中考数学课件第8讲一元二次方程(51张).ppt

1、2022-10-1912022-10-1922022-10-193 结合近几年中考试题分析结合近几年中考试题分析,一元二次方程的考查主要有以一元二次方程的考查主要有以下特点：下特点：1.1.命题方式为对一元二次方程的概念和基础知识的考查，命题方式为对一元二次方程的概念和基础知识的考查，多以填空题、选择题的形式出现，解答题多数考查一元二次多以填空题、选择题的形式出现，解答题多数考查一元二次方程的解法和方程知识的综合应用方程的解法和方程知识的综合应用.2.2.命题热点为配方法解决数学问题、一元二次方程的判命题热点为配方法解决数学问题、一元二次方程的判别式的应用、一元二次方程根与系数的关系的应用别式

2、的应用、一元二次方程根与系数的关系的应用.2022-10-194 1.1.一元二次方程的有关概念及解法是基础一元二次方程的有关概念及解法是基础,因此因此,在复习在复习本部分知识时本部分知识时,应首先弄清概念应首先弄清概念,掌握解法掌握解法.2.2.一元二次方程的判别式的应用、一元二次方程根与系一元二次方程的判别式的应用、一元二次方程根与系数的关系的应用是中考的热点，应加强有关的题目训练，同数的关系的应用是中考的热点，应加强有关的题目训练，同时，要注重一元二次方程的判别式、根与系数的关系与其他时，要注重一元二次方程的判别式、根与系数的关系与其他知识综合考查的练习知识综合考查的练习.2022-10

3、-195 3.3.在复习本讲时在复习本讲时,应注意转化思想的运用应注意转化思想的运用,还应注意配方还应注意配方法在解题中的作用法在解题中的作用,它是利用配方法解方程和推导求根公式的它是利用配方法解方程和推导求根公式的基础基础.2022-10-1962022-10-1972022-10-1982022-10-1992022-10-19102022-10-19112022-10-19122022-10-19132022-10-19142022-10-1915一元二次方程的有关概念一元二次方程的有关概念1.1.一元二次方程有三个特点：一元二次方程有三个特点：(1)(1)只含有一个未知数；只含有一个未

4、知数；(2)(2)未知数的最高次数是未知数的最高次数是2 2；(3)(3)是整式方程是整式方程.2.2.要判断一个方程是否为一元二次方程要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方先看它是否为整式方程程,若是若是,再对它进行整理再对它进行整理,如果能整理为如果能整理为axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的的形式，则这个方程就为一元二次方程形式，则这个方程就为一元二次方程.2022-10-19163.3.判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项,应应首先把一元二次方程化成一般形式首先把一元二次方程化成一般形式a

5、xax2 2+bx+c=0(a0),+bx+c=0(a0),但一元但一元二次方程的一般形式不是唯一的二次方程的一般形式不是唯一的.2022-10-1917【例例1 1】(2010(2010佛山中考佛山中考)教材或资料中会出现这样的题目：教材或资料中会出现这样的题目：把方程把方程 化为一元二次方程的一般形式，并写出它化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项的二次项系数、一次项系数和常数项.现把上面的题目改编为现把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答下面的两个小题，请解答:(1)(1)下列式子中，有哪几个是方程下列式子中，有哪几个是方程 所化的一元二次所化的一元二次方

6、程的一般形式？方程的一般形式？(答案只写序号答案只写序号)_.)_.x x2 2-2x=4-2x=4；-x-x2 2+2x+4=0+2x+4=0；21xx2221xx2221xx202；21xx202；23x2 3x4 30.2022-10-1918(2)(2)方程方程 化为一元二次方程的一般形式后，它的二化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系？次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系？【思路点拨思路点拨】(1)(1)先把一元二次方程化成二次项系数为先把一元二次方程化成二次项系数为1 1的一的一般形式，再与给出的般形式，再与给出的5 5个方程进行比

7、较，从而得出结论个方程进行比较，从而得出结论.(2).(2)比比较较(1)(1)中几个方程的二次项系数、一次项系数、常数项，得出中几个方程的二次项系数、一次项系数、常数项，得出一般结论一般结论.21xx222022-10-1919【自主解答自主解答】(1)(1)(2)(2)若设它的二次项系数为若设它的二次项系数为a(a0)a(a0)，则一次项系数为，则一次项系数为-2a-2a、常、常数项为数项为-4a.-4a.2022-10-19201.(20101.(2010毕节中考毕节中考)已知方程已知方程x x2 2+bx+a=0+bx+a=0有一个根是有一个根是-a-a(a0)(a0)，则下列代数式的

8、值恒为常数的是，则下列代数式的值恒为常数的是()()(A)ab (B)(C)a+b (D)a-b(A)ab (B)(C)a+b (D)a-b【解析解析】选选D.D.把把x=-ax=-a代入方程代入方程x x2 2+bx+a=0+bx+a=0得得a a2 2-ab+a=0-ab+a=0，即，即a(a-b+1)=0a(a-b+1)=0，又因为，又因为a0a0，所以，所以a-b+1=0a-b+1=0，即，即a-b=-1.a-b=-1.ab2022-10-19212.(20112.(2011滨州中考滨州中考)若若x=2x=2是关于是关于x x的方程的方程x x2 2-x-a-x-a2 2+5=0+5=

9、0的一个的一个根，则根，则a a的值为的值为_._.【解析解析】将将x=2x=2代入方程，得代入方程，得4-2-a4-2-a2 2+5=0,+5=0,解得解得答案：答案：7a7.2022-10-19223.(20113.(2011株洲中考株洲中考)孔明同学在解一元二次方程孔明同学在解一元二次方程x x2 2-3x+c=0-3x+c=0时，时，正确解得正确解得x x1 1=1,x=1,x2 2=2,=2,则则c c的值为的值为_._.【解析解析】把把x=1x=1代入代入x x2 2-3x+c=0-3x+c=0中，得中，得1-3+c=0,1-3+c=0,所以所以c c2.2.答案：答案：2 220

10、22-10-1923一元二次方程的解法一元二次方程的解法1.1.一元二次方程主要有四种解法，任何一个有解的一元二次一元二次方程主要有四种解法，任何一个有解的一元二次方程都可以用配方法和公式法求解，其中配方法较为复杂，方程都可以用配方法和公式法求解，其中配方法较为复杂，除指定外，一般不选用除指定外，一般不选用.2.2.选择适当的方法解一元二次方程可使运算简便选择适当的方法解一元二次方程可使运算简便.在四种解法在四种解法中中,选择顺序为选择顺序为:直接开平方法直接开平方法因式分解法因式分解法公式法公式法配方配方法法.2022-10-1924【例例2 2】(2011(2011南京中考南京中考)解方程

11、：解方程：x x2 2-4x+1=0.-4x+1=0.【思路点拨思路点拨】此题可用配方法，也可用公式法，但不能用因此题可用配方法，也可用公式法，但不能用因式分解法，解题时要注意步骤式分解法，解题时要注意步骤.【自主解答自主解答】方法一：配方法，移项，得方法一：配方法，移项，得x x2 2-4x=-1.-4x=-1.配方，得配方，得x x2 2-4x+4=-1+4,-4x+4=-1+4,(x-2)(x-2)2 2=3.=3.由此可得由此可得x23.12x23,x23.2022-10-1925方法二方法二:公式法，公式法，a=1,b=-4,c=1.a=1,b=-4,c=1.b b2 2-4ac=(

12、-4)-4ac=(-4)2 2-4-41 11=1201=120，412x23,212x23,x23.2022-10-19264.(20114.(2011南充中考南充中考)方程方程(x+1)(x-2)=x+1(x+1)(x-2)=x+1的解是的解是()()(A)2 (B)3 (C)-1(A)2 (B)3 (C)-1，2 (D)-12 (D)-1，3 3【解析解析】选选D.(x+1)(x-2)=x+1,D.(x+1)(x-2)=x+1,移项得，移项得，(x+1)(x-2)-(x+1)=0,(x+1)(x-2)-(x+1)=0,(x+1)(x-2-1)=0,(x+1)(x-2-1)=0,即即(x+

13、1)(x-3)=0,(x+1)(x-3)=0,x+1=0 x+1=0或或x-3=0.xx-3=0.x1 1=-1,x=-1,x2 2=3.=3.2022-10-19275.(20105.(2010烟台中考烟台中考)方程方程x x2 2-2x-1=0-2x-1=0的两个实数根分别为的两个实数根分别为x x1 1，x x2 2，则，则 (x(x1 1-1)(x-1)(x2 2-1)=_.-1)=_.【解析解析】由求根公式可得方程由求根公式可得方程x x2 2-2x-1=0-2x-1=0的两个实数根为的两个实数根为 所以所以答案：答案：-2-212x12x12 ，12x1x1121 121222.2

14、022-10-19286.(20116.(2011无锡中考无锡中考)解方程：解方程：x x2 2+4x-2=0.+4x-2=0.【解析解析】a=1,b=4,c=-2,a=1,b=4,c=-2,bb2 2-4ac=16+8=240,-4ac=16+8=240,2bb4ac424x26.2a2 12x26,x26.2022-10-1929 根的判别式及根与系数的关系根的判别式及根与系数的关系1.1.运用根的判别式判断含有字母系数的一元二次方程根的情运用根的判别式判断含有字母系数的一元二次方程根的情况的一般步骤是况的一般步骤是:(1):(1)把方程化为一般形式把方程化为一般形式,确定确定a a、b

15、b、c c的值的值,计算计算;(2);(2)用配方法等将用配方法等将变形变形,使之符号明朗化后使之符号明朗化后,判断判断的符号的符号;(3);(3)写出结论写出结论.2022-10-19302.2.利用一元二次方程根与系数的关系可解决以下几类问题利用一元二次方程根与系数的关系可解决以下几类问题:(1)(1)已知一元二次方程的一个根已知一元二次方程的一个根,可求另一个根可求另一个根.(2)(2)已知两根，可写出这个一元二次方程已知两根，可写出这个一元二次方程.(3)(3)与根的判别式结合起来，可求解方程、判断两根的性质和与根的判别式结合起来，可求解方程、判断两根的性质和正负号正负号.注意注意:在

16、运用根与系数的关系时在运用根与系数的关系时,应先简化为一元二次方程应先简化为一元二次方程x x2 2+px+q=0+px+q=0的形式的形式,并牢记一元二次方程并牢记一元二次方程x x2 2+px+q=0+px+q=0的两根之和的两根之和是一次项系数的相反数而不是一次项系数本身是一次项系数的相反数而不是一次项系数本身.2022-10-1931【例例3 3】(2011(2011德州中考德州中考)若若x x1 1,x,x2 2是方程是方程x x2 2+x-1=0+x-1=0的两个根，的两个根，则则x x1 12 2+x+x2 22 2=_.=_.【思路点拨思路点拨】先由根与系数的关系求出先由根与系

17、数的关系求出x x1 1+x+x2 2、x x1 1x x2 2的值，的值，再把再把x x1 12 2+x+x2 22 2配方求出配方求出x x1 12 2+x+x2 22 2的值的值.【自主解答自主解答】由一元二次方程根与系数的关系可得由一元二次方程根与系数的关系可得x x1 1+x+x2 2=-1,x-1,x1 1x x2 2=-1,x=-1,x1 12 2+x+x2 22 2=(x=(x1 1+x+x2 2)2 2-2x-2x1 1x x2 2=(-1)=(-1)2 2-2-2(-1)=3.(-1)=3.答案：答案：3 32022-10-19327.(20117.(2011泉州中考泉州中

18、考)已知一元二次方程已知一元二次方程x x2 2-4x+3=0-4x+3=0两根为两根为x x1 1、x x2 2,则则x x1 1xx2 2=()=()(A)4 (B)3 (C)-4 (D)-3(A)4 (B)3 (C)-4 (D)-3【解析解析】选选B.BB.B正确正确.12c3xx3,a12022-10-19338.(20118.(2011威海中考威海中考)关于关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2+(m-2)x+m+1=0+(m-2)x+m+1=0有两个相等的实数根，则有两个相等的实数根，则m m的值是的值是()()(A)0 (B)8 (C)(D)0(A)0 (B)8 (C

19、)(D)0或或8 8【解析解析】选选D.D.一元二次方程有两个相等的实数根，即一元二次方程有两个相等的实数根，即=0=0，(m-2)(m-2)2 2-4(m+1)=0,-4(m+1)=0,解得：解得：m m1 1=0;m=0;m2 2=8.=8.故选故选D.D.42 22022-10-19349.(20109.(2010兰州中考兰州中考)已知关于已知关于x x的一元二次方程的一元二次方程(m-1)x(m-1)x2 2+x+1=0+x+1=0有实数根有实数根.则则m m的取值范围是的取值范围是_._.【解析解析】根据题意得根据题意得1 12 2-4-4(m-1)(m-1)1010且且m-10m-

20、10，解得，解得 且且m1.m1.答案：答案：且且m1m15m45m42022-10-193510.(201110.(2011广东中考广东中考)已知一元二次方程已知一元二次方程x x2 2-2x+m=0.-2x+m=0.(1)(1)若方程有两个实数根，求若方程有两个实数根，求m m的范围；的范围；(2)(2)若方程的两个实数根为若方程的两个实数根为x x1 1,x,x2 2,且且x x1 1+3x+3x2 2=3,=3,求求m m的值的值.【解析解析】(1)(1)由题意得由题意得=4-4m0,=4-4m0,解得解得m1.m1.(2)(2)由题意得由题意得x x1 1+x+x2 2=2,=2,因

21、为因为x x1 1+3x+3x2 2=3,=3,所以所以 ,所以所以 ,解得解得21x2211()2m0223m.42022-10-19362022-10-1937配配 方方 法法1.1.配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法,它的应用十分它的应用十分广泛广泛,在代数式求值、求最大在代数式求值、求最大(小小)值、因式分解、化简根式、值、因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的解析式等方面都经常解方程、证明等式和不等式、求函数的解析式等方面都经常用到它用到它.2.2.配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的配方法的实质在于揭示式子的非

22、负性，是挖掘隐含条件的一种重要手段一种重要手段,在配方时在配方时,要善于要善于“拆拆”和和“添添”,将代数式重将代数式重新组合得到完全平方式新组合得到完全平方式.2022-10-1938【例例】(2010(2010河北中考河北中考)已知已知x=1x=1是一元二次方程是一元二次方程x x2 2+mx+n=0+mx+n=0的一个根的一个根,则则m m2 2+2mn+n+2mn+n2 2的值为的值为_._.【思路点拨思路点拨】把把x=1x=1代入一元二次方程代入一元二次方程x x2 2+mx+n=0+mx+n=0得到得到m+nm+n的的值，把值，把m m2 2+2mn+n+2mn+n2 2配方后得配

23、方后得m m2 2+2mn+n+2mn+n2 2的值的值.2022-10-1939【自主解答自主解答】x=1x=1是一元二次方程是一元二次方程x x2 2+mx+n=0+mx+n=0的一个的一个根根,1+m+n=0,m+n=-1.,1+m+n=0,m+n=-1.当当m+n=-1m+n=-1时，时，m m2 2+2mn+n+2mn+n2 2=(m+n)=(m+n)2 2=(-1)=(-1)2 2=1.=1.答案：答案：1 12022-10-19401.(20101.(2010包头中考包头中考)关于关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2-mx+2m-1=0-mx+2m-1=0的两的两个

24、实数根分别是个实数根分别是x x1 1、x x2 2，且，且x x1 12 2+x+x2 22 2=7=7，则，则(x(x1 1-x-x2 2)2 2的值是的值是()()(A)1 (B)12 (C)13 (D)25(A)1 (B)12 (C)13 (D)252022-10-1941【解析解析】选选C.C.由根与系数的关系得由根与系数的关系得x x1 1+x+x2 2=m,x=m,x1 1x x2 2=2m-1,x=2m-1,x1 12 2+x+x2 22 2=7,=7,7=(x7=(x1 1+x+x2 2)2 2-2x-2x1 1x x2 2=m=m2 2-2(2m-1)=m-2(2m-1)=

25、m2 2-4m+2,m-4m+2,m1 1=-1,m=-1,m2 2=5,=5,又又m=5m=5时，时，=25-36=25-360,0,m=-1.(xm=-1.(x1 1-x-x2 2)2 2=(x=(x1 1+x+x2 2)2 2-4x-4x1 1x x2 2=m=m2 2-4(2m-1)=m-4(2m-1)=m2 2-8m+4-8m+4=1+8+4=13.=1+8+4=13.2022-10-19422.(20102.(2010綦江中考綦江中考)用配方法解方程：用配方法解方程：x x2 22x2x1 10.0.【解析解析】移项，得移项，得x x2 22x2x1 1，配方，得，配方，得x x2

26、 2-2x+1=2-2x+1=2，即即(x-1)(x-1)2 2=2=2，12x12x12x12.，2022-10-19431.(20101.(2010河南中考河南中考)方程方程x x2 2-3=0-3=0的根是的根是()()(A)x=3 (B)x(A)x=3 (B)x1 1=3,x=3,x2 2=-3=-3(C)(D)(C)(D)【解析解析】选选D.D.把选项中给出的数值代入原方程，使方程左右把选项中给出的数值代入原方程，使方程左右两边的值相等的数值，就是原方程的解或者解原方程两边的值相等的数值，就是原方程的解或者解原方程得得 ,所以所以 ,故选故选D.D.x312x3,x3 x3 12x3

27、,x3 2022-10-19442.(20102.(2010日照中考日照中考)如果关于如果关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2+px+q=0+px+q=0的的两根分别为两根分别为x x1 1=2=2，x x2 2=1=1，那么，那么p p，q q的值分别是的值分别是()()(A)-3(A)-3，2 (B)32 (B)3，-2 (C)2-2 (C)2，-3 (D)2-3 (D)2，3 3【解析解析】选选A.A.根据根与系数的关系得：根据根与系数的关系得：12bxxp2 13,a 12cx xq2,p3,q2.a即2022-10-19453.(20103.(2010上海中考上海中考)

28、已知一元二次方程已知一元二次方程 x x2 2+x-1=0+x-1=0，下列判，下列判断正确的是断正确的是()()(A)(A)该方程有两个相等的实数根该方程有两个相等的实数根(B)(B)该方程有两个不相等的实数根该方程有两个不相等的实数根(C)(C)该方程无实数根该方程无实数根(D)(D)该方程根的情况不确定该方程根的情况不确定【解析解析】选选B.=1+4=5B.=1+4=50,0,该方程有两个不相等的实数该方程有两个不相等的实数根根.2022-10-19464.(20104.(2010厦门中考厦门中考)已知关于已知关于x x的方程的方程x x2 2-4x-p-4x-p2 2+2p+2=0+2

29、p+2=0的一个的一个根为根为p,p,则则p=_.p=_.【解析解析】把把x=px=p代入方程代入方程x x2 2-4x-p-4x-p2 2+2p+2=0,+2p+2=0,得得p p2 2-4p-p-4p-p2 2+2p+2=0,+2p+2=0,即即-2p+2=0,-2p+2=0,解得解得p=1.p=1.答案答案:1 12022-10-19475.(20105.(2010成都中考成都中考)设设x x1 1,x,x2 2是一元二次方程是一元二次方程x x2 2-3x-2=0-3x-2=0的两个的两个实数根，则实数根，则x x1 12 2+3x+3x1 1x x2 2+x+x2 22 2的值为的值

30、为_._.【解析解析】由一元二次方程根与系数的关系可得：由一元二次方程根与系数的关系可得：x x1 1+x+x2 2=3,x=3,x1 1x x2 2=-2.=-2.所以所以x x1 12 2+3x+3x1 1x x2 2+x+x2 22 2=(x=(x1 1+x+x2 2)2 2+x+x1 1x x2 2=9-2=7=9-2=7.答案：答案：7 72022-10-19486.(20106.(2010成都中考成都中考)若关于若关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2+4x+2k=0+4x+2k=0有两有两个实数根，求个实数根，求k k的取值范围及的取值范围及k k的非负整数值的非负整

31、数值.【解析解析】由根的判别式可得由根的判别式可得b b2 2-4ac0-4ac0，即即4 42 2-8k0-8k0，解得，解得k2k2；k k的非负整数值为：的非负整数值为：0 0，1 1，2.2.2022-10-19497.(20107.(2010北京中考北京中考)已知关于已知关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2-4x+m-1=0-4x+m-1=0有两个相等实数根，求有两个相等实数根，求m m的值及方程的根的值及方程的根.【解析解析】由题意可知由题意可知=0.=0.即即(4)4)2 24(m4(m1)=01)=0，解得，解得m=5.m=5.当当m=5m=5时，原方程化为时，原方程化为x x2 24x+4=04x+4=0，解得，解得x x1 1=x=x2 2=2=2，所以原方程，所以原方程的根为的根为x x1 1=x=x2 2=2.=2.2022-10-1950