椭圆的简单几何性质 巩固提升训练题-2022-2023学年高二上学期数学.docx

1、椭圆的简单几何性质-巩固提升训练题一、单选题1.过椭圆x24+y23=1的一个焦点，且垂直于x轴的直线被此椭圆截得的弦长为()A. 32B. 32C. 3D. 32.直线y=x+1被椭圆x2+4y2=8截得的弦长是()A. 1225B. 825C. 34D. 172 3.已知椭圆x22+y2=1与直线y=x+m交于A，B两点，且|AB|=423，则实数m的值为()A. 1B. 12C. 2D. 24.斜率为1的直线l与椭圆x24+y2=1交于不同两点A，B，则|AB|的最大值为()A. 2B. 455C. 4105D. 81055.椭圆x28+y22=1中，以点M(1，12)为中点的弦所在直线

2、的斜率为()A. -14B. -4C. -12D. -26.直线y=kx+1与椭圆x24+y2=1相交于A，B两点，若AB中点的横坐标为1，则k=()A. -2B. -1C. -12D. 17.如果椭圆x236+y29=1的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是()A. x-2y=0B. x+2y-4=0C. 2x+3y-14=0D. x+2y-8=08.已知斜率为k1(k10)的直线l与椭圆x2+y24=1交于A，B两点，线段AB的中点为C，直线OC(O为坐标原点)的斜率为k2，则k1k2=()A. -14B. -4C. -12D. -2二、填空题9.已知椭圆：x24+y2b2=1(

3、0bb0的右焦点F，且交椭圆于A、B两点若线段AB的中点为P，直线OP的斜率为-1，则椭圆的方程为. 12.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F，离心率为25.过点F作直线l与椭圆E交于A，B两点，与直线y=-2x交于点P，若P恰好是AB的中点，则直线l的斜率为.三、解答题13如图，从椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为右焦点F2.又点A是椭圆与x轴负半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB/OP，|AF2|=2+2求椭圆C的方程.14.已知直线y=2x+m与椭圆C：x25+y2=1相交于A，B两点，O为坐标原点.当AOB的面积取得

4、最大值时，求AB的值.15.已知直线l与椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)交于A，B两点，AB中点坐标为(-23，13)，椭圆的离心率为22，若直线l被圆x2+y2=b2截得的弦长为14，求椭圆方程.答案：一、选择题1.过椭圆x24+y23=1的一个焦点，且垂直于x轴的直线被此椭圆截得的弦长为()A. 32B. 32C. 3D. 3【答案】C解析：a=2，b=3.所求弦长就是椭圆通径的长度：2b2a=3.选C.注：过椭圆的一个焦点，且求与焦点所在轴垂直的弦叫做椭圆的通径，其长=2b2a.2.直线y=x+1被椭圆x2+4y2=8截得的弦长是()A. 1225B. 825C. 34D. 172【

5、答案】A解析：联立y=x+1x2+4y2=8，得5x2+8x-4=0设直线被椭圆所截线段的两个端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).思路1：由韦达定理，得x1+x2=-85，x1x2=-45，则|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=2(-85)2-4(-45)=1225 思路2： 解方程，得x1=25，x2=-2，则AB=1+k2x2-x1=2-2-25=1225.题选A注：直线被椭圆截得的弦的长度求法公式：1+k2(x1+x2)2-4x1x2；1+k2x2-x1.解题时灵活选择.3.已知椭圆x22+y2=1与直线y=x+m交于A，B两点，且|AB|=423，则实数m的值为(

6、)A. 1B. 12C. 2D. 2【答案】A解析：联立方程组x22+y2=1y=x+m，消y，得3x2+4mx+2m2-2=0.0，16m2-12(2m2-2)0，m23.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据韦达定理，有x1+x2=-4m3，x1x2=2m2-23.|AB|=423，1+k2(x1+x2)2-4x1x2=423，2(-4m3)2-42m2-23=423，m=1.m=1，符合m20，(2t)2-5(t2-1)0，即t25设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据韦达定理，有x1+x2=-8t5，x1x2=4t2-45.|AB|=2(-85t)2-44t2-45=245-t

7、254105，当且仅当t=0时等号成立故选：C5.椭圆x28+y22=1中，以点M(1，12)为中点的弦所在直线的斜率为()A. -14B. -4C. -12D. -2【答案】C解析：根据题意，设以点M(1，12)为中点弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2).则有x128+y122=1x228+y222=1，两式做差，得：x12-x228=-y12-y222，即(x1-x2)(x1+x2)8=-(y1-y2)(y1+y2)2.M(1，12)为AB的中点，x1+x2=2，y1+y2=1，代入式，得y1-y2x1-x2=-12，即以点M(1，12)为中点的弦所在直线斜率为-12故选C6.直

8、线y=kx+1与椭圆x24+y2=1相交于A，B两点，若AB中点的横坐标为1，则k=()A. -2B. -1C. -12D. 1【答案】C解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2).联立方程组y=kx+1x24+y2=1，消y，得(1+4k2)x2+8kx=0，则x1=0，x2=-8k1+4k2.AB中点的横坐标为1，0-8k1+4k2=2，解得k=-12.故选C注：此题没用“点差法”处理.7.如果椭圆x236+y29=1的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是()A. x-2y=0B. x+2y-4=0C. 2x+3y-14=0D. x+2y-8=0【答案】D解析：设过点(4，2)的

9、直线与椭圆相交于两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1236+y129=1x2236+y229=1，-得：x1-x2x1+x236+y1-y2y1+y29=0.点(4，2)为弦AB的中点，x1+x2=8，y1+y2=4，代入式，836(x1-x2)+49(y1-y2)=0，kAB=y1-y2x1-x2=-12.所求直线的方程是y-2=-12(x-4)，即x+2y-8=0故选D8.已知斜率为k1(k10)的直线l与椭圆x2+y24=1交于A，B两点，线段AB的中点为C，直线OC(O为坐标原点)的斜率为k2，则k1k2=()A. -14B. -4C. -12D. -2【答案】B解析：设

10、A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x0，y0)，则x1+x2=2x0，y1+y2=2y0.x12+y124=1，x22+y224=1.，得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)4=0，即2x0(x1-x2)+2y0(y1-y2)4=0，整理，得(y1-y2)y0(x1-x2)x0=4，k1k2=-4选B二、填空题9.已知椭圆：x24+y2b2=1(0b1)，则t2=t-14，代入，整理，得m=2(t+3)(t-1)t=2-3(1t)2+21t+1，当1t=-22(-3)=13时，弦长m有最大值433.11.已知直线x-2y-3=0过椭圆x2a2+y2b2=1ab0的右

11、焦点F，且交椭圆于A、B两点若线段AB的中点为P，直线OP的斜率为-1，则椭圆的方程为.【答案】x218+y29=1.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则x1+x2=2x0，y1+y2=2y0.则x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1，-，得(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0，2x0(x1-x2)a2+2y0(y1-y2)b2=0，整理，得y1-y2x1-x2y0x0=-b2a2，即12-1=-b2a2，a2=2b2直线x-2y-3=0与横轴交点坐标为(3，0)，右焦点F(3，0)，则c=3，a2-b2=9.由，得a

12、2=18，b2=9椭圆的方程为x218+y29=1.12.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F，离心率为25.过点F作直线l与椭圆E交于A，B两点，与直线y=-2x交于点P，若P恰好是AB的中点，则直线l的斜率 .【答案】2150解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，y0=-2x0，x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1.-，得(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0，2x0(x1-x2)a2+2y0(y1-y2)b2=0，整理，得y1-y2x1-x2y0x0=-b

13、2a2，y0=-2x0，y1-y2x1-x2=b22a2ca=25，2a=5c，4a2=5c2，4a2=5(a2-b2)，b2a2=2125.直线l的斜率为k=y1-y2x1-x2=b22a2=2150三、解答题13.如图，从椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为右焦点F2.又点A是椭圆与x轴负半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB/OP，|AF2|=2+2求椭圆C的方程.解析：P(c，b2a)，A(-a，0)，B(0，b).kOP=b2ac，kAB=ba，AB/OP，b2ac=ba，b=c，a=a2+b2=2c.|AF2|=a+c=2+2，2c+c=

14、2+2，c=2，a2=2c2=4，b2=a2-c2=2，椭圆C的方程为x24+y22=114.已知直线y=2x+m与椭圆C：x25+y2=1相交于A，B两点，O为坐标原点.当AOB的面积取得最大值时，求AB的值.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2).联立方程组y=2x+mx2+5y2=5，消y，得21x2+20mx+5m2-5=0.=20m2-4215m2-50，m2b0)交于A，B两点，AB中点坐标为(-23，13)，椭圆的离心率为22，若直线l被圆x2+y2=b2截得的弦长为14，求椭圆方程.解析：设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1+x2=-43，y1+y2=23，x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1.，得(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0，-43(x1-x2)a2+23(y1-y2)b2=0，y1-y2x1-x2=2b2a2.ca=22，b2a2=a2-c2a2=12=112=12.直线l的斜率k=y1-y2x1-x2=1，直线l的的方程：y-13=1(x+23)，即x-y+1=0.圆心到直线l的距离d=0-0+12=12，半弦长=142，半径r=b，则(12)2+(142)2=b2，b2=4，a2=2b2=8.椭圆方程为x28+y24=1