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1、高等工程流体力学授课教师：李宝宽内容概要粘性流体流动现象粘性流体流动性质粘性流动的基本方程粘性流动的若干特解边界层理论湍流模型理论流动问题的数值解初步 第一章 粘性流体流动现象自然界固有的流动现象自然的流动现象人类的利用第二章 粘性流体的性质 2-1假设条件：流体是连续介质 流体是均质不可压缩的各向同性牛顿流体 流体是每一瞬时流体质量处于准热平衡态 流体中的热传导过程服从傅里叶定律 2-2粘性流体不同于无粘性流体的特点：1.粘性流体运动的有旋性 2.粘性流体运动机械能的耗散性 3.粘性流体运动中涡旋的扩散性第三章 粘性流动的基本方程),()(321txxxxx，)(),(321txuuuuu)

2、(),(22321txaaaaxx2x1x3xt=tt=t0 （2）欧拉法：着眼于从空间坐标去研究流体流动。独立变量为 ,t。速度向量 加速度向量 注意：一切流体运动的力学属性均是流体质点的属性而不是空间点的属性。流体质点位于空间点上从而流体质点的运动属性为时间和不依赖于时间的空间坐标的函数。),(321xxxx),(txuu),(txaa F(x,t)F(x+x)(t+t)研究欧拉空间场中某一运动属性F的变化率必须跟踪 一个固定的流体质点。F可以代表速度密度温度等流体运动的各种力学属性。),(txFdtddtdF),(),(ttxFtxF)()()(1,132txxFtFtxxx)()()(

3、)(,2131,2,2tFtFtxxFtxxtxx 称为F的物质导数或成为随体导数，它是以欧拉空间坐标所表示的流体质点的运动属性对时间的全导数。物质导数写为向量的形式：（3-1）式中：1 第一项为F的当地变化率，是在某一点x处F随时间t的变 化率，是由流动的不恒定性引起的。2 第二项为F的迁移变化率，是由流畅的不均匀性引起的。FutFxFutFdtdFii)(两种流动描述方法之间的关系 欧拉方法在数学处理上的最大困难是方程式的非线性，而拉格朗日方法中的加速度项则为线性。直接应用拉格朗日型的基本方程解决流体力学问题是困难的，因此在处理流动问题时，常常必须用拉格朗日的观点而却应用欧拉的方法。为此引

4、用雅可比行列式建立两种系统之间的变换关系。（3-2）拉格朗日变量与欧拉变量可以互换的唯一条件是：雅可比行列式的时间导数：（3-3）jixtJ det)(.0)(tJJuxudtdJii)(3-2 雷诺输运方程 用欧拉导数表示一个流体系统的拉格朗日变化率，即为雷诺输运方程。取定一个系统在流动过程中t=t时所占据的空间作为控制体V(t)。系统在t=t0所占据的控制V0=V(t0)作为识别这一系统的标志。令 ，则 （3-4）系统所具有的某种运动要素对时间的全导数推导为：式中F代表该运动要素的体积分布密度。0321321)(JdVJddxdxdxtdV3213210)(,dxdxdxtdVddV000

5、000)()(VVVtVdVdtdJFdtdFJdVFJdtdFJdVdtdFdVdtddVuFdVtFdVuFtFdVuFFutFdVuFdtdFdVJuFdtdFJtVtVtVtVtVtV)()()()()(0)()()()()(）（）（由高斯公式得：（3-5）可见系统对时间的全导数，即系统的物质导数是由两部分组成的，其中 是由于流场中F的不恒定性所引起的整个控制体内所含物理量 在单位时间内的增量。表示在单位时间内，流体通过控制体表面S(t)而引起的控制体内物理量 的变化，也就是系统由一个位置流动到另一个位置时，由于流场不均匀性而引起的 迁移变化率。可以看出，雷诺输运方程（3-1）与（3-

6、5）式所表示的物质导数从本质上讲是相同的，只不过是雷诺输运方程是以系统的流动作为研究的对象而物质导数式研究流体质点的运动，因此可以说输运方程是流体质团的物质导数。dSnuFdVtFFdVdtdtVtstV)()()()(tVdVtF)(tVFdVdSnuFts)()(tVFdV)(tVFdV3-3 连续方程 连续方程是质量守恒原理在流体运动中的表现形式。系统的质量为：质量守恒要求：（3-6）此即拉格朗日型的积分形式的连续方程。应用输运方程：（3-7）或写为：则为欧拉形式的积分形式的连续方程。为通过控制体表面积的物质通量，此式对于流动中的任何一个体积都是适用的，即V(t)时任一选取的，因此得：（

7、3-8）为微分形式的欧拉型连续方程式。)(tvdVm0)(tVdVdtddtdm0)()()(dVutdVdtdtVtVdSnudVttVts)()(dSnuts)(00)(utut或3-4 雷诺第二输运方程 应用输运方程时，如把(F)看作某一物理量，则：右侧第二，三两项可写为 ，由（3-8）式此项为零。（3-9）此式即为雷诺第二输运方程。）（）（tt)()()(VVdVuFdtdFdtdFdVuFdtFd)()(tVdVFdtd)(udtdF）（tVdVdtdF)()(tVdVFdtd3-5 动量方程 动量方程是动量守恒原理在流体运动中的表现形式。运动着的流体微团的动量可表示为：动量守恒原理

8、要求流体系统的动量变化率等与该系统上的全部作用力：在流体运动中作用力F包括：（1）体积力(包括质量力)：是作用于流体质量上的非接触力。这种力可以穿透到流体的内部而作用于每一流体质点上。体积力可以表示为 。其中 为单位质量力，为单位体积力。（2）面积力：为流体或固体通过接触面二十家在另一部分流体上的力。它是流体在运动过程中作用在流体内部假想的面积上的由于流体的变形和相互作用而在流体内部产生的各种应力，或者是流动的固体边界对流动所施加dVudmuFdVudtdtV)(Vfff 的面积力。设单位面积上的面积力为p，它是空间坐标x,时间t，和作用面外法线方向n的函数，n为单位法线向量。令 下标1，2，

9、3分别表示在x1,x2,x3轴上的分量。流场中某一坐标点处，某一时刻t时的流体面积力，由于它是向量 的一个向量函数，所以可以写为9项：（3-10）一点的应力状态常用应力张量来 表示，下标中I表示作用面的外法线方向，j表示面积力的方向。为空间点坐标及时间t的函数。（3-11）写为张量形式为 或 （3-12）),(),(321321nnnnppppn333223113333222211223312211111nnnpnnnpnnnp333231232221131211ijijijij npjjiinp 于是动量方程式可写为：此即为拉格朗日型积分形式的动量方程。右侧第一项为体积力，第二项为面积力。由

10、雷诺第二输运方程，此式改为：即欧拉型积分形式的动量方程。此时也可写为:由高斯公式，右侧第二项的面积分写为体积分的形式：由于V(t)是任取的一个控制体体积，可得微分形式的欧拉型动量方程为：（3-13）向量形式为：（3-14）)()()(tStVtVdSpdVfdVudtd)()()(tStVtVdSndVfdVdtud)()()(tSjijtVitVidSndVfdVdtdu)()()(tVjjitVitVidVxdVfdVdtdujjiiixfdtdufdtud3-6 能量方程 能量方程是能量守恒原理在流体运动中的表现形式。令e代表单位质量流体所具内能，则为单位体积流体所具内能。代表单位体积动

11、能，从而单位体积流体所包含的总能量 。能量守恒原理可表示为：单位时间内外力作功为：由高斯公式，表面力作功可写为积分形式：式中I=1,2,3,j=1,2,3。单位时间内传入系统的热量为：e22121uuu221ueE由外界传入系统的能量外力对系统做功dVuuedtdtV)(21dSundVuftStV)()()(dVuxdSundSunijitVjijitSjtS)()()()()(（1），Q表示由辐射或化学能释放等因素而产生的系统内单位体积流体热量的增量。（2），q为热通量向量，负号表示热的流通与外法线方向 相反，即热量进入系统。应用雷诺第二输运方程即得欧拉型能量方程的积分形式：（3-15）能

12、量方程的微分形式为：（3-16）向量形式为：（3-17）)(tVQdVdSnqtS)(ndVqxdSnqtViitS)()()()(tViijijiidVxqQuxufdVuuedtddVuuedtdiitVtVii2121)()(jijijijjiiiiiixqQxuxuufdtduudtdeqQupdted3-7 纳维-斯托克斯方程 微分形式的动量方程为：（3-18）当容积粘度 。由牛顿流体本构方程式得到：（3-19）将（3-19）代入（3-13）式得：（3-20）此即牛顿流体的运动方程，称为纳维-斯托克斯方程，简称N-S方程。这一方程于1821年由法国力学家纳维提出，1845年英国力学家

13、斯托克斯完成最终的型式。jjiiixfdtdu32,0vijijijeup2)32()()32(ijjijiiixuxuxupxfdtdu 当 为常数时 （3-21）对于不可压缩流动，则 （3-22）对于不可压缩的理想流体，则 为欧拉方程（3-23）)()(322uxxxuuxxpfdtduijjiiiii)(312uxxxuxpfijjiii0uupfdtudxxuxpfdtdujjiiii22或0,0upfdyud3-8 纳维-斯托克斯方程的边界条件和初始条件3-3-1边界条件 在连续介质假定下，由试验所确定的粘性流动的边界条件为：在流体与固体的交界面处流体与固体无相对滑移。当然从分子的尺

14、度看滑移是可能的，但这种滑移只限于其厚度只有一个分子平均自由程量级的薄层内。1 固定边界处 如果固定边界的速度为U,则流动的边界条件为：u=U （3-24）在无穷远处，流场应与未扰动流体的状态相衔接，如未扰动流体为静止状态，则当 时，考虑热效应，则一般边界条件为：在边界处，温度T为常数或边界温度梯度 为常数，n为边界外法线方向。0,uxnT2 两种液体的分界面 在分界面两侧其速度,压强与温度均相等，即 （3-25）摩擦力和通过分界面的热传导量也相等，即 （3-26）（3-27）式中K1 K2 分别为两种液体的导热系数。3液体和气体的分界面 最常见的为液体与大气的分界面，称为自由水面。其边界条件

15、为：212121,TTppuu22112211)()()()(nTKnTKqnunu (1)运动学条件 位于自由水面上的流体质点将永远位于自由水面，所以：即 （3-28）式中 表示自由水面的高度。可以看出自由水面上的流体质点 在平均自由面的垂直方向上的速度等 于自有水面的垂直波动速度。在水面 波为微幅波的假设下，与 均很小，因此忽略上式最后两项可得到：（3-29）0),()(22112133dtdxxdtdxxtxxuxdtdtxxtxxtxxu2211213),(),(213txxx1x2xtxxu),(213气体液体平均自由面=（x1,x2,t）x1x3x2（2）动力学条件 动力学边界条件

16、是在两种流体的交界面处：法向应力连续 两个方向的切向应力连续 对于气体和液体的交界面自由水面，则切应力连续的条件可以忽略。法向应力，包括压强和自由表面张力而应起的液面压力则必须连续。如果忽略表面张力，则自由水面上液体的压强等于大气压强pa。有些情况下还需给定进出口断面上的速度，压强和温度的分布。3-3-2初始条件 对于不恒定的粘性流动则需给出初始时刻（t=t0）时流场中各有关物理量的分布，即流动的初始条件。3-9 粘性流动的相似律 令V0,L0,p0,t0,0,0,g0分别代表流速，长度，压强、时间，密度，粘度，重力加速度的特征值从而组成各物理量的无量纲量如下：（3-30）当质量力只考虑重力的

17、作用，不可压缩流体二维流动的N-S方程为：（3-31）各项物理量改为无量纲量，然后以 除各项得：（3-32）00000000ppptttVuuLxxiiii000000ggg020LV000200000000020000002000000000001jjiiijijixxuLVxpVpxhgVLgxuutuVtLjjijjjijixxuxpxhgxuutu21 式中由特征物理量组成了几个重要的无量纲量：称为斯特劳拉哈尔数 （3-33）称为弗劳德数 （3-34）称为雷诺数 （3-35）称为欧拉数 （3-36）由此，上式可改为：（3-37）如果两个流动相似，则由无量纲所表示的方程式应相同。因此对于

18、两个流动而言，只有各个无量纲数分别相等，才是相似流动。EVpLVFrlgVStVtL20000000000000Re000200000000200000Re111jjiiijijixxuxpExhgFrxuutuSt第四章 粘性流动的若干特解4-1平行流动 平行流动是流动中最简单的一种情形。在平行流动中只有一个流速分量是不等于零的量，所以流体质点均沿一个方向流动。设三个坐标方向的分速度为u,v,w。平行流动v=0,w=0。由连续方程 可知 ，也就是说流速分量u在x方向并不变化。N-S方程在x方向的分量方程：(4-1)其中三个迁移项均为零，故 (4-2)为u的线性二阶偏微分方程。0zwyvxu0

19、 xuuxpzuwyuvxuutu21)(12222zuyudxdptu4-1-1 库埃特流动 上下两平行平板所组成的槽道内充满了粘度为的不可压缩流体的流动，上平板以速度U相对于下平板运动。两板间距离为h,设槽道中同时存在x方向压强梯度,流动为恒定，且流动为二维，在z方向没有变化。式（4-2）可写为：(4-3)（4-3)式为x方向的N-S方程，它说明 只能是y的函数而与x无关。而由y方向的N-S方程 ，可见压强只能是x的函数。为同时满足这两方面要求 只能等于常数。积分(4-3)式得：(4-4)dxdp0tuUuhyuydyuddxdp,0,022dxdp0dydpdxdp2122CyCydxd

20、puyUxh 代入边界条件确定积分常数C1,C2后得：（4-5）沿断面积分（4-4）式可得流量公式：（4-6）4-1-2 泊肃叶流动 由压强梯度推动的管，槽中的不可压缩粘性流体的流动称为泊肃叶流动。z方向为无穷长，流动为二维的。基本方程为：（4-7）边界条件为：（4-8）积分可得：（4-9）)1(22hyhydxdphUhyudxdphUhdyuQh1223022dyuddxdp0,0,ubyuby）（2221ybdxdpu 断面平均流速um为：（4-10）单位宽度槽道流量q为：（4-11）N-S方程精确解中最具实际意义的流动之一是管道内部流动，特别是圆管流动。层流的圆管流动如图，采用圆柱坐标

21、，只有x方向的流速 存在。由连续方程 可得 N-S方程可写为：(a)(b)(c)dxdpbudybubbm3212dxdpbbuqm3223,0,0uur),(ruux01xuurruruxrr0 xu01010122rruruxprprpumaxxyU(y)2b 由（a）,（b）两式可知p只与x坐标有关而与r,两坐标无关。由（c）式可知 只能是常数。令 ，（c）可改写为：积分之：当 。再积分上式：当 。流速分布公式为：（4-12）dxdpCdxdpCrdrdudrudr1221221CrCdrdur00,01Cdrdurdrdur从而)(41220rrCu202041,0,CrCurr224

22、1CCruxur0r图4-4层流的圆管流动 管道中心处r=0,此处流速最大，即 （4-13）沿断面积分（2-13）式可得流量Q,（4-14）从而可计算断面平均流速um:（4-15）这就是圆形管道粘性流动情况下N-S方程的精确解，但它只是在圆管流动为层流时成立。84020rCurQm820rCum420maxrCu4-2 运动平板引起的流动 4-2-1突然加速平板引起的流动（斯托克斯第一问题）对于非恒定的平行流动，最简单的例子是一个在半无限空间静止的平板突然起动，沿其自身平面加速至某一固定速度U。从而带动其周围原来处于静止的不可压缩粘性流体运动。设板长为无穷，N-S方程化简为线性方程：（4-16

23、）此为经典的热传导方程，两个自变量为x,t。因为是平行流动，。由连 续方程知 ，且整个流场中 压强为常数p=p0=const。坐标 系如图2-6所示。22yutu),(,0tyuuwv0 xuyp=p0U0 x图4-5 斯托克斯第一问题边界条件为：（4-17）令 为无量纲坐标，并假设：则（4-16）变为常微分方程：边界条件变为：常微分方程的解为：（4-18）erf为误差函数，erfc为补偿函数，其数值可查有关于手册。0,00,0Uutut)()0(yyy任意值0uty2)(0fUu 02 ff0,1,0fferfcUu002)exp(211dzzerferfc 当 ，这说明平板突然加速至U0由

24、于粘性而带动周围流体运动形成的流速场中，只有在 的薄层流动内流速大于U0的百分之一，而在 以上的流层流速只有U0的百分之一以下，可以看作没有影响或影响很小。有此可见平板通过流体粘性而带动的流体运动只 发生在 的薄层以内。这部分流层可称为边界层，其厚度为 ：图 2-6 表示 沿的分布。由 图还可看出，对于流场中的某给定 点y处，其流速随时间的增加而增 大，当 时该点流速可达到U0.01.0,82.10erfcUu82.182.182.1tt64.320Uut1.010.52u/U0图4-6 u/U0沿分布=y/24-2-2 振动平板引起的流动（斯托克斯第二问题）无限平板沿自身平面做简谐振动通过粘

25、性而带动周围原来处于静止的流体所形成的流动。平板上部半无限流场内N-S方程可写为：（4-19）平板壁面处的流体质点由于无滑移条件而随平板振动，因而边界条件为：(4-20)热传导方程(4-19)的解为：式中 令 ，(4-19)式的解也可写为：(4-21)为一个按指数衰减的简谐振动（harmonic vibration）.22yutu,0yy0cos),0(),(0utUtutyu)cos(),(0kyteUtyuky2kyky2)cos(),(0teUtyu 流场的振动频率与平板的频率相同，为，振幅为 。在y=0处振幅最大，与平板相同为U0，随y值得增加振福按指数规律衰减。如仍以 为考虑粘性影响

26、的界限，可得=4.61，其相应的厚度即边界层厚度。(4-22)斯托克斯第一问题说明粘性流动中固体壁面对流动的影响范围即边界层厚度与流体运动粘性系数和时间t 乘积的平方根成正比。可以看出平板运动对周围流体的影响是通过流体粘性传播的,其传播 要有一定的时间。斯托克斯第 二问题说明平板的振动向流体 内部传播也是通过流体的粘性，而且与振动频率有关，可见 ，因此两个结论相同。eU001.00Uu0001.0UeUu261.461.4kt1tu0cost图4-7 斯托克斯第二问题 4-3 低雷诺数流动 低雷诺数流动，以其惯性力相对粘性力而言甚小因而可近似地忽略N-S方程中非线性的惯性项，从而得到线性的运动

27、方程。流动雷诺数 决定于流体的物性包括密度 和粘度和流动的特征物理量包括特征速度U及特征长度L。低雷诺数流动一般指 的流动。4-3-1斯托克斯方程 最基本的低雷诺数流动的近似解法是斯托克斯近似，雷诺数表征惯性力与粘性力之比，因此在低雷诺数流动中假定惯性项可以忽略。在N-S方程中如压强项考虑为流体动压强，则N-S方程简化为：(4-23)(4-24)ULRe1Re 0022uupup或最后得到流速向量u为：（4-29）式（4-27）和式（4-29）表示斯托克斯方程的一个基本解，它是一个位于原点的奇点，称为斯托克斯极子。式中C表示斯托克斯极子的强度，为极矩方向的单位向量。4-3-3 绕过球体的均匀流

28、动 均匀来流 如图绕过以O为球心，r0为半径的球体流动。将球心取为坐标远点，使用球坐标系。流动为轴对称流动，)(3rrrrCuUx1rerer0U图4-9 绕球体的均匀流动其边界条件为：在物面上：U为物面速度 处：(4-23)式称为斯托克斯方程式。与连续方程（4-24）联立共有4个分量方程式和4个未知量，流速u1，u2，u3 和压强p。通过斯托克斯近似，N-S方程变为线性方程。4-3-2 斯托克斯的一些基本解 1 均匀解 斯托克斯方程最简单的基本解即为均匀解。可以看出对于一个速度向量和压强均为常量的流动，（4-23）式和（4-24）式必然满足。即 这个速度场合压强场中不产生力和力矩的作用。这个

29、速度场和压力场中不产生力或力矩的作用。xppuUu,0constpUu,2 偶极子 由于任一势流解同时也必然是N-S方程的精确解，因为对于势流，N-S方程中的粘性项恒等于零。在斯托克斯近似中惯性项认为等于零，粘性项相对于势流而言也为零。这时只有压强项也为零，即 。也就是说N-S方程的一个势流解当其为常量时同时也是斯托克斯方程的解。对于三位轴对称势流，采用球 坐标（r，），则位于原点的 偶极子所引起的流动中：（4-25）流速则为：（4-26）式中 是流场中点位置向量，A为偶极强度，为偶极矩方向的单位向量。这个流速厂要满足斯托克斯方程则必须压强为常数，即：。偶极子同样不施加任何力或力矩于周围的流体

30、。constpp或,03)1()(rrArAr)(353rrrrAur232221332211,xxxrrexexexrconstp ox1p参考轴图4-8 三位轴对称势流 3 斯托克斯极子 流动中压强不为常数，由式（4-23），可得：其中 是满足拉普拉斯方程 的解。压强p是和函数，满足三位拉普拉斯方程 。他的一个基本解是 。这个基本解所对应的流速 ，u趋于零，因此这个基本解不适用。p的另一个基本解是：（4-27）与此压强场所对应的流速场可通过（4-23）得到：（4-28）由连续方程确定 ，解出：pu122upruu02 u02 prp1ruln时当r32)1(2rrCrp3)(2urrrCu

31、rpuu0)(333urrCurrCrrrrCurCu直角坐标系的x1方向，在势流中均匀流绕过球体的流动为均匀流与偶极子的叠加。由（4-26）式：设偶极矩方向为x1方向，。边界条件为：于是圆球绕流的势流流场为：在斯托克斯流动中，既考虑流体粘性但雷诺数很小的流动情况，圆球绕流为均匀流，偶极子与斯托克斯极子的叠加，由（4-26），（4-28）式可知流场为：U)(3531rrrrAeUu1e10;0;eUurrurr325131301rrxrerUeUu)()(33531rrrrCrrrrAeUu3315131rrxreCrrxreAeU 边界条件为：可解出：从而圆球绕流的斯托克斯流动的流场为：其压

32、强场由（4-27）式代入C值可得：圆球受到流体作用于它上面的力 说明受力方向与来流一致，为阻力。这就是著名的斯托克斯关于均匀流中球体阻力的公式，它是在雷诺数很低的情况下成立的。10;0;eUururr443300rUArUC4334310513301rrxrerUrrxrerUeUu310310323)43(22rxrUrxrUrrCp10106)43(88erUerUCF 如果令：为阻力系数，则斯托克斯关于均匀流中球体的阻力系数为 对斯托克斯流动的众多研究成果都表明，不同形状物体的阻力都是与来流流速，流体的粘性系数以及物体的特征尺度成正比，只是正比常数各有区别，例如，半径为r0的薄圆盘所受的

33、阻力为：当圆盘正面向前运动时 当圆盘侧缘向前运动时 可见尽管圆盘与圆球的形状有显著差别，但其阻力比圆球只分别低15%和43%。这说明斯托克斯流动中绕流物体所受阻力对物体的形状不太敏感，因而对于与球形相差不多的沙粒，尘埃，细胞等完全可以用圆球的斯托克斯阻力公式估计其阻力。AUFCD221Re24DC0033216UrFUrF4-3-4 奥辛近似 另一个低雷诺数的近似解为奥辛近似。粘性的影响往往主要表现在物体壁面附近的薄层内，随着距离物面的距离加大，粘性作用逐渐下降。以至在一定距离处粘性力项终于下降到与惯性力项相同的数量级，甚至更小，斯托克斯方程已经不能使用。为此，奥辛部分地考虑了N-S方程中的惯

34、性项，但又不使它们成为非线性项，假定：式中 为无穷远处自由流速，为扰动速度，均较 甚小，这一假定在很接近物面处当然不成立。于是N-S方程的惯性项可以分解为两部分：,wvuU;wwvvuu,.,.,xvuxuuxvUxuU和U 其中第二部分中的 等项为二阶小量，与第一部分各相比可以忽略。这样，N-S方程写为：边界条件与N-S方程相同。奥辛使N-S方程线性化既不像斯托克斯那样使迁移速度为零，也不用当地速度u而是使用自由流速度 ，而自由流速度为常数。根据奥辛近似方程的解可以求得圆球绕流的阻力系数为：xuuU）（Re1631Re24DC222111wzptwUtwvyptvUtvuxptuUtu第五章

35、 边界层理论 5-1 边界层概念 边界层是粘性流动中固体壁面附近粘性起主导作用的一薄层流体层。如设一极薄平板，顺流放置于均匀平行流动中，与为受扰动的来流流速 平行。粘性流体流经平板时，仅靠板面的流体质点粘附板上，其速度与平板壁面相同，此处平板静止不动，通过粘性作用，流体质点之间将存在内摩擦阻力，是平板两侧的流体逐渐减慢，形成壁面附近很大的流速梯度。这一流动区域称为边界层，如图5-1所示。通常定义当地流速u(x,y)等于0.99UE时的y值为边界层厚度，也叫边界层名义厚度。UE为当地壁面处的有欧拉方程解得的势流流速。UEUxu99.0),(5-2 5-2边界层厚度边界层厚度 5-2-1 5-2-

36、1边界层名义厚度的量级估计 若将平板上各点除边界层外边缘点连接起来形成一条边界层的外边缘线如图5-1中虚线表示。边界层的厚度随距平板前缘的距离增加而增厚，说明边界层厚度沿流程逐渐发展，。当来流为均匀平行流动，流动无涡。但对于粘性流动由于平板壁面的存在，在边界层内产生流速梯度 ，从而在平板壁面上产生涡量 ，涡量从壁面向外传播的范围所及就是边界层。可见粘性流动流场中的固体壁面是涡量产生的源泉。旋涡同时也被流动带向下游。旋涡向下游x方向传播的速度取决于来流流速 ,而旋涡向y方向扩散的速度可以由 看出，但雷诺数表示为：时，可见雷诺数表示涡旋向下游传播速度的平方与y方向 )(xyuyuUtvtvvtdt

37、ddtd21222dtdUtvUUtvULvUvUL 传播速度的平方之比。雷诺数越大，涡旋向y方向传播速度越小于向下游传播速度，边界层厚度越薄。由此可见，大雷诺数情况下，流场可分为两部分，一部分为无涡的势流，另一部分为粘性起主导作用的有涡流动区域，即边界层流动。大雷诺数的流动绕过任何形状的物体都会发生边界层流动。在接近绕流物体的尾部，由于存在逆压强梯度，压强沿流程增加，而是边界层自物体壁面分离并在物体下游形成尾流区。UUUxyo(x)图5-1 粘性流体流经平板的流动情况LVV22ReLVL粘性力与惯性力相当，则有：由此得：Re1L所以：由此可见，在高雷诺数的条件下，边界层厚度远小于被绕物体的特

38、征长度，即 这与试验结果相符。1L 在边界层研究中有不同的雷诺数的定义，一般的作为整个流动的雷诺数为 。式中 为无穷远处为受扰动的来流流速，L为绕流物体的某一特征长度，如平板的长度，圆柱或圆球的直径等。对于边界层常定义：为边界层雷诺数，x为沿边界层坐标自绕流物体前缘算起的距离。边界层雷诺数还常定义为：由于 ，因此Rex与Re 之间又确定的数量关系。当边界层雷诺数增达到一定数值后流动可从层流转变为紊流。有层流转变为紊流的点的雷诺数称为临界雷诺数。UvLURevxUxRevURe)(x 5-2-2 边界层排挤厚度 在固体壁面附近的边界层中，由于流速受到壁面的阻滞而降低，使得在这个区域内所通过的流量

39、较之理想流体流动时所能通过的流量减少，相当于边界层的固体壁面像流动内移动了一个距离1后理想流体流动所通过的流量。这个距离1称为边界层位移厚度。如图相当OAB面积的流量与BCD面积的流量二者相等。根据定义：即为位移厚度的定义及计算公式。010)1()(dyUudyuUUoABuUEcUyD1图5-2 边界层位移厚度 5-2-3边界层动量损失厚度 边界层内流速的降低不仅使通过的流体质量减少，而也是通过的流体动量减少了。边界层中实际通过的流体动量为 ，如果这些质量通量具有的动量为 ，则二者相差相当于将固体壁面向流动内部移动一个2的距离，即：2即称为动量损失厚度或简称为 动量厚度。图中水平阴影部分面

40、积为位移厚度1，竖向阴影部分 面积为动量损失厚度2。与 和两坐标轴间所形成矩形 的面积即为边界层厚度。面积比 较可得：02002022)1()(dyUuUudyuUudyuuUdyU0.1Uuy1202dyu0uUdy0.0101.0yu/U(1-u/U)1-u/Uu/Uu/UU图5-3 边界层内u/U,(1-u/U),u/U(1-u/U)5-2-4 边界层能量损失厚度 边界层内的流速降低同样使流体的动能通量也减小了。能量损失厚度定义为：由能量厚度可以计算流动的水头损失。边界层外的势流区不会由能量损失，能量损失完全产生于边界层内。单宽重量流体的动能损失为流速水头损失 ，式中q为二位流动是单位宽

41、度过水段面的体积流量。dyudyuUU030233212121dyuuU032)(210223)1(dyUuUu3333221)(gqUqUxhf)(xhf5-2-5 举例 为了形象地说明边界层几个厚度的关系，先对一个边界层内流速为线性分布的典型情况进行分析，如图5-4。设流速分布为：则 定义 为边界层形状参数，则此时 。416121)1()1(32001dyydyUuyUu2112H0.312H231Uuuoy图5-4 边界层各种厚度的比较 5-3不可压缩层流边界层基本方程和边界条件不可压缩层流边界层基本方程和边界条件 5-3-1 5-3-1 平壁面层流边界层基本方程平壁面层流边界层基本方程

42、 （5-1）（5-2）（5-3）为了简化此方程组，首先对它进行无量纲化。根据边界层流动的特点，可以选取L、及U分别为x,y及u的特征值，并且可知：0)(1)(122222222yvxuyvxvypyvvxvutvyuxuxpyuvxuutuRe0eeuLudyxuv 故可取 为v的特征量。当边界层中沿流动方向的压力梯度与惯性力具有相同量级时，则有 于是可取 为p的特征量。我们假定在边界层中，t具有L/ue的量级。用这些特征量去度量各相应的物理量，则可得到量级为1的无量纲物理量 （5-4）2*,Re/,/,Re/,eeeeuppuvvuuuuLttLyyyLxxLuLpe2Re2eu2eu 将这

43、些无量纲量代入基本方程式得 (5-5)(5-6)(5-7)由于式中“”号的各物理量具有1的量级，因此上式各项的量级完全取决于各项无量纲系数的量级。0Re1Re1)(Re1Re1*2*22*22*2*22*2*yvxuyvxvypyvvxvutvyuxuxpyuvxuutu 由于我们讨论的是雷诺数Re1的问题，因此1/Re1，1/Re21,于是方程式(5-5)-(5-7)中带有1/Re，1/Re2系数的项可以忽略，可得 （5-8）（5-9）（5-10）00*2*2*yvxuypyuxpyuvxuutu 利用式（5-4）将上式还原为有量纲的形式的方程为 （5-11）（5-12）（5-13）这就是沿

44、平壁面的不可压缩流体平面层流边界层的基本方程组。00122yvxuypyuvxpyuvxuutu 由式（5-12）可知，压力沿y方向为常数，即p=pe(x,t),式中pe(x,t)是主流在边界层外缘上的压力分布。对于边界层问题的求解来说，pe(x,t)是已知函数。于是上式中的 可写成 由此，沿平壁面的不可压缩流体二元层流边界层的基本方程为 （5-14）（5-15）这就是求解边界层中v，u的封闭方程组。xpxpexp0122yvxuyuvxpyuvxuutue5-3-2边界层的边界条件和起始条件 边界层的边界由物面（y=0）及边界外缘（y=）所组成因此，边界层的边界条件就是指物面条件和边界层外缘

45、条件。在物面上（y=0），流体速度满足 在边界层外缘（y=），流体被看成是理想流体，因此 或写成：0)(0yu0)(0yv（5-17）（5-16）0)(0,xxyyxp01)(00 xxyxxyyuxvyuxvyu1Re1Re/Re/LuLuyuxve根据前述的边界层中的物理的量级关系式5-4可得因此边界层外缘条件可写成00 xxyyu（5-18）因此边界层外缘速度条件可写成 exxyuu0（5-19）严格说来，在y=处，而是euu euu99.0如下图，故准确的外缘速度条件应是 exxyuu0（5-20）同理，边界条件式5-18的准确形式应为：exxyuu0)(（5-21）eu99.0eu边

46、界层外缘图5-5对于不定常流动，还必须给出运动的初始条件，即给出 时刻的速度场0t),()(),()(0000yxvvyxuutt（5-22）（5-23）至此，我们得到了不可压缩层流边界层的基本方程和边界条件。5-3-3边界层壁面阻力系数 壁面阻力是边界层计算的重要课题之一，现给出它们的计算公式。在直角坐标系中，切应力公式为：若曲壁面曲率半径满足 ，则在边界层坐标系中，上式仍然可用。根据边界层中各物理量级特点，切应力公式可写为于是壁面切应力可写成通常用局部阻力系数 表示壁面切应力，其定义为显然，与速度梯度 的关系为)(xvyupyx（5-24）1/bRLyupyx（5-25）0)()(ybyx

47、yup（5-26)fC221)(ebyxfupC(5-27)fCyu02)(2yefyuuC(5-28)5-4 平壁面层流边界层的勃拉修斯解平壁面层流边界层的勃拉修斯解 勃拉修斯精确地求解了零压梯度的定常不可压缩平壁面上的平面层流边界层，所谓零压梯度指 在上述条件下，平壁面边界层方程式可写成 （5-29）（5-30）相应的边界条件为0dxdpe022yvxuyuvyuvxuuVuvuyyy)(0)(0)(005-3-2 平壁面层流边界层的勃拉修斯解平壁面层流边界层的勃拉修斯解一一勃拉修斯勃拉修斯二二 求解此问题的步骤如下：三 （1）利用边界层流动的特点，将基本方程改造常微分方程；四 （2）利用

48、级数展开的方法，求解常微分方程，得出数值解。五 为把方程改造为常微分方程，引进变换式为：六 （5-31）七 （5-32）vxVyx于是 （5-33）（5-34）（5-35）（5-36）22222212221)(21vVyvVyyyxxxxxxvVvxVyx 其次在引进一函数f如下 （5-37）于是有 （5-38）函数f与流函数有密切的关系，其关系式如下：（5-39）dVuf0),(fVufvV 由上可求出分速度v （5-40）将它们代入边界层方程组中的运动方程并利用变换关系式可得 或 （5-41）)2(21ffvVfvVvfffvV2212222233332222222221222ffffff

49、ffVffffVfffV 边界条件式可写为 从上面三个边界条件可以看出他们都与无关，即f=f().于是方程式（5-28）可写成 （5-42）这样平板边界层问题最后归结为求解上述三阶常微分方程的边值问题。1)(0)(0)(00fff022233dfdfdfd二 结果分析 (一)边界层内速度分布 由前知 于是速度可写成 （5-43）（5-44）)(fvVfddfxvVxvddfVddfvVvVvVyu212 (二)边界层的各种厚度 (1)名义厚度 我们已经认为规定:在边界层外缘速度为 由此可以求出边界层的名义厚度。由于 ，=4.92于是 由此可得 （5-45）99.0/Vu92.4)(vxVvxV

50、yxxVvxRe92.492.499.0ddf (2)排挤厚度1 将变化关系式代入排挤厚度公式，得 将速度公式代入可得 式中 =4.92 ，且f()=3.18故平板边界层的流量排挤厚度为 （5-46）dVuVvx01)1()()1(01fVvxdddfVvxVvx74.11 (3)动量损失厚度2 将变换关系式代入动量损失公式为 将速度公式代入可得 式中=4.92，进行积分可得平板边界层动量损失厚度2 （5-47）dVuVuVvx02)1(dddffVvxdddfddfVvxb0202)()1(Vvx664.02第六章第六章 湍流模型理论湍流模型理论 6-1 引言 湍流模型理论是以雷诺平均运动方