(2020年高考必考考点)必修1 第四章曲线运动 万有引力与航天 专题突破.doc

1、专题突破专题突破 天体运动中的天体运动中的“三大难点三大难点” 突破一 近地卫星、同步卫星及赤道上物体的运行问题 如图 1 所示，a 为近地卫星，半径为 r1；b 为地球同步卫星，半径为 r2；c 为赤 道上随地球自转的物体，半径为 r3。 图 1 近地卫星 (r1、1、v1、a1) 同步卫星 (r2、2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物 体 (r3、3、v3、a3) 向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力 轨道半径 r2r3r1 角速度 由GMm r2 m2r 得 GM r3 ，故 12 同步卫星的角速度与地 球自转角速度相同，故 23 123 线速度 由GMm r2 mv 2 r

2、 得 v GM r ，故 v1v2 由 vr 得 v2v3 v1v2v3 向心加 速度 由GMm r2 ma 得 aGM r2 ，故 a1a2 由 a2r 得 a2a3 a1a2a3 【例 1】 (2018 青海西宁三校联考)如图 2 所示，a 为放在赤道上相对地球静止 的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b 为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人 造卫星(轨道半径约等于地球半径)，c 为地球的同步卫星。下列关于 a、b、c 的 说法中正确的是( ) 图 2 Ab 卫星转动线速度大于 7.9 km/s Ba、b、c 做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为 aaabac Ca、b、c 做匀速圆周运动的周

3、期关系为 TcTbTa D在 b、c 中，b 的速度大 解析 b 为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，根据万有引力定律有 GMm R2 mv 2 R，解得 v GM R ，代入数据得 v7.9 km/s，故 A 错误；地球赤道上 的物体与同步卫星具有相同的角速度，所以 ac，根据 ar2知，c 的向心 加速度大于 a 的向心加速度，根据 aGM r2 得 b 的向心加速度大于 c 的向心加速 度， 即 abacaa， 故 B 错误； 卫星 c 为同步卫星， 所以 TaTc， 根据 T2 r3 GM 得 c 的周期大于 b 的周期， 即 TaTcTb， 故 C 错误； 在 b、 c 中，

4、根据 v GM r ， 可知 b 的速度比 c 的速度大，故 D 正确。 答案 D 12018 年 7 月 10 日 4 时 58 分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号甲运载火 箭，成功发射了第三十二颗北斗导航卫星。该卫星属倾斜地球同步轨道卫星，卫 星入轨并完成在轨测试后，将接入北斗卫星导航系统，为用户提供更可靠服务。 通过百度查询知道， 倾斜地球同步轨道卫星是运转轨道面与地球赤道面有夹角的 轨道卫星，它的运转周期也是 24 小时，如图 3 所示，关于该北斗导航卫星说法 正确的是( ) 图 3 A该卫星可定位在北京的正上空 B该卫星与地球静止轨道卫星的向心加速度大小是不等的 C该卫星的发射速度

5、 v7.9 km/s D该卫星的角速度与放在北京地面上物体随地球自转的角速度大小相等 解析 根据题意，该卫星是倾斜轨道，故不可能定位在北京的正上空，选项 A 错误；由于该卫星的运转周期也是 24 小时，与地球静止轨道卫星的周期相同， 故轨道半径、向心加速度均相同，故选项 B 错误；第一宇宙速度 7.9 km/s 是最 小的发射速度，故选项 C 错误；根据 2 T 可知，该卫星的角速度与放在北京 地面上物体随地球自转的角速度大小相等，故选项 D 正确。 答案 D 2(2019 名师原创预测)我国首颗极地观测小卫星是我国高校首次面向全球变化 研究、 特别是极地气候与环境监测需求所研制的遥感科学实验

6、小卫星。假如该卫 星飞过两极上空， 其轨道平面与赤道平面垂直， 已知该卫星从北纬 15 的正上方， 按图示方向第一次运行到南纬 15 的正上方时所用时间为 1 h，则下列说法正确 的是( ) 图 4 A该卫星与同步卫星的轨道半径之比为 14 B该卫星的运行速度一定大于第一宇宙速度 C该卫星与同步卫星的加速度之比为3161 D该卫星在轨道上运行的机械能一定小于同步卫星在轨道上运行的机械能 解析 该卫星从北纬 15 运行到南纬 15 时，转动的角度为 30 ，则可知卫星的周 期为 12 小时，而同步卫星的周期为 24 小时，设卫星和同步卫星的轨道半径分别 为 r1、r2，根据开普勒第三定律有r 3

7、 1 T21 r32 T22，可得 r1 r2 3 1 4，故 A 错误；第一宇宙 速度是最大环绕速度，所以该卫星的运行速度不大于第一宇宙速度，故 B 错误； 根据 a(2 T )2r，知a1 a2 r1 r2 T22 T21 3 16，故 C 正确；由于不知道该卫星与同步卫星的 质量关系，所以无法判断机械能的大小，D 错误。 答案 C 突破二 卫星(航天器)的变轨及对接问题 考向 卫星的变轨、对接问题 1卫星发射及变轨过程概述 人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图 5 所示。 图 5 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道 上。 (2)在 A 点点火加

8、速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心 运动进入椭圆轨道。 (3)在 B 点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道。 2对接 航天飞船与宇宙空间站的“对接”实际上就是两个做匀速圆周运动的物体追赶 问题，本质仍然是卫星的变轨运行问题。 【例 2】 我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞 船与“天宫二号”对接。 假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速 圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( ) 图 6 A使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现 对接 B使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速

9、等待飞船实现 对接 C飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验 室，两者速度接近时实现对接 D飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验 室，两者速度接近时实现对接 解析 若使飞船与空间站在同一轨道上运行，然后飞船加速，所需向心力变大， 则飞船将脱离原轨道而进入更高的轨道，不能实现对接，选项 A 错误；若使飞 船与空间站在同一轨道上运行，然后空间站减速，所需向心力变小，则空间站将 脱离原轨道而进入更低的轨道，不能实现对接，选项 B 错误；要想实现对接， 可使飞船在比空间实验室半径较小的轨道上加速， 然后飞船将进入较高的空间实 验室轨道，逐渐靠近

10、空间实验室后，两者速度接近时实现对接，选项 C 正确； 若飞船在比空间实验室半径较小的轨道上减速，则飞船将进入更低的轨道，不能 实现对接，选项 D 错误。 答案 C 考向 变轨前、后各物理量的比较 1航天器变轨问题的三点注意事项 (1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳 定在新圆轨道上的运行速度由 v GM r 判断。 (2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。 (3)航天器经过不同轨道的相交点时，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的 速度。 2卫星变轨的实质 两类变轨 离心运动 近心运动 变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小

11、受力分析 GMm r2 mv 2 r 变轨结果 变为椭圆轨道运动或在较大半径 圆轨道上运动 变为椭圆轨道运动或在较小半径 圆轨道上运动 【例 3】 中国在西昌卫星发射中心成功发射“亚太九号”通信卫星，该卫星运 行的轨道示意图如图 7 所示，卫星先沿椭圆轨道 1 运行，近地点为 Q，远地点为 P。当卫星经过 P 点时点火加速，使卫星由椭圆轨道 1 转移到地球同步轨道 2 上 运行，下列说法正确的是( ) 图 7 A卫星在轨道 1 和轨道 2 上运动时的机械能相等 B卫星在轨道 1 上运行经过 P 点的速度大于经过 Q 点的速度 C卫星在轨道 2 上时处于超重状态 D 卫星在轨道 1 上运行经过

12、P 点的加速度等于在轨道 2 上运行经过 P 点的加速 度 解析 卫星在两轨道上运动的机械能不相等，A 项错误；在轨道上运行经过 P 点的速度应小于近地点 Q 的速度，万有引力做正功使动能增加，B 项错误；卫 星在轨道上应处于失重状态，C 项错误；由万有引力提供向心力可知：GMm r2 ma，aGM r2 ，在同一点 P 加速度相等，D 项正确。 答案 D 1如图 8，宇宙飞船 A 在低轨道上飞行，为了给更高轨道的宇宙空间站 B 输送 物质，需要与 B 对接，它可以采用喷气的方法改变速度，从而达到改变轨道的 目的，则以下说法正确的是( ) 图 8 A它应沿运行速度方向喷气，与 B 对接后周期比

13、低轨道时的小 B它应沿运行速度的反方向喷气，与 B 对接后周期比低轨道时的大 C它应沿运行速度方向喷气，与 B 对接后周期比低轨道时的大 D它应沿运行速度的反方向喷气，与 B 对接后周期比低轨道时的小 解析 若 A 要实施变轨与比它轨道更高的空间站 B 对接，则应做逐渐远离圆心 的运动，则万有引力必须小于 A 所需的向心力，所以应给 A 加速，增加其所需 的向心力，故应沿运行速度的反方向喷气，使得在短时间内 A 的速度增加。与 B 对接后轨道半径变大， 根据开普勒第三定律R 3 T2k 得， 周期变大， 故选项 B 正确。 答案 B 2(2019 名师原创预测)近年来，我国的航天事业飞速发展，

14、“嫦娥奔月”掀起 高潮。 “嫦娥四号”进行人类历史上的第一次月球背面登陆。若“嫦娥四号”在 月球附近轨道上运行的示意图如图 9 所示， “嫦娥四号”先在圆轨道上做圆周运 动，运动到 A 点时变轨为椭圆轨道，B 点是近月点，则下列有关“嫦娥四号”的 说法正确的是( ) 图 9 A“嫦娥四号”的发射速度应大于地球的第二宇宙速度 B“嫦娥四号”要想从圆轨道进入椭圆轨道必须在 A 点加速 C“嫦娥四号”在椭圆轨道上运行的周期比圆轨道上运行的周期要长 D“嫦娥四号”运行至 B 点时的速率大于月球的第一宇宙速度 解析 “嫦娥四号”的发射速度应大于地球的第一宇宙速度 7.9 km/s，小于地球 的第二宇宙速

15、度 11.2 km/s，故 A 错误；“嫦娥四号”要想从圆轨道变轨到椭圆 轨道，必须在 A 点进行减速，故 B 错误；由开普勒第三定律知r 3 T21 a3 T22，由题图可 知，圆轨道的半径 r 大于椭圆轨道的半长轴 a，故“嫦娥四号”在圆轨道上运行 的周期 T1大于在椭圆轨道上运行的周期 T2，所以 C 错误；“嫦娥四号”要想实 现软着陆，运行至 B 点时必须减速才能变为环月轨道，故在 B 点时的速率大于 在环月轨道上运行的最大速率，即大于月球的第一宇宙速度，故 D 正确。 答案 D 3(多选) (2018 河北唐山摸底)荷兰某研究所推出了 2023 年让志愿者登陆火星、 建立人类聚居地的

16、计划。登陆火星需经历如图 10 所示的变轨过程，已知引力常 量为 G，则下列说法正确的是( ) 图 10 A飞船在轨道上运动时，运行的周期 TTT B飞船在轨道上的机械能大于在轨道上的机械能 C飞船在 P 点从轨道变轨到轨道，需要在 P 点朝速度方向喷气 D若轨道贴近火星表面，已知飞船在轨道上运动的角速度，可以推知火星 的密度 解析 根据开普勒第三定律可和，飞船在轨道上运动时，运行的周期 TT T，选项 A 正确；飞船在 P 点从轨道变轨到轨道，需要在 P 点朝速度方向 喷气， 从而使飞船减速到达轨道，则飞船在轨道上的机械能小于在轨道上 的机械能， 选项 B 错误， C 正确； 根据 GMm

17、R2 m2R 以及 M4 3R 3， 解得 3 2 4G， 已知飞船在轨道上运动的角速度，可以推知火星的密度，选项 D 正确。 答案 ACD 突破三 卫星的追及与相遇问题 1相距最近 两卫星的运转方向相同， 且位于和中心连线的半径上同侧时， 两卫星相距最近， 从运动关系上，两卫星运动关系应满足(AB)t2n(n1，2，3，)。 2相距最远 当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两 卫星运动关系应满足(AB)t(2n1)(n1，2，3)。 【例 4】 (多选)如图 11，三个质点 a、b、c 的质量分别为 m1、m2、M(M 远大 于 m1及 m2)，在 c 的万有

18、引力作用下，a、b 在同一平面内绕 c 沿逆时针方向做 匀速圆周运动，已知轨道半径之比为 rarb14，则下列说法正确的有( ) 图 11 Aa、b 运动的周期之比为 TaTb18 Ba、b 运动的周期之比为 TaTb14 C从图示位置开始，在 b 转动一周的过程中，a、b、c 共线 12 次 D从图示位置开始，在 b 转动一周的过程中，a、b、c 共线 14 次 解析 根据开普勒第三定律r 3 T2k 得 Ta Tb r3a r3b 1 43 1 8，则周期之比为 18， 选项 A 正确，B 错误；设图示位置 a、b 的夹角为 2，b 转动一周(圆心角为 2) 的时间为 tTb， 则 a、

19、b 相距最远时： 2 TaTb 2 TbTb()n2(n0， 1， 2， 3， )， 可知 n6.75，n 可取 7 个值；a、b 相距最近时：2 TaTb 2 TbTb(2)m2(m 0，1，2，3，)，可知 m6.25，m 可取 7 个值，故在 b 转动一周的过程中，a、 b、c 共线 14 次，选项 D 正确。 答案 AD 天体相遇与追及问题的处理方法 首先根据GMm r2 mr2判断出谁的角速度大，然后根据两星追上或相距最近时满 足两星运动的角度差等于 2 的整数倍，即 AtBtn2(n1、2、3)，相 距最远时两星运行的角度差等于 的奇数倍，即 AtBt(2n1)(n0、1、 2)

20、3“行星冲日”现象 在不同圆轨道上绕太阳运行的两个行星， 某一时刻会出现两个行星和太阳排成一 条直线的“行星冲日”现象，属于天体运动中的“追及相遇”问题，此类问题具 有周期性。 【例 5】 (多选)(2018 湖南张家界三模)2018 年 7 月 27 日将发生火星冲日现象， 我国整夜可见，火星冲日是指火星、地球和太阳几乎排列在同一条直线上，地球 位于太阳与火星之间，此时火星被太阳照亮的一面完全朝向地球，所以明亮且易 于观察。地球和火星绕太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，火星公转轨道 半径为地球公转轨道半径的 1.5 倍，则( ) A地球的公转周期比火星的公转周期小 B地球的运行速度比火星

21、的运行速度小 C火星冲日现象每年都会出现 D地球与火星的公转周期之比为 8 27 解析 已知火星公转轨道半径为地球的 1.5 倍，则由 GMm r2 m4 2 T2 r 得，T 2 r3 GM，可知轨道半径越大，周期越大，故火星的公转周期比地球的大，选项 A 正确； 又由 GMm r2 mv 2 r 可得 v GM r ， 则轨道半径越大， 线速度(即运行速度) 越小，故火星的运行速度比地球的小，选项 B 错误；根据开普勒第三定律得， T火 T地 r3火 r3地 27 8 ，因为地球的公转周期为 1 年，所以火星的公转周期大于 1 年，不 是每年都出现火星冲日现象，故选项 C 错误，D 正确。

22、 答案 AD 1经长期观测发现，A 行星运行轨道的半径近似为 R0，周期为 T0，其实际运行 的轨道与圆轨道存在一些偏离，且周期性地每隔 t0(t0T0)发生一次最大的偏离， 如图 12 所示，天文学家认为形成这种现象的原因可能是 A 行星外侧还存在着一 颗未知行星 B，已知行星 B 与行星 A 同向转动，则行星 B 的运行轨道(可认为是 圆轨道)半径近似为( ) 图 12 ARR0 3 t20 （t0T0）2 BRR0 t0 t0T0 CRR0 t30 （t0T0）3 DRR0 t0 t0T0 解析 A 行星运行的轨道发生最大偏离，一定是 B 对 A 的引力引起的，且 B 行 星在此时刻对

23、A 有最大的引力，故此时 A、B 行星与恒星在同一直线上且位于恒 星的同一侧，设 B 行星的运行周期为 T，运行的轨道半径为 R，根据题意有2 T0t0 2 T t02，所以 T t0T0 t0T0，由开普勒第三定律可得 R30 T20 R3 T2，联立解得 R R0 3 t20 （t0T0）2，故 A 正确，B、C、D 错误。 答案 A 2如图 13 所示，有 A、B 两颗卫星绕地心 O 做圆周运动，旋转方向相同。A 卫 星的周期为 T1，B 卫星的周期为 T2，在某一时刻两卫星相距最近，则(引力常量 为 G) ( ) 图 13 A两卫星经过时间 tT1T2再次相距最近 B两颗卫星的轨道半径

24、之比为 T1 2 3T2 2 3 C若已知两颗卫星相距最近时的距离，可求出地球的密度 D若已知两颗卫星相距最近时的距离，可求出地球表面的重力加速度 解析 两卫星相距最近时，两卫星应该在同一半径方向上，A 多转动一圈时，第 二次追上，转动的角度相差 2，即2 T1t 2 T2t2，得出 t T1T2 T2T1，故 A 错误； 根据万有引力提供向心力得GMm r2 m4 2 T2 r，A 卫星的周期为 T1，B 卫星的周期为 T2，所以两颗卫星的轨道半径之比为 T1 2 3T2 2 3，故 B 正确；若已知两颗卫星相距 最近时的距离，结合两颗卫星的轨道半径之比可以求得两颗卫星的轨道半径，根 据万有

25、引力提供向心力得GMm r2 m4 2 T2 r，可求出地球的质量，但不知道地球的半 径，所以不可求出地球密度和地球表面的重力加速度，故 C、D 错误。 答案 B 科学思维系列物理模型构建：双星和三星模型 1双星模型 (1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图 14 所示。 图 14 (2)特点 各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即 Gm1m2 L2 m121r1，Gm1m2 L2 m222r2 两颗星的周期及角速度都相同，即 T1T2，12 两颗星的半径与它们之间的距离关系为 r1r2L (3)两颗星到圆心的距离 r1、r2与星体质量成反比，即m1 m2

26、r2 r1。 2三星模型 (1)三颗质量均为 m 的星体位于同一直线上，两颗环绕星体围绕中央星体在同一 半径为 R 的圆形轨道上运行(如图 15 甲所示)。其中一个环绕星由其余两颗星的 引力提供向心力：Gm 2 R2 Gm2 （2R）2ma。 (2)三颗质量均为 m 的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)。 每颗星体 运动所需向心力都由其余两颗星体对其万有引力的合力来提供。2Gm 2 L2 cos 30 ma，其中 L2Rcos 30 。 图 15 【典例 1】 (多选)(2018 全国卷，20)2017 年，人类第一次直接探测到来自双 中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两

27、颗中子星合并前约 100 s 时，它们相距约 400 km，绕二者连线上的某点每秒转动 12 圈。将两颗中子星都 看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识， 可以估算出这一时刻两颗中子星( ) A质量之积 B质量之和 C速率之和 D各自的自转角速度 解析 由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动 12 圈，则两中子星 的周期相等，且均为 T 1 12 s，两中子星的角速度均为 2 T ，两中子星构成了 双星模型，假设两中子星的质量分别为 m1、m2，轨道半径分别为 r1、r2，速率分 别为 v1、v2，则有 Gm1m2 L2 m12r1、Gm1m2 L2 m2

28、2r2，又 r1r2L400 km，解 得 m1m2 2L3 G ，A 错误，B 正确；又由 v1r1、v2r2，则 v1v2(r1 r2)L，C 正确；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D 错误。 答案 BC 【典例 2】 (多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组 成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系 统存在两种基本的构成形式(如图 16)：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围 绕中央星在同一半径为 R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角 形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三颗星的质量均 为 M，

29、并设两种系统的运动周期相同，则( ) 图 16 A直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同 B直线三星系统的运动周期 T4R R 5GM C三角形三星系统中星体间的距离 L 3 12 5 R D三角形三星系统的线速度大小为1 2 5GM R 解析 直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相同，方向相反，选项 A 错误； 三星系统中， 对直线三星系统有 GM 2 R2G M2 （2R）2M 42 T2 R， 解得 T4R R 5GM， 选项 B 正确；对三角形三星系统根据万有引力和牛顿第二定律得 2GM 2 L2cos 30 M4 2 T2 L 2cos 30 ，联立解得 L 3 12 5 R，选项 C

30、 正确；三角形三星系统的线速度大 小为 v2r T 2 L 2cos 30 T ，代入解得 v 3 6 3 12 5 5GM R ，选项 D 错误。 答案 BC 课时作业课时作业 (时间：40 分钟) 基础巩固练 1宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆 心做匀速圆周运动，而不至因为万有引力的作用而吸引到一起。如图 1 所示，某 双星系统中 A、B 两颗天体绕 O 点做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比 rArB 12，则两颗天体的( ) 图 1 A质量之比 mAmB21 B角速度之比 AB12 C线速度大小之比 vAvB21 D向心力大小之比 FAFB21 解析 双

31、星绕连线上的一点做匀速圆周运动，其角速度相同，周期相同，两者之 间的万有引力提供向心力，FmA2rAmB2rB，所以 mAmB21，选项 A 正确，B、D 错误；由 vr 可知，线速度大小之比 vAvB12，选项 C 错误。 答案 A 2(2018 浙江名校协作体)关于环绕地球运动的卫星，下列说法正确的是( ) A分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期 B沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率 C在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同 D沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合 解析 环绕地球运动的卫星，由开普勒第三

32、定律R 3 T2k，当椭圆轨道半长轴与圆 形轨道的半径相等时，两颗卫星周期相同，故 A 错误；沿椭圆轨道运行的卫星， 只有引力做功，机械能守恒，在轨道上相互对称的地方(到地心距离相等的位置) 速率相同，故 B 正确；所有地球同步卫星相对地面静止，运行周期都等于地球 自转周期，由 GMm R2 m4 2R T2 ，解得 R 3 GMT2 42 ，轨道半径都相同，故 C 错误； 同一轨道平面、不同轨道半径的卫星，相同轨道半径、不同轨道平面的卫星，都 有可能(不同时刻)经过北京上空，故 D 错误。 答案 B 32017 年 6 月 15 日，我国在酒泉卫星发射中心用长征四号乙运载火箭成功发 射硬 X

33、 射线调制望远镜卫星“慧眼”。“慧眼”的成功发射将显著提升我国大 型科学卫星研制水平，填补我国空间 X 射线探测卫星的空白，实现我国在空间 高能天体物理领域由地面观测向天地联合观测的跨越。 “慧眼”研究的对象主要 是黑洞、中子星和射线暴等致密天体和爆发现象。在利用“慧眼”观测美丽的 银河系时，若发现某双黑洞间的距离为 L，只在彼此之间的万有引力作用下做匀 速圆周运动，其运动周期为 T，引力常量为 G，则双黑洞总质量为( ) A.4 2L3 GT2 B.4 2L3 3GT2 C. GL3 42L2 D.4 2T3 GL2 解析 两黑洞均由万有引力提供向心力，则有：GM1M2 L2 M1(2 T

34、)2r1，GM1M2 L2 M2(2 T )2r2， 解得 M14 2r2L2 GT2 ， M24 2r1L2 GT2 ， 所以双黑洞总质量为 M1M24 2L3 GT2 ， 选项 A 正确。 答案 A 4(2019 吉林长春一模)如图 2 所示，某双星系统的两星 A 和 B 各自绕其连线上 的 O 点做匀速圆周运动，已知 A 星和 B 星的质量分别为 m1和 m2，相距为 d。下 列说法正确的是( ) 图 2 AA 星的轨道半径为 m1 m1m2d BA 星和 B 星的线速度之比为 m1m2 C若在 O 点放一个质点，它受到的合力一定为零 D若 A 星所受 B 星的引力可等效为位于 O 点处

35、质量为 m的星体对它的引力， 则 m m32 （m1m2）2 解析 双星的角速度相等，是靠它们之间的万有引力来提供向心力，Gm1m2 d2 m12r1m22r2，且 r1r2d，联立解得 r1 m2d m1m2，r2 m1d m1m2，故 A 错误； 根据 vr，可得v1 v2 r1 r2 m2 m1，故 B 错误；若在 O 点放一个质点，此质点受到的 两颗星对它的作用力大小不等，则受到的合力不为零，故 C 错误；若 A 星所受 B 星的引力可等效为位于 O 点处质量为 m的星体对它的引力，则 Gm1m2 d2 Gmm1 r21 ， 得 m m32 （m1m2）2，故 D 正确。 答案 D 5

36、如图 3 所示，一颗卫星绕地球沿椭圆轨道运动，A、B 是卫星运动的远地点和 近地点。下列说法中正确的是( ) 图 3 A卫星在 A 点的角速度大于 B 点的角速度 B卫星在 A 点的加速度小于 B 点的加速度 C卫星由 A 运动到 B 过程中动能减小，势能增加 D卫星由 A 运动到 B 过程中引力做正功，机械能增大 解析 由开普勒第二定律知，卫星与地球的连线在相等的时间内扫过的面积相 等，故卫星在远地点转过的角度较小，由 t知，卫星在 A 点的角速度小于在 B 点的角速度，选项 A 错误；设卫星的质量为 m，地球的质量为 M，卫星的轨 道半径为 r，由万有引力定律得 GmM r2 ma，解得

37、aGM r2 ，由此可知，r 越大， 加速度越小，故卫星在 A 点的加速度小于在 B 点的加速度，选项 B 正确；卫星 由 A 运动到 B 的过程中，引力做正功，动能增加，势能减小，机械能守恒，选 项 C、D 错误。 答案 B 6 (多选)已知一质量为m的物体静止在北极与静止在赤道对地面的压力差为N， 假设地球是质量均匀分布的球体，半径为 R，则(地球表面的重力加速度为 g)( ) A地球的自转周期为 T2 mR N B地球的自转周期为 T mR N C地球同步卫星的轨道半径为 mg N 1 3R D地球同步卫星的轨道半径为 2 mg N 1 3R 解析 物体静止在北极时，有 FN1GMm R

38、2 ，物体静止在赤道时，有 GMm R2 FN2 mR4 2 T2 ，根据题意，有 FN1FN2N，联立可得 T2 mR N，所以选项 A 正 确， B 错误； 对同步卫星， 有 GMm r2 m4 2r T2 ， 把 T2 mR N代入可得 r 3GMmR N ， 又地球表面的重力加速度为 g，则 mgGMm R2 ，可得 r mg N 1 3R，选项 C 正确，D 错误。 答案 AC 7如图 4 所示，a 是准备发射的一颗卫星，在地球赤道表面上随地球一起转动， b 是地面附近近地轨道上正常运行的卫星，c 是地球同步卫星，则下列说法正确 的是( ) 图 4 A卫星 a 的向心加速度等于重力加

39、速度 g B卫星 c 的线速度小于卫星 a 的线速度 C卫星 b 所受的向心力一定大于卫星 c 的向心力 D卫星 b 运行的线速度大小约等于地球第一宇宙速度 解析 赤道上物体，GMm r2 mgman，贴近地面飞行物体GMm R2 ma2，同步卫星 GMm r2 mv 2 r ，v GM r ，F向GMm r2 与 m 有关，a、c 具有相同的角速度，由 v r 知 vcva，选项 A、B、C 均错误，D 正确。 答案 D 8. (多选)导航系统是一种利用人造卫星对物体进行定位测速的工具，目前世界上 比较完善的导航系统有美国的 GPS 系统，中国的北斗系统，欧洲的伽利略导航 系统以及俄罗斯的

40、GLONASS 系统，其中美国的 GPS 系统采用的是运行周期为 12 小时的人造卫星，中国的北斗系统一部分采用了同步卫星，现有一颗北斗同 步卫星 A 和一颗赤道平面上方的 GPS 卫星 B， 某时刻两者刚好均处在地面某点 C 的正上方，如图 5 所示，下列说法正确的是( ) 图 5 AA 的速度比 B 的小 B若两者质量相等，则发射 A 需要更多的能量 C此时刻 B 处在 A、C 连线的中点 D从此时刻起，经过 12 小时，两者相距最远 解析 利用万有引力定律提供向心力可知GMm r2 mv 2 r ，得 v GM r ，即轨道半 径越大，运行速度越小，故 A 的速度比 B 的小，选项 A

41、正确；若 A、B 质量相 等，则 A 在发射过程中克服引力做功多，故所需发射速度大，发射 A 需要更多 的能量，选项 B 正确；由 T 42r3 GM 知周期与半径呈非线性关系，故 B 不在 A、 C 连线的中点处，选项 C 错误；经过 12 小时，A 运动半周，而 B 运动一周，两 者在地心异侧共线，相距最远，选项 D 正确。 答案 ABD 综合提能练 9.2017 年 6 月 19 号，长征三号乙遥二十八火箭发射中星 9A 卫星过程中出现变 故，由于运载火箭的异常，致使卫星没有按照原计划进入预定轨道。经过航天测 控人员的配合和努力，通过多次调整轨道，卫星成功变轨进入同步卫星轨道。假 设该卫

42、星某一次变轨如图 6 所示，卫星从椭圆轨道上的远地点 Q 改变速度进 入地球同步轨道，P 点为椭圆轨道的近地点。下列说法正确的是( ) 图 6 A卫星在椭圆轨道上运行时，在 P 点的速度等于在 Q 点的速度 B卫星在椭圆轨道上 Q 点的速度小于在同步轨道上 Q 点的速度 C卫星在椭圆轨道上 Q 点的加速度大于在同步轨道上 Q 点的加速度 D卫星耗尽燃料后，在微小阻力的作用下，机械能减小，轨道半径变小，动能 变小 解析 卫星在椭圆轨道上运行时，从 P 点运动到 Q 点的过程中，万有引力对 卫星做负功，卫星动能减小，所以卫星在 P 点的速度大于在 Q 点的速度，选项 A 错误；由于从椭圆轨道上 Q

43、 点变轨到同步轨道，需要点火加速，所以卫 星在椭圆轨道上 Q 点的速度小于在同步轨道上 Q 点的速度，选项 B 正确； 因为在同一点 Q，根据 aGM r2 可知加速度相同，选项 C 错误；由于卫星受微小 阻力的作用，阻力做负功，故机械能减小，卫星做向心运动，轨道半径变小，根 据 v GM r 可知，动能 Ek1 2mv 2GMm 2r ，动能变大，选项 D 错误。 答案 B 10假设有一载人宇宙飞船在距地面高度为 4 200 km 的赤道上空绕地球做匀速 圆周运动，地球半径约为 6 400 km，地球同步卫星距地面高为 36 000 km，宇宙 飞船和一地球同步卫星绕地球同向运动，每当两者相

44、距最近时，宇宙飞船就向同 步卫星发射信号，然后再由同步卫星将信号发送到地面接收站，某时刻两者相距 最远，从此刻开始，在一昼夜的时间内，接收站共接收到信号的次数为( ) A4 次 B6 次 C7 次 D8 次 解析 根据圆周运动的规律，分析一昼夜同步卫星与宇宙飞船相距最近的次数， 即为卫星发射信号的次数，也为接收站接收到的信号次数。 设宇宙飞船的周期为 T，由GMm r2 m4 2 T2 r， 得 T2 r3 GM， 则 T2 242( 6 4004 200 6 40036 000) 3，解得 T3 h 设两者由相隔最远至第一次相隔最近的时间为 t1，有 (2 T 2 T0)t1，解得 t1 1

45、2 7 h 再设两者相邻两次相距最近的时间间隔为 t2，有 (2 T 2 T0)t22，解得 t2 24 7 h 由 n24t 1 t2 6.5 次知，接收站接收信号的次数为 7 次。 答案 C 11(多选) (2019 淮安、宿迁等高三质量检测)2017 年 4 月，我国第一艘货运飞 船天舟一号顺利升空，随后与天宫二号交会对接。假设天舟一号从 B 点发射经 过椭圆轨道运动到天宫二号的圆轨道上完成交会，如图 7 所示。已知天宫二号的 轨道半径为 r，天舟一号沿椭圆轨道运动的周期为 T，A、B 两点分别为椭圆轨道 的远地点和近地点，地球半径为 R，引力常量为 G。则( ) 图 7 A天宫二号的运

46、行速度小于 7.9 km/s B天舟一号的发射速度大于 11.2 km/s C根据题中信息可以求出地球的质量 D天舟一号在 A 点的速度大于天宫二号的运行速度 解析 7.9 km/s 是近地卫星的环绕速度，卫星越高，线速度越小，则天宫二号的 运行速度小于 7.9 km/s，选项 A 正确；11.2 km/s 是第二宇宙速度，是卫星脱离地 球引力逃到其它星球上去的最小发射速度，则天舟一号的发射速度小于 11.2 km/s，选项 B 错误；根据开普勒第三定律r 3 T2常数，已知天宫二号的轨道半径 r， 天舟一号的周期 T 以及半长轴1 2(rR)，可求得天宫二号的周期 T1，再根据 G Mm r

47、2 m4 2 T2 r 可求解地球的质量，选项 C 正确；天舟一号在 A 点加速才能进入天宫二 号所在的轨道，则天舟一号在 A 点的速度小于天宫二号的运行速度，选项 D 错 误。 答案 AC 12如图 8 所示，A 是地球的同步卫星，B 是地球的近地卫星，C 是地面上的物 体，A、B、C 质量相等，均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动。设 A、B 与地 心连线在单位时间内扫过的面积分别为 SA、SB，A、B、C 三者运行周期分别为 TA、TB、TC，做圆周运动的动能分别为 EkA、EkB、EkC。不计 A、B、C 之间的相 互作用，下列关系式正确的是( ) 图 8 ASASB BSASB CTATCTB DEkAEkBEkC 解析 卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由 GMm r2 mv 2 r ，卫星 与地心连线在单位时间内扫过的面积 S1 2vr(m 2)，联立解得 S1 2 GMr，显然 A 与地心连线在单位时间内扫过的面积 SA较大，即 SASB，选项 A 错误，B 正确； A 是地球的同步卫星，运行周期与物体 C 的相同，且大于卫星 B 的运行周期， 即 TATCTB，选项 C 错