第13章结构的稳定计算课件.ppt

1、第第13章结构的稳定计算章结构的稳定计算 本章教学基本要求：了解结构的三种平衡状态及两类本章教学基本要求：了解结构的三种平衡状态及两类稳定问题，了解稳定计算的核心内容是计算临界荷载。稳定问题，了解稳定计算的核心内容是计算临界荷载。掌握用静力法和能量法确定压杆临界荷载的基本原理，掌握用静力法和能量法确定压杆临界荷载的基本原理，并能应用于计算理想压杆第一类稳定问题的临界力。并能应用于计算理想压杆第一类稳定问题的临界力。本章教学内容的重点：准确地理解稳定问题的基本概本章教学内容的重点：准确地理解稳定问题的基本概念，应用静力法和能量法确定压杆的临界力。念，应用静力法和能量法确定压杆的临界力。本章教学内

2、容的难点：稳定问题的实质；临界状态的本章教学内容的难点：稳定问题的实质；临界状态的静力特征和能量特征；可划分为弹性支座问题中弹簧刚静力特征和能量特征；可划分为弹性支座问题中弹簧刚度的计算；稳定方程的建立和求解。度的计算；稳定方程的建立和求解。本章内容简介本章内容简介:13.1概述概述13.2确定临界荷载的静力法确定临界荷载的静力法13.3确定临界荷载的能量法确定临界荷载的能量法13.4直杆的稳定直杆的稳定13.1概述概述一、稳定计算的意义一、稳定计算的意义为了保证结构的安全和正常使用，除了进行强度计为了保证结构的安全和正常使用，除了进行强度计算和刚度验算外，还须计算其稳定性。算和刚度验算外，还

3、须计算其稳定性。为了保证结构的安全和正常使用，除了进行强度计为了保证结构的安全和正常使用，除了进行强度计算和刚度验算外，还须计算其稳定性。算和刚度验算外，还须计算其稳定性。二、三种平衡状态二、三种平衡状态 轴心受压杆件受到轻微干扰而稍微偏离了它原来的直轴心受压杆件受到轻微干扰而稍微偏离了它原来的直线平衡位置，当干扰消除后线平衡位置，当干扰消除后 该杆件能够回到原来的平衡位置，则原来的平衡状态该杆件能够回到原来的平衡位置，则原来的平衡状态称为称为稳定平衡状态稳定平衡状态。该杆件继续偏离，不能回到原来的平衡位置，则原来该杆件继续偏离，不能回到原来的平衡位置，则原来的平衡状态称为的平衡状态称为不稳定

4、平衡状态不稳定平衡状态 该杆件在新位置上就地静止并平衡，则原来的平衡状该杆件在新位置上就地静止并平衡，则原来的平衡状态称为态称为随遇平衡状态随遇平衡状态（或（或中性平衡状态中性平衡状态），亦称），亦称临界临界状态状态。对轴心受压对轴心受压件施以干扰件施以干扰无干扰的平衡状态无干扰的平衡状态干扰后的平衡状态干扰后的平衡状态撤除干扰撤除干扰恢复原平衡状态恢复原平衡状态继续偏离继续偏离新位置保持平衡新位置保持平衡临界状态临界状态：是由稳定平衡向不稳定平衡过渡的中介状态。：是由稳定平衡向不稳定平衡过渡的中介状态。使杆件处于临界状态的外力称为使杆件处于临界状态的外力称为临界荷载临界荷载，以，以FPcr表

5、示。表示。它既是使杆件保持稳定平衡的最大荷载，也是使杆件它既是使杆件保持稳定平衡的最大荷载，也是使杆件产生不稳定平衡的最小荷载。产生不稳定平衡的最小荷载。二、三种平衡状态二、三种平衡状态 三、稳定计算的核心内容三、稳定计算的核心内容 PcrF对于单个荷载，要确定临界荷载对于单个荷载，要确定临界荷载cr对于一组荷载或均布荷载，则要确定荷载的对于一组荷载或均布荷载，则要确定荷载的临界参数临界参数小挠度理论和大挠度理论小挠度理论和大挠度理论结构稳定问题只有根据大挠度理论才能得出精确的结结构稳定问题只有根据大挠度理论才能得出精确的结论；论；小挠度理论可以用比较简单的办法得到能满足工程需小挠度理论可以用

6、比较简单的办法得到能满足工程需要的基本正确的结论。要的基本正确的结论。该二理论均以变形后的位形为计算依据，所不同的是，该二理论均以变形后的位形为计算依据，所不同的是，小挠度理论的曲率采用近似表达式，而大挠度理论的小挠度理论的曲率采用近似表达式，而大挠度理论的曲率采用精确表达式。曲率采用精确表达式。三、两类稳定问题三、两类稳定问题 失稳失稳：随着荷载的逐渐增大，原始平衡状态丧失其稳定性：随着荷载的逐渐增大，原始平衡状态丧失其稳定性 第一类失稳：第一类失稳：分支点失稳分支点失稳O1D稳定平衡随遇平衡不稳定平衡DFPcrABCPFFP/2ll/2(稳定)(不稳定)(大挠度理论)(小挠度理论)简支压杆

7、的理想体系的平衡路径简支压杆的理想体系的平衡路径O1D稳定平衡随遇平衡不稳定平衡DFPcrABCPFFP/2ll/2(稳定)(不稳定)(大挠度理论)(小挠度理论)22PPcrFFEI l压杆单纯受压，不发生弯曲变形（挠度压杆单纯受压，不发生弯曲变形（挠度D D0）。仅）。仅有惟一平衡形式有惟一平衡形式直线形式的原始平衡状态，是直线形式的原始平衡状态，是稳定的，对应原始平衡路径稳定的，对应原始平衡路径（OAB表示）。表示）。O1D稳定平衡随遇平衡不稳定平衡DFPcrABCPFFP/2ll/2(稳定)(不稳定)(大挠度理论)(小挠度理论)PPcrFF具有两种平衡形式具有两种平衡形式：一是直线形式的

8、一是直线形式的原始平衡状态原始平衡状态，是不稳定的，对应原，是不稳定的，对应原始平衡路径始平衡路径I（由（由BC表示）表示）二是弯曲形式的二是弯曲形式的新的平衡状态新的平衡状态，对应平衡路径，对应平衡路径II（对于（对于大挠度理论，用曲线大挠度理论，用曲线BD表示；对于小挠度理论，表示；对于小挠度理论，曲线曲线BD退化为直线退化为直线BD1）O1D稳定平衡随遇平衡不稳定平衡DFPcrABCPFFP/2ll/2(稳定)(不稳定)(大挠度理论)(小挠度理论)PPcrFFB点是路径点是路径与与的的分支点分支点（也可理解为（也可理解为共解点共解点）。）。该分支点处，二平衡路径同时并存，出现该分支点处，

9、二平衡路径同时并存，出现平衡形式平衡形式的二重性的二重性（其平衡既可以是原始直线形式，也可以（其平衡既可以是原始直线形式，也可以是新的微弯形式）。是新的微弯形式）。原始平衡路径原始平衡路径I在该分支点处，由稳定平衡转变为不在该分支点处，由稳定平衡转变为不稳定平衡。稳定平衡。因此，这种形式的失稳因此，这种形式的失稳称为称为分支点失稳分支点失稳，对应，对应的荷载称为第一类失稳的荷载称为第一类失稳的的临界荷载临界荷载，对应的状，对应的状态称为态称为临界状态临界状态。crqFPcrPcrFFPcra)受静水压力的圆弧拱单纯受静水压力的圆弧拱单纯受压受压转为压弯组合变形转为压弯组合变形b)框架各柱单纯受

10、压框架各柱单纯受压转为压弯组合变形转为压弯组合变形c)梁平面弯曲梁平面弯曲转为转为斜弯曲和扭转组合变形斜弯曲和扭转组合变形分支点失稳的几个实例分支点失稳的几个实例理想体系的失稳形式是理想体系的失稳形式是分支点失稳分支点失稳。其特征是：丧失稳。其特征是：丧失稳定时，结构的内力状态和平衡形式均发生质的变化。因定时，结构的内力状态和平衡形式均发生质的变化。因此，亦称此，亦称质变失稳质变失稳（属屈曲问题）。（属屈曲问题）。第二类失稳：第二类失稳：极值点失稳极值点失稳 PcrFO极值点Euler-FPcr初始D弹塑性工程柱弹性工程柱CBAPFeeFPFP0PF塑性a)初弯曲柱初弯曲柱b)初偏心柱初偏心柱

11、c)初偏心柱的初偏心柱的FP-D D 曲线曲线当达到当达到C点后，即使荷载点后，即使荷载减小，挠度仍继续迅速增减小，挠度仍继续迅速增大，即失去平衡的稳定性。大，即失去平衡的稳定性。称为极值点失稳。称为极值点失稳。与极值点对应的荷载称为与极值点对应的荷载称为第二类失稳的临界荷载。第二类失稳的临界荷载。PcrFO极值点Euler-FPcr初始D弹塑性工程柱弹性工程柱CBAPFeeFPFP0PF塑性平衡路径以曲线平衡路径以曲线OBA表示。表示。按照小挠度理论，对于具有初偏心的弹塑性实际压杆按照小挠度理论，对于具有初偏心的弹塑性实际压杆（弹塑性工程柱），（弹塑性工程柱），C点为极值点，荷载达到极限值。

12、点为极值点，荷载达到极限值。在达到在达到C点之前，每个值都对应着一定的变形挠度；点之前，每个值都对应着一定的变形挠度；第二类失稳：第二类失稳：极值点失稳极值点失稳 非理想体系的失稳形式是极值点失稳。其特征是：丧失稳非理想体系的失稳形式是极值点失稳。其特征是：丧失稳定时，结构没有内力状态和平衡形式质的变化，而只有两定时，结构没有内力状态和平衡形式质的变化，而只有两者量的渐变。因此，亦称为者量的渐变。因此，亦称为量变失稳量变失稳（属压溃问题）。（属压溃问题）。PcrFO极值点Euler-FPcr初始D弹塑性工程柱弹性工程柱CBAPFeeFPFP0PF塑性第二类失稳：第二类失稳：极值点失稳极值点失稳

13、 五、稳定问题的实质五、稳定问题的实质 强度问题的实质是一个通过对结构的内力分析，来强度问题的实质是一个通过对结构的内力分析，来确定构件最大应力的位置和数值的问题。确定构件最大应力的位置和数值的问题。稳定问题的实质是一个通过对结构的变形分析，计稳定问题的实质是一个通过对结构的变形分析，计入附加荷载效应之后，来判断结构的原有位形是否入附加荷载效应之后，来判断结构的原有位形是否能保持稳定平衡的问题。能保持稳定平衡的问题。七、七、稳定分析的自由度稳定分析的自由度体系稳定分析的自由度体系稳定分析的自由度确定结构失稳时所有的变形状确定结构失稳时所有的变形状态所需的独立几何参数（位移参数）的数目，用态所需

14、的独立几何参数（位移参数）的数目，用W表示。表示。)x(yxEI=EI2yy1FPFPPF0EI=0a)W=1b)W=2c)W=13.2确定临界荷载的静力法确定临界荷载的静力法一、一、静力法及其计算步骤静力法及其计算步骤静力法静力法，根据临界状态的静力特征而提出的，根据临界状态的静力特征而提出的。在分支点失稳问题中，临界在分支点失稳问题中，临界状态的状态的静力特征静力特征是：是：平衡形平衡形式具有二重性。静力法的要式具有二重性。静力法的要点是：在原始平衡路径之外，点是：在原始平衡路径之外，寻找新的平衡路径，确定二寻找新的平衡路径，确定二者交叉的分支点，从而求出者交叉的分支点，从而求出临界荷载。

15、临界荷载。O1D稳定平衡随遇平衡不稳定平衡DFPcrABCPFFP/2ll/2(稳定)(不稳定)(大挠度理论)(小挠度理论)1）假设临界状态时体系的新的平衡形式）假设临界状态时体系的新的平衡形式(失稳形式失稳形式)。2）根据静力平衡条件，建立）根据静力平衡条件，建立临界状态平衡方程临界状态平衡方程。3）根据平衡具有二重性静力特征）根据平衡具有二重性静力特征(位移有非零解位移有非零解)，建，建立特征方程，习惯称立特征方程，习惯称稳定方程稳定方程。4）解稳定方程，求特征根，即）解稳定方程，求特征根，即特征荷载值特征荷载值。5）由最小的特征荷载值，确定临界荷载）由最小的特征荷载值，确定临界荷载(结构

16、所能承结构所能承受的压力必须小于这个最小特征荷载值，才能维持受的压力必须小于这个最小特征荷载值，才能维持其稳定平衡其稳定平衡)。静力法计算步骤静力法计算步骤（2）建立临界状态的平衡方程建立临界状态的平衡方程 二、静力法计算示例二、静力法计算示例BRFCkPFAOC1Bkl=PcrF1BBABAlFPFPEI0=(稳定)(不稳定)(随遇平衡)BRFCkPFAOC1Bkl=PcrF1BBABAlFPFPEI0=(稳定)(不稳定)(随遇平衡)以图示的一个单自由度体系为例。以图示的一个单自由度体系为例。（1）假设失稳形式，如图所示）假设失稳形式，如图所示0AMPR0BF lF lRBFkl2P()0F

17、 lkl弹簧反力弹簧反力于是有于是有00方程有两个解，其一为零解，方程有两个解，其一为零解，对应于原始平衡路径对应于原始平衡路径I(图中图中OAB)；其二为非零解，；其二为非零解，对应于新的平衡路径对应于新的平衡路径II(图中图中AC或或AC1)（2）建立临界状态的平衡方程建立临界状态的平衡方程 二、静力法计算示例二、静力法计算示例以图示的一个单自由度体系为例。以图示的一个单自由度体系为例。（1）假设失稳形式，如图所示）假设失稳形式，如图所示（3）建立稳定方程：建立稳定方程：2P()0F lklBRFCkPFAOC1Bkl=PcrF1BBABAlFPFPEI0=(稳定)(不稳定)(随遇平衡)（

18、2）建立临界状态的平衡方程建立临界状态的平衡方程 二、静力法计算示例二、静力法计算示例（1）假设失稳形式，如图所示）假设失稳形式，如图所示（3）建立稳定方程：建立稳定方程：2P()0F lklBRFCkPFAOC1Bkl=PcrF1BBABAlFPFPEI0=(稳定)(不稳定)(随遇平衡)为了得到非零解，方程的系数应为零为了得到非零解，方程的系数应为零FPlkl20 称为称为稳定方程稳定方程。由此方程知，平衡路径由此方程知，平衡路径为水平直线。为水平直线。（2）建立临界状态的平衡方程建立临界状态的平衡方程 二、静力法计算示例二、静力法计算示例（1）假设失稳形式，如图所示）假设失稳形式，如图所示

19、（3）建立稳定方程建立稳定方程BRFCkPFAOC1Bkl=PcrF1BBABAlFPFPEI0=(稳定)(不稳定)(随遇平衡)FPlkl20（4）解稳定方程，求特征荷载值：）解稳定方程，求特征荷载值：PFkl PcrFkl （5）确定临界荷载：对于单自由度体系，该惟一的特征）确定临界荷载：对于单自由度体系，该惟一的特征荷载值即为临界荷载荷载值即为临界荷载【例【例13-1】图示两个自由度的体系。各杆均为刚性杆，在铰结点】图示两个自由度的体系。各杆均为刚性杆，在铰结点B和和C处为弹簧支承，其刚度系数均为处为弹簧支承，其刚度系数均为k。体系在。体系在A、D两端有压力作两端有压力作用。试用静力法求其

20、临界荷载。用。试用静力法求其临界荷载。(1)假设失稳形式，如图所示。位移参数为假设失稳形式，如图所示。位移参数为y1和和 y22yy11BC1=FDyPF y2ll1yFPAyF=FR22kyky1R1F=FAxFPABCDPFlllkkPFDCBA=EI02yy11BC1=FDyPF y2ll1yFPAyF=FR22kyky1R1F=FAxFPABCDPFlllkkPFDCBA=EI0各支座反力分别为别计算如图示各支座反力分别为别计算如图示（2）建立临界状态平衡方程：分别取）建立临界状态平衡方程：分别取A-B1-C1部分和部分和B1-C1-D部分为隔离体，则有部分为隔离体，则有 1111()

21、()00CBCBMM以左部分以右部分P11P2P22P1()20()20F yky llF ylF yky llF ylP1P2P1P2(2)0(2)0klFyF yF yklFy 关于位移参数为关于位移参数为y1和和 y2的齐次线性方程组的齐次线性方程组 2yy11BC1=FDyPF y2ll1yFPAyF=FR22kyky1R1F=FAxFPABCDPFlllkkPFDCBA=EI0120yyPPPP202klFFDFklF建立稳定方程：建立稳定方程：则对应于原始平衡形式，相应于没有丧失稳定的情况则对应于原始平衡形式，相应于没有丧失稳定的情况1y2y不全为零，则对应于相应新的平衡形式不全为

22、零，则对应于相应新的平衡形式此方程就是稳定方程。此方程就是稳定方程。解稳定方程，求特征荷载值：22PP(2)0klFF13FklP2FklP3FklPcr由此解得两个特征荷载值，即由此解得两个特征荷载值，即确定临界荷载值：取二特征荷载值中最小者，得确定临界荷载值：取二特征荷载值中最小者，得【讨论】将以上二特征荷载值分别回代，可求得对应位【讨论】将以上二特征荷载值分别回代，可求得对应位移参数的比值。移参数的比值。2y=y1y11C1BP2F=klCDBA3kl=FPcr=FP11y=y21y1CB1ABCDa)反对称失稳（实际失稳形式）反对称失稳（实际失稳形式）b)正对称失稳正对称失稳【例【例1

23、3-2】试用静力法求图所示结构的临界荷载。弹簧刚度】试用静力法求图所示结构的临界荷载。弹簧刚度系数为系数为k。(1)假设失稳形式，如图所示，位移参数为假设失稳形式，如图所示，位移参数为d d。ClFPRFkPFFP1BABDClllFPCDBAEI0=1DClFPRFkPFFP1BABDClllFPCDBAEI0=1D0CM()2()0FlFklldddPP(3)0FkldP30FklP建立临界状态平衡方程：建立稳定方程：ClFPRFkPFFP1BABDClllFPCDBAEI0=1D未知量d 有非零解的条件是P3klF PcrP3klFF解稳定方程，得特征荷载值解稳定方程，得特征荷载值确定临

24、界荷载为确定临界荷载为三、无限自由度体系的稳定计算三、无限自由度体系的稳定计算(静力法静力法)用静力法计算无限自由度体系稳定问题有两个特点：用静力法计算无限自由度体系稳定问题有两个特点：FPFRyy0EIyxlxO用静力法计算图示弹性理想压杆的临界荷载。用静力法计算图示弹性理想压杆的临界荷载。（1）假设失稳形式，如图中实线所示。）假设失稳形式，如图中实线所示。（2）建立临界状态平衡方程：）建立临界状态平衡方程：EIyM MF yF xPR第二，临界状态平衡方程为微分方程。第二，临界状态平衡方程为微分方程。第一，位移参数为无穷多个；第一，位移参数为无穷多个；按小挠度理论，压杆弹性曲线的按小挠度理

25、论，压杆弹性曲线的近似微分方程为近似微分方程为EIyF yF x PRFFyyxEIEI PR2FEIP2FyyxEI RFPFRyy0EIyxlxO这是关于位移参数这是关于位移参数y的的非齐次常微分方程非齐次常微分方程。（3）建立稳定方程：）建立稳定方程：cossinFyAxBxxFRP上式的通解为上式的通解为 常数A、B和未知力FR/FP可由边界条件确定：0 x 0y 0Axl0y 0y sin0cos0FBllFFBlFRPRP cossinFyAxBxxFRPFPFRyy0在位于凸面上不稳定平衡情况下，其势能 EP最大。当受到最大。当受到某外界干扰使它偏离原平衡位置时，小球重心将下降，

26、从某外界干扰使它偏离原平衡位置时，小球重心将下降，从而势能减小，即而势能减小，即 D D EP 00PEEP0ABPFB1lEI弹性中心压杆，若由于某种外因使压杆发生横向弯曲，杆件的应变能将会增加(增加了弯曲应变能)，杆件的荷载势能将会减小 整个体系的势能的增量为PPEUU体系处于随遇平衡状态时，势能的增量恒等于零 即即 D D EP 0P0UUPUW UW铁木辛柯能量法 1、有限自由度体系的稳定（铁木辛柯法）、有限自由度体系的稳定（铁木辛柯法）用能量法重解上节图用能量法重解上节图13-6所示刚性中心压杆的临界荷载。所示刚性中心压杆的临界荷载。第一，假设失稳形式，如图实第一，假设失稳形式，如图

27、实线所示，位移参数为线所示，位移参数为 。第二，根据临界状态的能量特征第二，根据临界状态的能量特征 AlBkRF=lkFPPFl=y1B1Bcosll=0EIUW建立临界状态平衡方程建立临界状态平衡方程 荷载功的增量为AlBkRF=lkFPPFl=y1B1Bcosll=0EIPWFD222cos1cos112sin2sin2222llllllD 22lD212ylD2P2F lW2122k lUkllAlBkRF=lkFPPFl=y1B1Bcosll=0EI22P22k lF l2P0klF此即临界状态平衡方程。这是一个以 为未知量的齐次方程。能量法以下的步骤与静力法完全相同 PcrFkl能量

28、法计算临界荷载，按以下步骤进行：1)假定失稳形式。2)根据能量特征 建立临界状态方程（即以能量形式表示的临界状态平衡方程）。3)由位移有非零解的条件，建立稳定方程。4)解稳定方程，求特征荷载值。UW5)由最小特征荷载值，确定临界荷载。【例【例13-4】试用能量法重解上节例】试用能量法重解上节例13-1图图13-7a所示具有所示具有两个自由度体系的临界荷载。两个自由度体系的临界荷载。（1）假设失稳形式，如图所示。ABCDFPkklllFPDCBAPFAxF=FR11kyky2R2F=FAyPF y1ll2yFPDyF=1CB11y-y21y1Dy2=0EIABCDFPkklllFPDCBAPFA

29、xF=FR11kyky2R2F=FAyPF y1ll2yFPDyF=1CB11y-y21y1Dy2=0EI根据UW建立临界状态能量方程：荷载功的增量为PWF 22222121211221122yyyyyy yylDABCDFPkklllFPDCBAPFAxF=FR11kyky2R2F=FAyPF y1ll2yFPDyF=1CB11y-y21y1Dy2=0EI22P1122FWyy yyl2211221211222kUkyykyyyy又弹性支座的应变能增量为2212P2211222yyklFyy yyP2klAFB2212Ayy221122Byy yy2110ABBAByyP10FyP20Fy1

30、10AAByBy220AAByBy P1P2P1P22020klFyF yF yklFy 能量法以下的计算步骤与静力法完全相同能量法以下的计算步骤与静力法完全相同 PPcrP min3F lFF2、无限自由度体系的稳定（铁木辛柯法）、无限自由度体系的稳定（铁木辛柯法）现以图示弹性中心压杆为例现以图示弹性中心压杆为例 xxdyFPx(1-=dcoscosd ddyyyxPFdxlxd=ds)dxBAEIB1取压杆直线平衡位置作为参考状取压杆直线平衡位置作为参考状态。假设失稳形式，如图实线所态。假设失稳形式，如图实线所示，示，y(x)为满足位移边界条件的为满足位移边界条件的任一可能位移状态。任一可

31、能位移状态。220011dd22llEIyMUxxEIEI201d2lUEI yxxxdyFPx(1-=dcoscosd ddyyyxPFdxlxd=ds)dxBAEIB1xxdyFPx(1-=dcoscosd ddyyyxPFdxlxd=ds)dxBAEIB1取微段dx进行分析，微段两端点竖向位移的差值为 d1cosdxD24cos12!4!按泰勒级数展开 tany略去高阶微量，则可改写为 2211ddd22xyxD2001dd2llyx荷载功的增量2PP0d2lFWFyxDxxdyFPx(1-=dcoscosd ddyyyxPFdxlxd=ds)dxBAEIB120P20ddllEI yx

32、FyxUW20Pcr20dmindllEI yxFyx临界荷载的计算公式为()yx20Pcr20dmindllEI yxFyx用铁木辛柯能量法计算无限自由度体系的临界荷载，可采用以下计算步骤：1)假设失稳形式y(x)。2)计算y(x)和3)代入铁木辛柯能量法公式（13-6），计算临界荷载PFxyylxBB1AEI【例【例13-5】试用能量法计算图示两端简支的中心压杆的临界】试用能量法计算图示两端简支的中心压杆的临界荷载。荷载。假设变形曲线为二次抛物线2yaxbxc引入边界条件 0 x xl0y 0c bal 2ya xlxlEIaxyEIl2204d 分子 3d3220laxyl分母Pcr21

33、2EIFl误差为21.6%假设以横向均布荷载作用下的变形曲线作为屈曲时近似变形曲线，即PFxyylxBB1AEI323224qxyx-x llEIPcr29 8824.EIFlx=0,x=l处的几何边界条件 仍能满足仍能满足误差仅为0.13%PFxyylxBB1AEI假设变形曲线为正弦曲线假设变形曲线为正弦曲线sinxyal同样能满足几何边界条件。变形曲线同样能满足几何边界条件。变形曲线只含一个位移参数只含一个位移参数a，即作为单自由，即作为单自由度体系看待度体系看待 2Pcr2 EIFl用静力法所得精确结果完全相同。这是因为所设的变形用静力法所得精确结果完全相同。这是因为所设的变形曲线式与实

34、际屈曲时的变形曲线完全一致曲线式与实际屈曲时的变形曲线完全一致 第一，用能量法求临界荷载，须第一，用能量法求临界荷载，须事先假定屈曲时的变事先假定屈曲时的变形曲线形曲线，得到的是对应的近似解。，得到的是对应的近似解。第二，用能量法求解临界荷载的关键是：假定的变形第二，用能量法求解临界荷载的关键是：假定的变形曲线曲线y(x)必须合适，应尽可能接近实际屈曲形式又便于必须合适，应尽可能接近实际屈曲形式又便于计算。为此，所假设的变形曲线最好能同时满足计算。为此，所假设的变形曲线最好能同时满足几何边几何边界条件界条件（支座处的挠度（支座处的挠度 D D和转角和转角q）与）与静力边界条件静力边界条件（支座

35、处的弯矩（支座处的弯矩M和剪力和剪力FQ），），至少应使几何边界条件至少应使几何边界条件得到满足得到满足；同时，所假设的变形曲线必须便于积分运算。；同时，所假设的变形曲线必须便于积分运算。第三，用能量法求得的临界荷载都大于精确值。假设第三，用能量法求得的临界荷载都大于精确值。假设的变形形式与实际变形不一致。相当于在压杆中加入了的变形形式与实际变形不一致。相当于在压杆中加入了某些附加约束，提高了压杆的刚度。某些附加约束，提高了压杆的刚度。通过以上算例，可以指出以下几点：通过以上算例，可以指出以下几点：三、势能驻值原理和瑞利李兹能量法三、势能驻值原理和瑞利李兹能量法 势能驻值原理势能驻值原理可表述

36、为：在弹性体系的所有几何可能位可表述为：在弹性体系的所有几何可能位移状态中，其真实的位移状态使总势能为驻值，即总势移状态中，其真实的位移状态使总势能为驻值，即总势能的一阶变分能的一阶变分 P0E 极大、极小或始终保持不变极大、极小或始终保持不变 由此得到的驻值条件等价于平衡条件由此得到的驻值条件等价于平衡条件 仅驻值条件还不能保证体系变形状态的稳定性，因为仅驻值条件还不能保证体系变形状态的稳定性，因为体系的平衡状态有体系的平衡状态有稳定的稳定的、不稳定不稳定的和的和随遇平衡随遇平衡三种，三种，要最终判别平衡状态究竟属于哪一种，还必须对总势要最终判别平衡状态究竟属于哪一种，还必须对总势能作进一步

37、研究。能作进一步研究。研究结构变形状态是否稳定必须进一步考察总势能研究结构变形状态是否稳定必须进一步考察总势能的的二阶变分二阶变分 2PP2PPP2PP0000EEEEEEE，该变形状态使最小，稳定平衡；，且，该变形状态附近使不变，随遇平衡；，该变形状态使最大，不稳定平衡。1、有限自由度体系的稳定（瑞利法）、有限自由度体系的稳定（瑞利法）设取该图中双点画线所示初始平衡设取该图中双点画线所示初始平衡位置为参考状态。假设失稳形式如位置为参考状态。假设失稳形式如实线所示，位移参数为实线所示，位移参数为 。k=MAAkB1Bll2/2=lFPFPEI=0k=MAAkB1Bll2/2=lFPFPEI=0

38、其总势能为 PPEUU弹簧的应变能 211()22Ukk 荷载势能 PPUWFD 2/2lD22PPP22F llUF 体系总势能 222PPPP11222F lEUUkkF l=0EPddPE 0EPddPE=0PcrFFPPF=FPcrPcrF点公切正O0(正定的)0PEEPD0(负定的)第一，当体系处于稳定平衡状态时，其势能必为最小。因此，第一，当体系处于稳定平衡状态时，其势能必为最小。因此，体系由稳定平衡状态过渡到不稳定平衡状态时，相应体系的体系由稳定平衡状态过渡到不稳定平衡状态时，相应体系的总势能总势能EP就由正定过渡到非正定。就由正定过渡到非正定。第二，当体系处于随遇平衡状态，即如

39、以初始平衡位置作为第二，当体系处于随遇平衡状态，即如以初始平衡位置作为参考状态，则必有总势能参考状态，则必有总势能 恒为恒为02、无限自由度体系的稳定、无限自由度体系的稳定(瑞利瑞利-李兹法李兹法)图示为一弹性中心压杆。设取压杆在图示为一弹性中心压杆。设取压杆在直线平衡的位置作为参考状态，则对直线平衡的位置作为参考状态，则对任一几何可能位移，它的总势能为任一几何可能位移，它的总势能为ylxPFyFPxBB1EIAPEUUUFDPP体系在临界状态时其总势能恒为体系在临界状态时其总势能恒为0 UF DPU和和D D均与所取体系几何可能位移有关。均与所取体系几何可能位移有关。对弹性杆而言，其几何可能

40、位移可有无对弹性杆而言，其几何可能位移可有无限个，因此，满足式的限个，因此，满足式的FP值就不止一个值就不止一个 PcrminFUD设弹性杆的任一个几何可能位移用y(x)表示，若只考虑弯曲变形的影响，则有 220011dd22llMUxEI yxEI201d2lyxD20Pcr201d2minmin1d2llEI yxUFyxD在求解比较复杂的问题时，上面所设的弹性曲线方程式常常难以满足全部边界条件，其形状也很难与实际情况完全一致。因此，常采用下面介绍的李兹法，采用包含若干参数的组合形式的变形曲线去逼近真实曲线，即 11221nnniiiy xaxaxaxax 1,2,ixin是满足位移边界条

41、件的已知函数，ai是待定的参数，共有n个。这样，无限自由度体系被近似地看成具有n个自由度的体系。20121212011d,2minminmin,1d2nliininlniiiEIaxxA a aaFFB a aaaxxPcrP 2011d2nliiiAEIaxx 2011d2nliiiBaxx求FP极小值，其极小条件为 0(1,2,)iFinaP20iiABBABaa0(1,2,)iiAABinaBaP0(1,2,)iiABFinaa0011()12dd2nnlliijjjijjjiiaAEIaxaEIxaa 0011()12dd2nnlliijjjijjjiiaBaxaxaa 01d0nlj

42、ijijjaEIFx P(1,2,)in0dlijijKEIx 0dlijijSFx P11121111211212222122221212000nnnnnnnnnnnnnKKKSSSaKKKSSSaKKKSSSa ()0KSa即为临界状态的能量方程 是对于待定系数 n个线性齐次方程 12,na aa有非零解的条件是，其系数行列式应为零。于是得稳定方程 0DKSn次代数方程，可求出n个根，由其中的最小根可确定临界荷载。瑞利-李兹能量法 假设失稳形式 1niiiy xax计算稳定方程的系数 0dlijijKEIx 0dlijijSFx P建立稳定方程 0DKS解稳定方程，由方程解中取荷载最小值，

43、作为最接近精确解的临界荷载的近似解 AB1BxlxyPFyEI【例【例13-6】试用瑞利李兹能量法求图示下端固定、上端铰支】试用瑞利李兹能量法求图示下端固定、上端铰支等截面压杆的临界荷载。等截面压杆的临界荷载。(1)假设失稳形式：设取变形曲线为两项形式：11222312yaxaxa xlxa xlx(2)计算稳定方程的系数 1(23)xxlx 12(3)xlx 22(34)xxlx 26(2)xx lx(3)建立稳定方程 11111212212122220KSKSDKSKS233242144151001243410535EIF lEIlF lDEIlF lEIlF lPPPP222212822400EIEIFFllPP(4)解稳定方程，其中最小特征荷载即为所求临界荷载220.9187EIFlPcr220.1906EIFlPcr误差为3.61%