4)均不正 确. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(选修 23P58 例 1 改编)已知 X 的分布列为 X 1 0 1 P 1 2 1 3 1 6 设 Y2X3，则 E(Y)的值为( ) A.7 3 B.4 C.1 D.1 解析 E(X)11

4、20 1 31 1 6 1 3， E(Y)E(2X3)2E(X)32 33 7 3. 答案 A 3.(选修 23P62A2 改编)若随机变量 X 满足 P(Xc)1，其中 c 为常数，则 D(X) 的值为_. 解析 P(Xc)1，E(X)c1c， D(X)(cc)210. 答案 0 4.(2018 浙江卷)设 0120)p30.1.因此得 Y 的分布列如下： Y 3 400 9 200 15 000 P 0.2 0.7 0.1 所以，E(Y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620. 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机 2 台. 思维升华 1.掌握下述均值

5、与方差有关性质，会给解题带来方便： (1)E(aXb)aE(X)b，E(XY)E(X)E(Y)， D(aXb)a2D(X)； (2)若 XB(n，p)，则 E(X)np，D(X)np(1p). 2.基本方法 (1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解； (2)已知随机变量 X 的均值、方差，求 X 的线性函数 YaXb 的均值、方差和标 准差，可直接用均值、方差的性质求解； (3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如二项分布)， 可直接利用它们的均值、 方差公式求解. 易错防范 1.在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式. 2.对于应用问题，必须对实际问题

6、进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设 出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、 方差. 基础巩固题组 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1.已知离散型随机变量 X 的分布列为 X 1 2 3 P 3 5 3 10 1 10 则 X 的数学期望 E(X)( ) A.3 2 B.2 C.5 2 D.3 解析 由数学期望公式可得 E(X)13 52 3 103 1 10 3 2. 答案 A 2.已知离散型随机变量 X 的概率分布列为 X 1 3 5 P 0.5 m 0.2 则其方差 D(X)( ) A.1 B.0.6 C.2.44 D.2.4 解析 由 0.5

7、m0.21 得 m0.3，E(X)10.530.350.22.4， D(X)(12.4)20.5(32.4)20.3(52.4)20.22.44. 答案 C 3.(2019 宁波期末)一个箱子中装有形状完全相同的 5 个白球和 n(nN+)个黑球.现 从中有放回的摸取 4 次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为 X，若 D(X) 1，则 E(X)( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 由题意，XB(4，p)，D(X)4p(1p)1， p1 2，E(X)4p4 1 22. 答案 B 4.签盒中有编号为 1，2，3，4，5，6 的六支签，从中任意取 3 支，设 X 为这 3 支 签的号码

8、之中最大的一个，则 X 的数学期望为( ) A.5 B.5.25 C.5.8 D.4.6 解析 由题意可知，X 可以为 3，4，5，6，P(X3) 1 C36 1 20，P(X4) C23 C36 3 20， P(X5)C 2 4 C36 3 10，P(X6) C25 C36 1 2.由数学期望的定义可求得 E(X)3 1 20 4 3 205 3 106 1 25.25. 答案 B 5.甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得 1 分，负者得 0 分，比赛进行到 有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为2 3，乙在每局 中获胜的概率为1 3，且各局胜负相互独立，则

9、比赛停止时已打局数 X 的期望 E(X) 为( ) A.241 81 B.266 81 C.274 81 D.670 243 解析 依题意，知 X 的所有可能值为 2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结 束时比赛停止的概率为 2 3 2 1 3 2 5 9. 若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛 结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有 P(X2)5 9， P(X4)4 9 5 9 20 81，P(X6) 4 9 2 16 81， 故 E(X)25 94 20 816 16 81 266 81 . 答案 B 二、填空题 6.已知随机变量 的分布列为 1 2 3

10、 P 0.5 x y 若 E()15 8 ，则 D()_. 解析 由分布列性质，得 xy0.5. 又 E()15 8 ，得 2x3y11 8 ，可得 x1 8， y3 8. D() 115 8 2 1 2 215 8 2 1 8 315 8 2 3 8 55 64. 答案 55 64 7.在一次随机试验中，事件 A 发生的概率为 p，事件 A 发生的次数为 ，则数学期 望 E()_，方差 D()的最大值为_. 解析 记事件 A 发生的次数 可能的值为 0，1. 0 1 P 1p p 数学期望 E()0(1p)1pp， 方差 D()(0p)2(1p)(1p)2pp(1p)1 4. 故数学期望 E

11、()p，方差 D()的最大值为1 4. 答案 p 1 4 8.一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字 0、两个面上标有数字 1、一 个面上标有数字 2.将这个小正方体抛掷 2 次，则向上的数之积 X 的数学期望是 _. 解析 随机变量 X 的取值为 0，1，2，4，则 P(X0)C 1 3C13C13C13C13C13 C16C16 3 4， P(X1)C 1 2C12 C16C16 1 9，P(X2) C12C11C11C12 C16C16 1 9，P(X4) C12C12 C16C16 1 36，因此 E(X) 4 9. 答案 4 9 三、解答题 9.(2019 淮北模拟)某班共 5

12、0 名同学，在一次数学考试中全班同学成绩全部在 90 分到 140 分之间.将成绩按如下方式分成五组：第一组：90，100)，第二组：100， 110)，第五组：130，140.按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所 示.将成绩大于或等于 100 分且小于 120 分记为“良好”，120 分以上记为“优 秀”，不超过 100 分记为“及格”. (1)求该班学生在这次数学考试中成绩“良好”的人数； (2)若从第一、五组中共随机取出两个成绩，记 X 为取得第一组成绩的个数，求 X 的分布列与数学期望. 解 (1)由频率分布直方图知，成绩在100，120)内的人数为 500.01610 500.0

13、381027， 该班学生在这次数学考试中成绩“良好”的人数为 27. (2)由频率分布直方图可知第一组有 0.00610503 个成绩，第五组有 0.00810504 个成绩，即第一、五组中共有 7 个成绩. 由题意，X 的可能取值为 0，1，2， P(X0)C 0 3C24 C27 2 7，P(X1) C13C14 C27 4 7， P(X2)C 2 3C04 C27 1 7， 则 X 的分布列为 X 0 1 2 P 2 7 4 7 1 7 E(X)02 71 4 72 1 7 6 7. 10.(2016 全国卷)某公司计划购买 2 台机器， 该种机器使用三年后即被淘汰.机器 有一易损零件，

14、在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元. 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元.现需决策在购买机器时应 同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换 的易损零件数，得下面柱状图： 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的 概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买 2 台机器的 同时购买的易损零件数. (1)求 X 的分布列； (2)若要求 P(Xn)0.5，确定 n 的最小值； (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据， 在 n19 与 n20 之

15、中选其一， 应选用哪个？ 解 (1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数 为 8，9，10，11 的概率分别为 0.2，0.4，0.2，0.2.可知 X 的所有可能取值为 16、 17、18、19、20、21、22， P(X16)0.20.20.04； P(X17)20.20.40.16； P(X18)20.20.20.40.40.24； P(X19)20.20.220.40.20.24； P(X20)20.20.40.20.20.2； P(X21)20.20.20.08； P(X22)0.20.20.04； 所以 X 的分布列为 X 16 17 18 19 20

16、21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 (2)由(1)知 P(X18)0.44，P(X19)0.68，故 n 的最小值为 19. (3)记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元). 当 n 19 时 ， E(Y) 192000.68 (19200 500)0.2 (19200 2500)0.08(192003500)0.044 040. 当 n20 时， E(Y)202000.88(20200500)0.08(202002500)0.044 080. 可知当 n19 时所需费用的期望值小于 n20 时所需费用的期望值， 故应选 n

17、19. 能力提升题组 (建议用时：20 分钟) 11.从装有除颜色外完全相同的 3 个白球和 m 个黑球的布袋中随机摸取一球， 有放 回地摸取 5 次，设摸得白球个数为 X，已知 E(X)3，则 D(X)( ) A.8 5 B.6 5 C.4 5 D.2 5 解析 由题意，XB 5， 3 m3 ， 又 E(X) 53 m33，m2， 则 XB 5，3 5 ，故 D(X)53 5 13 5 6 5. 答案 B 12.某篮球队对队员进行考核，规则是：每人进 3 个轮次的投篮；每个轮次每 人投篮 2 次，若至少投中 1 次，则本轮通过，否则不通过.已知队员甲投篮 1 次投 中的概率为2 3，如果甲各

18、次投篮投中与否互不影响，那么甲 3 个轮次通过的次数 X 的期望是( ) A.3 B.8 3 C.2 D.5 3 解析 在一轮投篮中，甲通过的概率为 p8 9，通不过的概率为 1 9. 由题意可知，甲 3 个轮次通过的次数 X 的取值分别为 0，1，2，3， 则 P(X0) 1 9 3 1 729； P(X1)C138 9 1 9 2 24 729； P(X2)C23 8 9 2 1 9 192 729； P(X3)512 729. 随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 1 729 24 729 192 729 512 729 数学期望 E(X)0 1 7291 24 7292

19、192 7293 512 729 8 3，或由二项分布的期望公 式可得 E(X)8 3. 答案 B 13.某商场在儿童节举行回馈顾客活动， 凡在商场消费满 100 元者即可参加射击赢 玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击 3 次，一旦击中，则可获奖且不再继 续射击， 否则一直射击到 3 次为止.设甲每次击中的概率为 p(p0)， 射击次数为 Y， 若 Y 的数学期望 E(Y)7 4，则 p 的取值范围是_. 解析 由已知得 P(Y1)p，P(Y2)(1p)p， P(Y3)(1p)2， 则 E(Y)p2(1p)p3(1p)2p23p37 4， 解得 p5 2或 p3.841. 有 95%的把握认为“课外体育达标”与性别有关. (2)由题意采用分层抽样在“课外体育达标”的学生中抽取 2 人，在“课外体育不 达标”的学生中抽取 6 人，由题意知： 的所有可能取值为 1，2，3， P(1)C 1 6C22 C38 6 56 3 28； P(2)C 2 6C12 C38 30 56 15 28； P(3)C 3 6 C38 20 56 5 14； 故 的分布列为 1 2 3 P 3 28 15 28 5 14 故 的数学期望为 E()1 3 282 15 283 5 14 9 4.