第02节可分离变量的微分方程课件.ppt

1、第二节第二节 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 一、一阶微分方程一、一阶微分方程 二、可分离变量的微分方程及其求解二、可分离变量的微分方程及其求解华南理工大学数学科学学院华南理工大学数学科学学院 杨立洪杨立洪 博士博士一、一阶微分方程一、一阶微分方程首先，对一阶微分方程作一次概要的介绍：首先，对一阶微分方程作一次概要的介绍：例例 一阶微分方程：一阶微分方程：20yyx可以写成可以写成 2xyy 即即 2dyxdxy也可以写成也可以写成20 xdxydy一般，一阶微分方程都具有以下三种等价形式：一般，一阶微分方程都具有以下三种等价形式：,0F x y y（）(,)yf x y(,)(,)

2、0P x y dxQ x y dy（1）（2）（3）问题：如何求解一阶微分方程？问题：如何求解一阶微分方程？难！难！问题的简化：问题的简化：以下几节我们只讨论几种特殊以下几节我们只讨论几种特殊 类型的一阶微分方程：类型的一阶微分方程：可分离变量的微分方程齐次方程一阶线性微分方程贝努利方程全微分方程二、可分离变量的微分方程及其求解二、可分离变量的微分方程及其求解 如果一阶微分方程能化成如果一阶微分方程能化成(特点特点:左边只含有变量左边只含有变量y y和和dydy；右边只含有变量；右边只含有变量x x和和dxdx)（4）()()M y dyN x dx的形式，则该一阶微分方程称为可分离变量的的形

3、式，则该一阶微分方程称为可分离变量的微分方程微分方程 什么方程是可分离变量的微分方程呢？什么方程是可分离变量的微分方程呢？形如形如()()dyh x g ydx（5）1212()()()()0P x P y dxQ x Q y dy（6）的一阶微分方程都是的一阶微分方程都是可分离变量的微分方程。可分离变量的微分方程。或或第二步：两边积分第二步：两边积分解法解法：第一步：分离变量第一步：分离变量()()dyh x dxg y或或 2121()()()()Q yP xdydxP yQ x()()dyh x dxg y或或 2121()()()()Q yP xdydxP yQ x()()dyh x

4、dxg y 针对针对()G y和和 依次为依次为()h x1()g y和和 的原函数，的原函数，设设()H x为为微分方程的解微分方程的解(又叫隐式通解又叫隐式通解)()()G yH xC则则 三、例题三、例题 例例1 求微分方程求微分方程 2dyxydx的通解的通解 解解 原方程是一个可分离变量的方程；原方程是一个可分离变量的方程；分离变量分离变量 2dyxdxy两边积分两边积分 2dyxdxy得：得：21ln yxC从而从而 221CxxyeeC e （C任意常数），任意常数），即即 2xyCe为所求通解。为所求通解。例例2 求解初值问题求解初值问题 20|2xdxxydyy dxydyy

5、解解 原方程化为原方程化为21(1)0ydxyx dy（）它是可分离变量方程它是可分离变量方程分离变量分离变量 211dxydyxy两边积分两边积分 211dxydyxy得：得：211ln(1)ln(1)2xyC 即：即：212ln(1)ln(1)2xyC记记 12lnCC则通解为则通解为 22(1)(1)xCy 将将 0|2xy代入上式，得代入上式，得 13C 故所求特解为故所求特解为 223(1)1yx解解 设设 MM t（）由题设，有由题设，有 00(0)|tdMMdtMM 这是一个可分离变量的方程。这是一个可分离变量的方程。分离变量分离变量 dMdtM 例例3 衰变问题：已知镭的分解速

6、度与所存镭衰变问题：已知镭的分解速度与所存镭 的质量的质量M 成正比，已知成正比，已知 00|tMM，求各个时，求各个时t的存镭量。的存镭量。刻刻两边积分两边积分 dMdtM lnlnMtc ，即即 tMce由初始条件由初始条件 00|tMM，得，得 00Mcec 0tMM e为所求为所求 例例4 求方程求方程()()0f xy ydxg xy xdy的通解。的通解。这是一个可分离变量方程。这是一个可分离变量方程。解解 令令 uxy，则，则 duxdyydx()()0duydxf u ydxg u xx()()()0uf ug udxg u dux分离变量分离变量()1()()g ududxu

7、 f ug ux()1()()g ududxu f ug ux 两边积分两边积分 通解为通解为()ln|()()g uxducu f ug u本节学习内容是：本节学习内容是：1.可分离变量方程的可分离变量方程的“标准型标准型”；四、小结四、小结2.分离变量法步骤：分离变量法步骤：(1)分离变量分离变量;(2)两边积分两边积分;(3)求得隐式通解求得隐式通解 五、重点五、重点掌握分离变量法。掌握分离变量法。六、难点六、难点对某些一阶方程，寻找变量找换，对某些一阶方程，寻找变量找换，将原方程将原方程化为可分离变量方程。化为可分离变量方程。七、主要题型七、主要题型1.对可分离变量的一阶微分方程，求通

8、解和特解对可分离变量的一阶微分方程，求通解和特解 2.简单的应用题简单的应用题八、学习方法指导八、学习方法指导 熟记熟记“标准型标准型”，掌握可分离变量方程，掌握可分离变量方程的特征和一些简单的变量代换；会使用分离的特征和一些简单的变量代换；会使用分离变量法，并要加强不定积分运算训练。变量法，并要加强不定积分运算训练。九、常见问题辅导：九、常见问题辅导：1.为什么在微分方程中，为什么在微分方程中，1ln|duuCu和和 1lnduuCu常常通用，而不严格区分其常常通用，而不严格区分其的细微之处？的细微之处？答：答：我们用一个例子来说明：我们用一个例子来说明：2dyxydx 例例 求解微分方程求

9、解微分方程 的通解的通解 解一解一 原方程是一个可分离变量的方程；原方程是一个可分离变量的方程；2dyxdxy分离变量且分离变量且 两边积分两边积分：得：得：21ln yxC1C是任意常数；是任意常数；从而从而:221Cxxye eC e C 是任意常数，是任意常数，2xyCe即即 为所求通解。为所求通解。解二解二 原方程是一个可分离变量的方程；原方程是一个可分离变量的方程；2dyxdxy分离变量且两边积分分离变量且两边积分：，得：得：21ln yxC0y 1C是任意常数是任意常数 从而从而 221CxxyeeC eC 是任意正常数是任意正常数0y (这个表达式与解一中的表达式形式完全一样，这

10、个表达式与解一中的表达式形式完全一样，只要在此处依然理解只要在此处依然理解C C是任意常数，约束是任意常数，约束 两个解便完全一致两个解便完全一致)消失，消失，也就也就即即 2xyCe（C任意常数）为所求通解。任意常数）为所求通解。lncln|c 2.为什么有时候把积分常数为什么有时候把积分常数C写成写成、？常将常将C写成写成 1lnc1(0)c 或或 1ln|c1(0)c 这样，这样，1()yC f x。如果。如果 10c 时时 0y 也是方程的也是方程的 解，那未解，那未 1c还是任意常数。还是任意常数。于是，将解直接写成于是，将解直接写成()ycf x答：答：当积分一个微分方程出现自然对

11、数（如：当积分一个微分方程出现自然对数（如：）ln|ln()yf xc时，时，十、课堂练习十、课堂练习 1.解方程解方程 2lnxyxyey2.解微分方程初值问题解微分方程初值问题 3()0yxxdxe dy(1)1y，十一、课堂练习题解十一、课堂练习题解1.解解 这是可分离变量方程；这是可分离变量方程；分离变量分离变量 2lnxdyxe dxyy两边积分两边积分 2lnxdyxe dxyy21lnln2xyec 通解为通解为 2.解解 这是对称形式的可分离变量方程；这是对称形式的可分离变量方程；241124yexxc分离变量并积分之，得分离变量并积分之，得 通解通解 2411ln24yxxc

12、将将(1)1y代入，得代入，得 34ce故特解为故特解为 24113ln244yxxe 十二、自测题十二、自测题 一、求下列微分方程的通解：一、求下列微分方程的通解：1.()()0 x yxx yyeedxeedy23(1)0dyyxdx2.二、求下列微分方程的特解二、求下列微分方程的特解 cos sincos sinxydyyxdx1.，0|4xy 2.cos(1)sin0 xydxeydy，0|4xy三、三、（热水降温问题）设热水瓶内热水温度为（热水降温问题）设热水瓶内热水温度为T，室温为室温为To，时间单位为小时，根据试验，热水，时间单位为小时，根据试验，热水温度降低率与温度降低率与 T

13、To成正比，求成正比，求T与与t的函数关系的函数关系.又设又设 020T0t 24t，时时T100，T50，问几小时后水温为问几小时后水温为95？时时十三、自测题题解十三、自测题题解一、一、1解解 这是可分离变量方程，这是可分离变量方程，分离变量并两边积分，得分离变量并两边积分，得：11xyxeyedydxee 通解为通解为 1(1)xyeec（）一、一、2解解 这是可分离变量方程，这是可分离变量方程，23(1)ydyx dx 344(1)3yxc 通解为通解为 分离变量并两边积分得：分离变量并两边积分得：sinsincoscosyxdydxyx二、二、1解解 这是可分离变量方程，这是可分离变

14、量方程，分离变量，两边积分得分离变量，两边积分得 lncoslncoslnyxc即：即：coscosycx将将 0|4xy代入得代入得 12c 故特解为故特解为 2coscosyx二、二、2 解解 这是对称形式的可分离变量方程；这是对称形式的可分离变量方程；分离变量，两边积分，得分离变量，两边积分，得sincos1xxyedydxye ln cosln(1)lnxyec 故故 cos1xyc e为通解为通解 将将 04xy代入，得代入，得 24c 故特解为故特解为 4cos21xye三、解三、解 设设 TT t，由题设，有，由题设，有 0,0dTk TTkdt 这是可分离的变量方程，这是可分离的变量方程，又将初始条件代入，可求得又将初始条件代入，可求得 1880,ln243ck故有故有8ln2432080tTe令令 95TC时，时，1.58t（小时）（小时）0ktTTce其通解为其通解为