第二章经典线性回归模型双变量线性回归模型课件.ppt

1、第二章第二章 经典线性回归模型：经典线性回归模型：双变量线性回归模型双变量线性回归模型 回归分析概述回归分析概述 双变量线性回归模型的参数估计双变量线性回归模型的参数估计 双变量线性回归模型的假设检验双变量线性回归模型的假设检验 双变量线性回归模型的预测双变量线性回归模型的预测 实例实例2.1 2.1 回归分析概述回归分析概述一、变量间的关系及回归分析的基本概念一、变量间的关系及回归分析的基本概念二、总体回归函数（二、总体回归函数（PRFPRF）三、随机扰动项三、随机扰动项四、样本回归函数（四、样本回归函数（SRFSRF）一、变量间的关系及回归分析的基本概念一、变量间的关系及回归分析的基本概念

2、1.变量间的关系变量间的关系（1）确定性关系确定性关系或函数关系函数关系：研究的是确定现象非随机变量间的关系。2,半径半径圆面积f（2）统计依赖）统计依赖或相关关系：相关关系：研究的是非确定现象随机变量间的关系。施肥量阳光降雨量气温农作物产量,f2.回归分析的基本概念回归分析的基本概念 回归分析回归分析(regression analysis)(regression analysis)是研究一个变量关于另一个（些）变量的具体依赖关系的计算方法和理论。其目的其目的在于通过后者的已知或设定值，去估计和（或）预测前者的（总体）均值。被解释变量被解释变量（Explained Variable）或应变应

3、变量量（Dependent Variable）。解释变量解释变量（Explanatory Variable）或自变自变量量（Independent Variable）。回归分析构成计量经济学的方法论基础，其回归分析构成计量经济学的方法论基础，其主要内容包括：主要内容包括：（1）根据样本观察值对经济计量模型参数进行估计，求得回归方程；（2）对回归方程、参数估计值进行显著性检验；（3）利用回归方程进行分析、评价及预测。二、总体回归函数二、总体回归函数 回归分析回归分析关心的是根据解释变量的已知或关心的是根据解释变量的已知或给定值，考察被解释变量的总体均值给定值，考察被解释变量的总体均值，即当解释变

4、量取某个确定值时，与之统计相关的被解释变量所有可能出现的对应值的平均值。例例2.1：一个假想的社区有100户家庭组成，要研究该社区每月家庭消费支出家庭消费支出Y与每月家庭可家庭可支配收入支配收入X的关系。即如果知道了家庭的月收入，能否预测该社区家庭的平均月消费支出水平。为达到此目的，将该100户家庭划分为组内收入差不多的10组，以分析每一收入组的家庭消费支出。表表 2.1.1 某某社社区区家家庭庭每每月月收收入入与与消消费费支支出出统统计计表表 每月家庭可支配收入X（元）800 1100 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500 561 638 869 1

5、023 1254 1408 1650 1969 2090 2299 594 748 913 1100 1309 1452 1738 1991 2134 2321 627 814 924 1144 1364 1551 1749 2046 2178 2530 638 847 979 1155 1397 1595 1804 2068 2266 2629 935 1012 1210 1408 1650 1848 2101 2354 2860 968 1045 1243 1474 1672 1881 2189 2486 2871 1078 1254 1496 1683 1925 2233 2552 11

6、22 1298 1496 1716 1969 2244 2585 1155 1331 1562 1749 2013 2299 2640 1188 1364 1573 1771 2035 2310 1210 1408 1606 1804 2101 1430 1650 1870 2112 1485 1716 1947 2200 每 月 家 庭 消 费 支 出 Y（元）2002 共计 2420 4950 11495 16445 19305 23870 25025 21450 21285 15510 由于不确定因素的影响，对同一收入水平X，不同家庭的消费支出不完全相同；但由于调查的完备性，给定收入水平

7、X的消费支出Y的分布是确定的，即以X的给定值为条件的Y的条件分布条件分布（Conditional distribution）是已知的，例如：P(Y=561|X=800）=1/4。因此，给定收入X的值Xi，可得消费支出Y的条件均值条件均值（conditional mean）或条件期望条件期望（conditional expectation）：E(Y|X=Xi)。该例中：E(Y|X=800)=605 描出散点图发现：随着收入的增加，消费“平平均地说均地说”也在增加，且Y的条件均值均落在一根正斜率的直线上。这条直线称为总体回归总体回归线线。050010001500200025003000350050

8、01000150020002500300035004000每月可支配收入X（元）每月消费支出Y（元）在给定解释变量Xi条件下被解释变量Yi的期望轨迹称为总体回归线总体回归线（population regression line），或更一般地称为总体回归曲线总体回归曲线（population regression curve）。)()|(iiXfXYE称为（双变量）总体回归函数总体回归函数（population regression function,PRF）。相应的函数：含义：含义：回归函数（PRF）说明被解释变量Y的平均状态（总体条件期望）随解释变量X变化的规律。函数形式：函数形式：可以是线

9、性或非线性的。例2.1中，将居民消费支出看成是其可支配收入的线性函数时:iiXXYE10)|(为一线性函数。线性函数。其中，0，1是未知参数，称为回归系数回归系数（regression coefficients）。三、随机扰动项三、随机扰动项 总体回归函数说明在给定的收入水平Xi下，该社区家庭平均的消费支出水平。但对某一个别的家庭，其消费支出可能与该平均水平有偏差。称为观察值围绕它的期望值的离差离差（deviation），是一个不可观测的随机变量，又称为随机干扰项随机干扰项（stochastic disturbance）或随机误差项随机误差项（stochastic error）。)|(iiiX

10、YEY 例2.1中，给定收入水平Xi,个别家庭的支出可表示为两部分之和：（1）该收入水平下所有家庭的平均消费支出E(Y|Xi)，称为系统性系统性（systematic）或确定性（确定性（deterministic)部分；部分；（2）其他随机随机或非确定性非确定性（nonsystematic)部部分分 i。称为总体回归函数（PRF）的随机设定形式。表明被解释变量除了受解释变量的系统性影响外，还受其他因素的随机性影响。由于方程中引入了随机项，成为计量经济学模型，因此也称为总体回归模型。随机误差项主要包括下列因素：随机误差项主要包括下列因素：在解释变量中被忽略的因素的影响；变量观测值的观测误差的影响

11、；模型关系的设定误差的影响；其他随机因素的影响。产生并设计随机误差项的主要原因：产生并设计随机误差项的主要原因：理论的含糊性；数据的欠缺；节省原则。四、样本回归函数（四、样本回归函数（SRF）问题：问题：能从一次抽样中获得总体的近似的信息吗？如果可以，如何从抽样中获得总体的近似信息？例例2.2：在例2.1的总体中有如下一个样本，能否从该样本估计总体回归函数PRF？表表2.1.3 家家庭庭消消费费支支出出与与可可支支配配收收入入的的一一个个随随机机样样本本 Y 800 1100 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500 X 594 638 1122 1155

12、 1408 1595 1969 2078 2585 2530 回答：能 该样本的散点图散点图（scatter diagram)：画一条直线以尽好地拟合该散点图，由于样本取自总体，可以该直线近似地代表总体回归线。该直线称为样本回归线样本回归线（sample regression lines）。）。记样本回归线的函数形式为：iiiXXfY10)(称为样本回归函数样本回归函数（sample regression function，SRF）。注意：注意：这里将样本回归线样本回归线看成总体回归线总体回归线的近似替代则 样本回归函数的随机形式样本回归函数的随机形式/样本回归模型：样本回归模型：同样地，样本

13、回归函数也有如下的随机形式：iiiiieXYY10式中，ie称为（样样本本）残残差差（或剩剩余余）项项（residual），代表了其他影响iY的随机因素的集合，可看成是i的估计量i。由于方程中引入了随机项，成为计量经济模型，因此也称为样本回归模型样本回归模型（sample regression model）。回归分析的主要目的回归分析的主要目的：根据样本回归函数SRF，估计总体回归函数PRF。即，根据 iiiiieXeYY10估计iiiiiXXYEY10)|(注意：注意：这里PRF可能永远无法知道。2.2 2.2 双变量线性回归模型的参数估计双变量线性回归模型的参数估计 一、双变量线性回归模型

14、的基本假设一、双变量线性回归模型的基本假设 二、参数的普通最小二乘估计（二、参数的普通最小二乘估计（OLSOLS）三、最小二乘估计量的性质三、最小二乘估计量的性质 四、参数估计量的概率分布及随机干四、参数估计量的概率分布及随机干 扰项方差的估计扰项方差的估计 回归分析的主要目的回归分析的主要目的是要通过样本回归函数（模型）SRF尽可能准确地估计总体回归函数（模型）PRF。估计方法估计方法有多种，其中最广泛使用的是普通最普通最小二乘法小二乘法（ordinary least squares,OLS）。为保证参数估计量具有良好的性质，通常对模型提出若干基本假设。实际这些假设与所采用的估计方法紧密相关

15、。一、线性回归模型的基本假设一、线性回归模型的基本假设-P99-100-105P99-100-105 假设1.解释变量X是确定性变量，不是随机变量；假设2.随机误差项具有零均值、同方差和无自相关：E(i)=0 i=1,2,n Var(i)=2 i=1,2,n Cov(i,j)=0 ij i,j=1,2,n 异方差XYX10XYX10序列自相关XXYX10YX10负相关正相关假设3.随机误差项与解释变量X之间不相关：Cov(Xi,i)=0 i=1,2,n 假设4.服从零均值、同方差、零协方差的正态分布 iN(0,2)i=1,2,n1.如果假设1、2满足，则假设3也满足;2.如果假设4满足，则假设

16、2也满足。注意：注意：以上假设也称为线性回归模型的经典假经典假设设或高斯（高斯（Gauss）假设）假设，满足该假设的线性回归模型，也称为经典线性回归模型经典线性回归模型（Classical Linear Regression Model,CLRM）。二、参数的普通最小二乘估计（二、参数的普通最小二乘估计（OLSOLS）给定一组样本观测值（Xi,Yi）（i=1,2,n）要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值.普通最小二乘法普通最小二乘法（Ordinary least squares,OLS）给出的判断标准是：二者之差的平方和niiiniXYYYQ121021)()(最小。最小二乘法的思路 为了精确

17、地描述Y与X之间的关系，必须使用这两个变量的每一对观察值（n组观察值），才不至于以点概面（做到全面）。Y与X之间是否是直线关系（用协方差或相关系数判断）？若是，可用一条直线描述它们之间的关系。在Y与X的散点图上画出直线的方法很多。找出一条能够最好地描述Y与X（代表所有点）之间的直线。问题是：怎样算“最好”？最好指的是找一条直线使得所有这些点到该直线的纵向距离的和（平方和）最小。最小二乘法的思路yx纵向距离横向距离距离yxiiA,yxiiB,A为实际点，B为拟合直线上与之对应的点xyyyuiiiii10纵向距离最小二乘法的思路 纵向距离是Y的实际值与拟合值之差，差异大拟合不好，差异小拟合好，所以

18、称为残差、拟合误差或剩余。将所有纵向距离平方后相加，即得误差平方和，“最好”直线就是使误差平方和最小的直线。拟合直线在总体上最接近实际观测点。于是可以运用求极值的原理，将求最好拟合直线问题转换为求误差平方和最小的问题。YX0*7Y9Y*Y7Y9Min2)(iiYY数学形式最小二乘法的数学原理 纵向距离是Y的实际值与拟合值之差，差异大拟合不好，差异小拟合好，所以又称为拟合误差或残差。将所有纵向距离平方后相加，即得误差平方和，“最好”直线就是使误差平方和最小的直线。于是可以运用求极值的原理，将求最好拟合直线问题转换为求误差平方和最小。得到的参数估计量可以写成：XYxyxiii1021 称为OLS估

19、计量的离差形式离差形式（deviation form）。）。由于参数的估计结果是通过最小二乘法得到 的，故称为普通普通最小二乘估计量最小二乘估计量（ordinary least squares estimators）。例例2.2.1：在上述家庭可支配收入可支配收入-消费支出消费支出例中，对于所抽出的一组样本数，参数估计的计算可通过下面的表2.2.1进行。表表 2.2.1 参参数数估估计计的的计计算算表表 iX iY ix iy iiyx 2ix 2iy 2iX 2iY 1 800 594-1350-973 1314090 1822500 947508 640000 352836 2 1100

20、638-1050-929 975870 1102500 863784 1210000 407044 3 1400 1122-750-445 334050 562500 198381 1960000 1258884 4 1700 1155-450-412 185580 202500 170074 2890000 1334025 5 2000 1408-150-159 23910 22500 25408 4000000 1982464 6 2300 1595 150 28 4140 22500 762 5290000 2544025 7 2600 1969 450 402 180720 20250

21、0 161283 6760000 3876961 8 2900 2078 750 511 382950 562500 260712 8410000 4318084 9 3200 2585 1050 1018 1068480 1102500 1035510 10240000 6682225 10 3500 2530 1350 963 1299510 1822500 926599 12250000 6400900 求和 21500 15674 5769300 7425000 4590020 53650000 29157448 平均 2150 1567 计量经济学与电脑 必须指出，模型的建立和实际使

22、用，离开了电脑几乎是不可能的。目前，已有很多计量经济学软件包，可以完成计量经济学模型的参数估计、模型检验、预测等基本运算。几种常见计量软件SAS,SPSS,ET,ESP,GAUSS,MATLAB,MICROTSP,STATA,MINITAB,SYSTAT,SHAZAM,EViews,DATA-FIT。本课程采用国家教委推荐的EViews进行案例教学。要求同学们掌握EViews，比较熟练地使用它，并掌握EViews与其它Windows软件共享信息。学习计量软件的要求鼯鼠五能，不如乌贼一技！777.07425000576930021iiixyx172.1032150777.0156700XY因此，

23、由该样本估计的回归方程为：iiXY777.0172.103 四、最小二乘估计量的性质四、最小二乘估计量的性质 当模型参数估计出后，需考虑参数估计值的精度，即是否能代表总体参数的真值，或者说需考察参数估计量的统计性质。一个用于考察总体的估计量，可从如下几个方面考察其优劣性：（1）线性）线性，即它是否是另一随机变量的线性函数；（2）无偏性）无偏性，即它的均值或期望值是否等于总体的真实值；（3）有效性）有效性，即它是否在所有线性无偏估计量中具有最小方差。这三个准则也称作估计量的小样本性质。小样本性质。拥有这类性质的估计量称为最佳线性无偏估计最佳线性无偏估计量量（best liner unbiased

24、 estimator,BLUE）。（4）渐近无偏性）渐近无偏性，即样本容量趋于无穷大时，是否它的均值序列趋于总体真值；（5）一致性）一致性，即样本容量趋于无穷大时，它是否依概率收敛于总体的真值；（6）渐近有效性）渐近有效性，即样本容量趋于无穷大时，是否它在所有的一致估计量中具有最小的渐近方差。当不满足小样本性质时，需进一步考察估计量的大样本大样本或或渐近性质渐近性质：OLS参数估计量的有效性指的是：在一切线性、无偏估计量中，OLS参数估计量的方差最小。所有参数估计量线性参数估计量无偏参数估计量最小二乘参数估计量高斯高斯马尔可夫定理马尔可夫定理(Gauss-Markov theorem)在给定经

25、典线性回归的假定下，最小在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计量是具有最小方差的线性无偏估二乘估计量是具有最小方差的线性无偏估计量。计量。五、参数估计量的概率分布及随机干扰五、参数估计量的概率分布及随机干扰项方差的估计项方差的估计 1、参数估计量、参数估计量0和和1的概率分布的概率分布),(2211ixN),(22200iixnXN2.随机误差项随机误差项 的方差的方差 2的估计的估计2又称为总体方差总体方差。由于随机项 i不可观测，只能从 i的估计残差ei出发，对总体方差进行估计。可以证明可以证明，2的最小二乘估计量最小二乘估计量为222nei它是关于2的无偏估计量。在随机误差项的方差2估

26、计出后，参数0和1的方方差差和标标准准差差的估计量分别是：1的样本方差：2221ixS 1的样本标准差：21ixS 0的样本方差：22220iixnXS 0的样本标准差：220iixnXS 2.3 2.3 双变量线性回归模型的统计检验双变量线性回归模型的统计检验 一、拟合优度检验一、拟合优度检验 二、变量的显著性检验二、变量的显著性检验 三、参数的置信区间三、参数的置信区间 如果Yi=i 即实际观测值落在样本回归“线”上，则拟合最好拟合最好。对于所有样本点，则需考虑这些点与样本均值离差的平方和,可以证明：TSS=ESS+RSS22)(YYyTSSii记22)(YYyESSii22)(iiiYY

27、eRSS总体平方和总体平方和（Total Sum of Squares）回归平方和回归平方和（Explained Sum of Squares）残差平方和残差平方和（Residual Sum of Squares）Y的观测值围绕其均值的总离差的观测值围绕其均值的总离差(total variation)可分解为两部分：一部分来自回可分解为两部分：一部分来自回归线归线(ESS)，另一部分则来自随机势力，另一部分则来自随机势力(RSS)。在给定样本中，TSS不变，如果实际观测点离样本回归线越近，则ESS在TSS中占的比重越大，因此 拟合优度：回归平方和拟合优度：回归平方和ESS/Y的总离差的总离差T

28、SSTSSRSSTSSESSR1记22、判定系数、判定系数R2 2统计量统计量 称 R2 为（样本）（样本）判定系数判定系数/可决系数可决系数（coefficient of determination)。判定系数判定系数的取值范围取值范围：0，1 R2 2越接近越接近1 1，说明实际观测点离样本线越近，说明实际观测点离样本线越近，拟合优度越高拟合优度越高。在实际计算可决系数时，在1已经估计出后：22212iiyxR 在例2.1.1的收入消费支出收入消费支出例中，9766.045900207425000)777.0(222212iiyxR 注：判定系数注：判定系数是一个非负的统计量。它也是随着抽

29、样的不同而不同。为此，对判定系数的统计可靠性也应进行检验，这将在以后进行。R2的其他表示方法221121()niiniixRy2212211()()()niiinniiiix yRxy2212211()()()niiinniiiiy yRyy22121niiniiyRy拟合优度（或称判定系数、决定系数）判定系数只是说明列入模型的所有解释变量对应变量的联合的影响程度，不说明模型中单个解释变量的影响程度。对时间序列数据，判定系数达到0.9以上是很平常的；但是，对截面数据而言，能够有0.5就不错了。判定系数达到多少为宜？没有一个统一的明确界限值；若建模的目的是预测应变量值，一般需考虑有较高的判定系数

30、。若建模的目的是结构分析，就不能只追求高的判定系数，而是要得到总体回归系数的可信任的估计量。判定系数高并不一定每个回归系数都可信任；二、变量的显著性检验二、变量的显著性检验 回归分析回归分析是要判断解释变量解释变量X是否是被解释变被解释变量量Y的一个显著性的影响因素。在双变量线性模型双变量线性模型中，就是要判断X是否对Y具有显著的线性性影响。这就需要进行变量的显变量的显著性检验。著性检验。变量的显著性检验所应用的方法是数理统计变量的显著性检验所应用的方法是数理统计学中的学中的假设检验假设检验。计量经济学中计量经济学中，主要是针对变量的参数真值是，主要是针对变量的参数真值是否为零来进行显著性检验

31、的。否为零来进行显著性检验的。1、假设检验、假设检验 所谓假设检验假设检验，就是事先对总体参数或总体分布形式作出一个假设，然后利用样本信息来判断原假设是否合理，即判断样本信息与原假设是否有显著差异，从而决定是否接受或否定原假设。假设检验采用的逻辑推理方法是反证法假设检验采用的逻辑推理方法是反证法 先假定原假设正确，然后根据样本信息，观察由此假设而导致的结果是否合理，从而判断是否接受原假设。判断结果合理与否，是基于判断结果合理与否，是基于“小概率事件不易小概率事件不易发生发生”这一原理的这一原理的 2、变量的显著性检验、变量的显著性检验),(2211ixN)2(1112211ntSxti 检验步

32、骤：检验步骤：（1）对总体参数提出假设 H0：1=0，H1：10（2）以原假设H0构造t统计量，并由样本计算其值11St（3）给定显著性水平，查t分布表得临界值t/2(n-2)(4)比较，判断 若|t|t/2(n-2)，则拒绝H0，接受H1；若|t|t/2(n-2)，则拒绝H1，接受H0；对于双变量线性回归方程中的0，可构造如下t统计量进行显著性检验：在上述收入消费支出例中，首先计算2的估计值 134022107425000777.04590020222221222nxyneiii)2(0022200ntSxnXtii41.98742500010/53650000134022220iixnXS

33、t统计量的计算结果分别为：29.180425.0777.0111St048.141.9817.103000St 给定显著性水平=0.05，查t分布表得临界值 t 0.05/2(8)=2.306|t1|2.306，说明家庭可支配收入在0.05的显著性水平下显著，即是消费支出的主要解释变量；|t0|2.306,表明在0.05的显著性水平下不显著，无法拒绝截距项为零的假设。假设检验可以通过一次抽样的结果检验总体参数可能的假设值的范围（如是否为零），但它并没有指出在一次抽样中样本参数值到底离总体参数的真值有多“近”。三、参数的置信区间三、参数的置信区间 要判断样本参数的估计值在多大程度上可以“近似”地

34、替代总体参数的真值，往往需要通过构造一个以样本参数的估计值为中心的“区间”，来考察它以多大的可能性（概率）包含着真实的参数值。这种方法就是参数的区间估计区间估计。1)(P 如果存在这样一个区间，称之为置信区间置信区间（confidence interval）；1-称为置信系数置信系数（置信度置信度）（confidence coefficient），称为显著性水平显著性水平（level of significance）；置信区间的端点称为置信限置信限（confidence limit）或临界值临界值（critical values）。对区间估计的形象比喻 我们经常说某甲的成绩“大概80分左右”，

35、可以看成一个区间估计。（某甲的成绩为被估计的参数）P(1 2)=大概的准确程度（1-）如：P(75 85)=95%=1-5%“大概80分左右”犯第一类错误的概率（也叫显著水平）下限上限置信水平1 tt2/2/nxn-x :，置信区间tnxtnx/2/21-x图示如下双变量线性模型中双变量线性模型中，i(i=1，2）的置信区间的置信区间:在变量的显著性检验中已经知道：)2(ntstiii 意味着，如果给定置信度（1-），从分布表中查得自由度为(n-2)的临界值，那么t值处在(-t/2,t/2)的概率是(1-)。表示为：P ttt()221即P tstiii()221Ptstsiiiii()221

36、于是得到:(1-)的置信度下,i的置信区间是(,)iitstsii22在上述收入收入-消费支出消费支出例中，如果给定=0.01，查表得：355.3)8()2(005.02tnt由于042.01S41.980S于是，1、0的置信区间分别为：（0.6345,0.9195)（-433.32,226.98）由于置信区间一定程度地给出了样本参数估计值与总体参数真值的“接近”程度，因此置信区间越小越好。要缩小置信区间，需要（1）增大样本容量）增大样本容量n。因为在同样的置信水平下，n越大，t分布表中的临界值越小；同时，增大样本容量，还可使样本参数估计量的标准差减小；（2）提高模型的拟合优度。）提高模型的拟

37、合优度。因为样本参数估计量的标准差与残差平方和呈正比，模型拟合优度越高，残差平方和应越小。由于置信区间一定程度地给出了样本参数估计值与总体参数真值的“接近”程度，因此置信区间越小越好。2.4 2.4 双变量线性回归分析的应用：双变量线性回归分析的应用：预测问题预测问题 一、一、0 0是条件均值是条件均值E(Y|X=X0)或个值或个值Y0的一个无偏估计的一个无偏估计二、总体条件均值与个值预测值的置信二、总体条件均值与个值预测值的置信区间区间-（选学内容）（选学内容）对于双变量线性回归模型 iiXY10给定样本以外的解释变量的观测值X0，可以得到被解释变量的预测值0 0，可以此作为其条件均条件均值

38、值E(Y|X=X0)或个别值个别值Y0的一个近似估计。严格地说，这只是被解释变量的预测值的估计值，而不是预测值。原因:（1）参数估计量不确定；（2）随机项的影响说说 明明 二、总体条件均值与个值预测值的置信二、总体条件均值与个值预测值的置信区间区间 1、总体均值预测值的置信区间、总体均值预测值的置信区间 由于 0100XY),(2211ixN),(22200iixnXN于是0101000)()()(XEXEYE)(),(2)()(12010000VarXCovXVarYVar可以证明 2210/),(ixXCov因此 222022022202)(iiiixXxXXxnXYVar20022222

39、2XXXXnXnXxii)(20222XXnxxii)(1(2202ixXXn故)(1(,(22020100ixXXnXNY)2()(00100ntSXYtY)(1(22020iYxXXnS于是，在1-的置信度下，总体均值总体均值E(Y|X0)的置的置信区间为信区间为 0202000)|(YYStYXYEStY其中2、总体个值预测值的预测区间、总体个值预测值的预测区间 由 Y0=0+1X0+知:),(20100XNY于是)(11(,0(220200ixXXnNYY)2(0000ntSYYtYY式中:)(11(220200iYYxXXnS从而在1-的置信度下，Y0的置信区间的置信区间为 0020

40、20000YYYYStYYStY在上述收入收入消费支出消费支出例中，得到的样本回归函数为:iiXY777.0172.103 则在 X0=1000处，0=103.172+0.7771000=673.84 29.37277425000)21501000(10113402)(20YVar而05.61)(0YS 因此，总体均值总体均值E(Y|X=1000)的95%的置信区间为：673.84-2.30661.05 E(Y|X=1000)673.84+2.30661.05或 （533.05,814.62）同样地，对于Y在X=1000的个体值个体值，其95%的置信区间为：673.84-2.30661.05Y

41、x=1000 673.84+2.30661.05或 (372.03,975.65)总体回归函数的置信带（域）置信带（域）（confidence band）-教材P120 个体的置信带（域）置信带（域）对于Y的总体均值E(Y|X)与个体值的预测区间（置信区间）:（1）样本容量n越大，预测精度越高，反之预测精度越低；（2）样本容量一定时，置信带的宽度当在X均值处最小，其附近进行预测（插值预测）精度越大；X越远离其均值，置信带越宽，预测可信度下降。2.5 2.5 实例：时间序列问题实例：时间序列问题 一、中国居民人均消费模型一、中国居民人均消费模型 二、我国固定资产投资总额与我国固定资产投资总额与G

42、DPGDP的关系的关系 一、中国居民人均消费模型一、中国居民人均消费模型 例例2.5.1 考察中国居民收入与消费支出的关系。GDPP：人均国内生产总值人均国内生产总值（1990年不变价）CONSP：人均居民消费人均居民消费（以居民消费价格指数（1990=100）缩减）。表表2.5.1 中中国国居居民民人人均均消消费费支支出出与与人人均均GDP（元元/人人）年份 人均居民消费 CONSP 人均GDP GDPP 年份 人均居民消费 CONSP 人均GDP GDPP 1978 395.8 675.1 1990 797.1 1602.3 1979 437.0 716.9 1991 861.4 1727

43、.2 1980 464.1 763.7 1992 966.6 1949.8 1981 501.9 792.4 1993 1048.6 2187.9 1982 533.5 851.1 1994 1108.7 2436.1 1983 572.8 931.4 1995 1213.1 2663.7 1984 635.6 1059.2 1996 1322.8 2889.1 1985 716.0 1185.2 1997 1380.9 3111.9 1986 746.5 1269.6 1998 1460.6 3323.1 1987 788.3 1393.6 1999 1564.4 3529.3 1988 8

44、36.4 1527.0 2000 1690.8 3789.7 1989 779.7 1565.9 1.建立模型建立模型 拟建立如下双变量回归模型 GDPPCCONSP采用Eviews软件软件进行回归分析的结果见下表 该两组数据是19782000年的时间序列数据时间序列数据（time series data）；前述收入收入消费支出例消费支出例中的数据是截面数据截面数据（cross-sectional data）。表表2.5.2 中中国国居居民民人人均均消消费费支支出出对对人人均均GDP的的回回归归（19782000）LS/Dependent Variable is CONSP Sample:19

45、78 2000 Included observations:23 V ariable Coefficient Std.Error t-Statistic Prob.C 201.1071 14.88514 13.51060 0.0000 GDPP1 0.386187 0.007222 53.47182 0.0000 R-squared 0.992709 Mean dependent var 905.3331 Adjusted R-squared 0.992362 S.D.dependent var 380.6428 S.E.of regression 33.26711 Akaike info c

46、riterion 7.092079 Sum squared resid 23240.71 Schwarz criterion 7.190818 Log likelihood -112.1945 F-statistic 2859.235 Durbin-W atson stat 0.550288 Prob(F-statistic)0.000000 一般可写出如下回归分析结果：(13.51)(53.47)R2=0.9927 F=2859.23 DW-d=0.5503 R2=0.9927T值：C：13.51，GDPP：53.47 临界值:t0.05/2(21)=2.08斜率项：00.38621，符合绝

47、对收入假说 2.模型检验模型检验 3.预测预测 2001年：GDPP=4033.1（元）（1990年不变价）点估计：CONSP2001=201.107+0.38624033.1 =1758.7（元）2001年实测实测的CONSP（1990年价）:1782.2元，相对误差相对误差:-1.32%。2001年人均居民消费的预测区间预测区间 人均GDP的样本均值样本均值与样本方差样本方差：E(GDPP)=1823.5 Var(GDPP)=982.042=964410.4 在95%的置信度下，E(CONSP2001)的预测的预测区间区间为：)4.964410)123()5.18231.4033(231(

48、22371.23240306.27.17582 =1758.740.13或：（1718.6,1798.8）同样地，在95%的置信度下，CONSP2001的的预测区间预测区间为：)4.964410)123()5.18231.4033(2311(22371.23240306.27.17582 =1758.786.57或 （1672.1,1845.3）例例2.5.2 我国固定资产投资总额与我国固定资产投资总额与GDP的关系的关系 第一步：建立模型 第二步：收集数据 采用19801998年的数据，数据来源中国统计年鉴(2000)01ttGDPbb I说明：在理论经济学中说明：在理论经济学中I I表示私

49、人部门投资，在我国的统计体系中，固定资表示私人部门投资，在我国的统计体系中，固定资产投资总额既包括私人部门投资，也包括公共部门（政府）的投资。产投资总额既包括私人部门投资，也包括公共部门（政府）的投资。第三步：参数估计(OLS)，得5.28737058.201bb 第四步：模型检验经济意义检验经济意义检验：b1的经济含义是固定资产投资乘数，肯定大于1，按我国的实际情况，不是很大，估计在4或5以下，通过检验。统计检验统计检验：拟合优度检验、参数估计值显著性检验、模型显著性检验。计量经济检验计量经济检验（异方差、序列资相关、随机解释变量、多重共线性）模型预测检验模型预测检验统计检验-拟合优度检验

50、样本判定系数 线性模型解释了因变量的99.29%，拟合程度很好。%29.992R统计检验-参数估计值显著性t检验 提出原假设：备择假设：构造统计量 计算得 检验：取 =5%，查表得 拒绝原假设，b1显著不为零01b01b110(2)()ebTt nS b6.48T6.48110.2)17(025.0t统计检验-方程显著性F检验 提出原假设：备择假设：构造统计量 计算得 检验：取 =5%，查表得 拒绝原假设，b1显著不为零，线性关系显著。可以发现t22362约等于2367F，那是因为计算有误差。否则应该相等的。01b01b/1/(2)ESSFRSSn2367F236745.4)17,1(05.0