2021-2022学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学九年级（上）期中数学试卷.docx

1、2021-2022学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1（3分）将一元一次方程3x216x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（）A3，6B3，6C3，1D3x2，6x2（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（）ABCD3（3分）抛物线y3（x1）22的顶点坐标为（）A（1，2）B（1，2）C（1，2）D（1，2）4（3分）一元二次方程x2+6x+40配方后正确的是（）A（x3）25B（x3）213C（x+3）25D（x+3）2135（3分）如图，四边形ABCD内接于O，E在CD延长线上，若B100，则ADE的度数是（）

2、A100B105C80D1106（3分）青山村种的某农作物2019年平均每公顷产7200kg，2021年平均每公顷产8450kg，设这种农作物每公顷产量的年平均增长率是x，根据题意，所列方程正确的是（）A7200（1+x2）8450B7200+27200x8450C7200（1+x）28450D7200（1+x+x2）84507（3分）如图，将ABC绕点A顺时针方向旋转得到ABC，且点B恰好落在BC上，若ABCB，BAC105，则C的度数是（）A22B23C24D258（3分）方程ax2+bx+c0（a0）有两个不相等的实数根，则抛物线yax2+bx+c的顶点一定在（）A在x轴上方B在x轴下方

3、C在y轴右侧D在y轴左侧9（3分）二次函数yx22x+c的图象经过A（3，y1），B（1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（）A若y10，则y2y30B若y20，则y1y40C若y30，则y1y20D若y40，则y2y3010（3分）已知a，b是方程x2x10的两根，则代数式2a55a+3b3b+1的值是（）A19B20C14D15二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11（3分）在平面直角坐标系中，点（2，1）关于原点对称的点是 12（3分）关于x的一元二次方程x2+4x+m0有两个相等的实数根，则m的值为 13（3分）如图，AB是O的直径，弦CDAB

4、，垂足为E，CD8，BE1，则AB的长为 14（3分）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根长度为3.2m水管AB，在水管的顶端A点处安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离BC3m处达到最高，水柱落地处离池中心距离BD8m，则抛物线形水柱的最高点到地面的距离EC是 m15（3分）已知抛物线yax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象经过（1，0），对称轴在y轴的右侧下列四个结论：abc0；b24ac0；若A（x1，n），B（x2，n）是抛物线上两点，当xx1+x2时，则yc其中正确的是 （填写序号）16（3分）如图1，在矩形ABCD中，ADAB，点E和F同时从点A出发

5、，点E以1cm/s的速度沿ADC的方向运动，点F以1cm/s的速度沿ABC的方向运动，两点相遇时停止运动设运动时间为xs，AEF的面积为ycm2，y关于x的函数图象如图2，图象经过点（3，m）（n，m），则n的值为 三、解答题（共8小题，共72分）17（8分）解方程：x2x3018（8分）如图，在O中，AB=AC，ACB60，求证：AOBBOCAOC19（8分）如图，抛物线yx2+bx+c图象经过（1，0）和（3，0）（1）求出抛物线的解析式；（2）直接写出x满足什么条件时，y随x的增大而减小；（3）直接写出不等式x2+bx+c0的解集；（4）当0x3时，直接写出y的取值范围20（8分）如图是

6、由小正方形组成的66网格，每个小正方形的顶点叫做格点线段AB的两个端点都在格点上，小正方形的边长为1个单位长度，以格点O为原点建立平面角坐标系，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）（1）图1中画出线段AB关于点O对称的图形CD（B与D对应）直接写出C的坐标；（2）图1中画出线段AB绕点O逆时针旋转90后的图形EF（B与F对应），直接写出E的坐标；（3）图2中，点G和点H都在格点上，线段GH是由线段AB绕点P顺时针旋转得到的，画出点P，直接写出P的坐标21（8分）如图，在中，弦AC为2cm，弦BC为4cm，ACB90，AD=BD，OE与弦CD垂直于点E（

7、1）求O的半径；（2）求OE的长22（10分）两段相互垂直的墙AB和AC的长分别为12m和3m，用一段长为23m的篱笆围成一个矩形菜园（篱笆全部使用完），如图所示，矩形菜园的一边AD由墙AC和一节篱笆CD构成，一边AF靠在墙AB上，一边EF上有一个2m的门假设篱笆CD的长为xm，矩形菜园的面积为Sm2（S0），回答下面的问题：（1）用含x的式子表示篱笆DE的长为 m，x的取值范围是 ；菜园的面积能不能等于90m2？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由（2）求菜园面积S的最大值23（10分）提出问题：如图1，在ABC和DEC中，ACBDCE120，BCAC，ECDC，点E在ABC内部，直线A

8、D与BE交于点F，线段AF、BF、CF之间存在怎样的数量关系？探究问题：（1）先将问题特殊化，如图2，当点D、F重合时，直接写出一个等式，表示线段AF、BF、CF之间的数量关系；（2）再探究一般情形，如图1，当点D、F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立解决问题：（3）如图3，在ABC中，C90，ACBC若ADC135，记ADa，BDb，CDc，补充并探究图形，直接写出a、b、c之间的数量关系24（12分）将抛物线y4x28x+7先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C，经过定点D的直线ykx+2（k0）交抛物线C于A，B两点（点A在点B的左侧），点O为坐标原点（1）直接写出

9、抛物线C的解析式和定点D的坐标；（2）用字母S表示三角形的面积，若2SAODSBOD1请补充图1，求k的值；（3）若点P在直线y2上运动，且满足直线PA与直线PB分别与y轴交于M、N两点，请补充图2，求证：OM与ON的积是定值2021-2022学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1（3分）将一元一次方程3x216x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（）A3，6B3，6C3，1D3x2，6x【解答】解：方程整理得：3x26x10，则二次项系数和一次项系数分别为3，6，故选：A2（3分）下列图形中，是中心

10、对称图形的是（）ABCD【解答】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故选：D3（3分）抛物线y3（x1）22的顶点坐标为（）A（1，2）B（1，2）C（1，2）D（1，2）【解答】解：y3（x1）22，顶点坐标为（1，2），故选：B4（3分）一元二次方程x2+6x+40配方后正确的是（）A（x3）25B（x3）213C（x+3）25D（x+3）213【解答】解：方程移项得：x2+6x4，配方得：x2+6x+95，即（x+3）25故选：

11、C5（3分）如图，四边形ABCD内接于O，E在CD延长线上，若B100，则ADE的度数是（）A100B105C80D110【解答】解：B100，ADE100故选：A6（3分）青山村种的某农作物2019年平均每公顷产7200kg，2021年平均每公顷产8450kg，设这种农作物每公顷产量的年平均增长率是x，根据题意，所列方程正确的是（）A7200（1+x2）8450B7200+27200x8450C7200（1+x）28450D7200（1+x+x2）8450【解答】解：设这种农作物每公顷产量的年平均增长率是x，由题意得7200（1+x）28450故选：C7（3分）如图，将ABC绕点A顺时针方向

12、旋转得到ABC，且点B恰好落在BC上，若ABCB，BAC105，则C的度数是（）A22B23C24D25【解答】解：将ABC绕点A顺时针方向旋转得到ABC，ABAB，ABBABB，ABCB，CBAC，ABB2CABB，BAC105，C+ABB75，C25故选：D8（3分）方程ax2+bx+c0（a0）有两个不相等的实数根，则抛物线yax2+bx+c的顶点一定在（）A在x轴上方B在x轴下方C在y轴右侧D在y轴左侧【解答】解：关于x的方程ax2+bx+c0（a0）有两个不相等的实数根，b24ac0，顶点的横坐标为-b2a，纵坐标为4ac-b24a，a0，4ac-b24a0，-b2a不能确定正负，抛

13、物线yax2+bx+c的顶点在x轴上方，故选：A9（3分）二次函数yx22x+c的图象经过A（3，y1），B（1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（）A若y10，则y2y30B若y20，则y1y40C若y30，则y1y20D若y40，则y2y30【解答】解：yx22x+c（x1）2+c1，抛物线开口向上，对称轴为直线x1，1（3）411（1）21，y1y4y2y3，A选项中，若y10，则y2y30，错误，不符合题意B选项中，若y20，由y1y4y20能判断y1y40，错误，不符合题意C选项中，若y30，由y1y4y20不能判断y1y20，错误，不符合题意D选项

14、中，若y40，由y1y4y2y3能判断y2y30符号，正确，符合题意故选：D10（3分）已知a，b是方程x2x10的两根，则代数式2a55a+3b3b+1的值是（）A19B20C14D15【解答】解：a、b是方程x2x10的两根，a2a10，b2b10，a+b1，a2a+1，b2b+1，则2a55a+3b3b+1（2a52a）+（3b33b）3a+2b+12a（a41）+3b（b21）3a+2b+12a（a+1）21+3b（b+11）3a+2b+12a（a2+2a）+3b23a+2b+12a（3a+1）+3（b+1）3a+2b+16a2+2a+3b+33a+2b+16a+6+2a+3b+33a

15、+2b+15a+5b+105（a+b）+105+1015故选：D二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11（3分）在平面直角坐标系中，点（2，1）关于原点对称的点是（2，1）【解答】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，点A（2，1）关于原点过对称的点的坐标是（2，1）故答案为（2，1）12（3分）关于x的一元二次方程x2+4x+m0有两个相等的实数根，则m的值为4【解答】解：根据题意得424m0，解得m4故答案为413（3分）如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为E，CD8，BE1，则AB的长为 17【解答】解：连接OC，如图，CDAB，CEDE=12CD4，设O的半径为r，则OEr

16、1，OCr，在RtOCE中，42+（r1）2r2，解得r8.5，AB17故答案为1714（3分）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根长度为3.2m水管AB，在水管的顶端A点处安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离BC3m处达到最高，水柱落地处离池中心距离BD8m，则抛物线形水柱的最高点到地面的距离EC是 5m【解答】解：以点B为原点，以BD所在直线为x轴，以BA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设ECh，则A（0，3.2），D（8，0），E（3，h），设抛物线解析式为：ya（x3）2+h，把点A（0，3.2），D（8，0），代入得：9a+h=3.225a+h=0，

17、解得：a=-0.2h=5，抛物线形水柱的最高点到地面的距离EC是5m，故答案为：515（3分）已知抛物线yax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象经过（1，0），对称轴在y轴的右侧下列四个结论：abc0；b24ac0；若A（x1，n），B（x2，n）是抛物线上两点，当xx1+x2时，则yc其中正确的是 （填写序号）【解答】解：抛物线的对称轴在y轴的右侧，ab0，又c可以大于0，也可以小于0，不正确，抛物线yax2+bx+c的图象经过（1，0），ab+c0，ac0，ba+c，b24ac（a+c）22ac（ac）20故正确；A（x1，n），B（x2，n）是抛物线上两点，抛物线的对称轴是x=x1+

18、x22=-b2a，x1+x2=-ba，当xx1+x2时，ya（-ba）2+b（-ba）+cc故正确故答案为：16（3分）如图1，在矩形ABCD中，ADAB，点E和F同时从点A出发，点E以1cm/s的速度沿ADC的方向运动，点F以1cm/s的速度沿ABC的方向运动，两点相遇时停止运动设运动时间为xs，AEF的面积为ycm2，y关于x的函数图象如图2，图象经过点（3，m）（n，m），则n的值为 3+6【解答】解：由图2可知，当点F运动到点B时，y=12ABAD2.5，即ABAD5，当点E和点F相遇时，即到达点C时，运动了6秒，即AB+AD6cm，解得：AB5cm，AD1cm，当x3时，如图，AFx

19、cm，m=12AFEM=1231=32cm2；当xn时，点E在CD上，点F在BC上，如图，此时，EC（6n）cm，CF（6n）cm，BF（n5）cm，y=12（6n+5）1-125（n5）-12（6n）2=32；解得n3+6，或n3-6（舍）故答案为：3+6三、解答题（共8小题，共72分）17（8分）解方程：x2x30【解答】解：x2x30，a1，b1，c3，b24ac（1）241（3）130，方程有两个不等的实数根，x=1132，则x1=1-132，x2=1+13218（8分）如图，在O中，AB=AC，ACB60，求证：AOBBOCAOC【解答】证明：AB=AC，ABACABC是等腰三角形A

20、CB60ABC是等边三角形，ABBCCAAOBBOCCOA19（8分）如图，抛物线yx2+bx+c图象经过（1，0）和（3，0）（1）求出抛物线的解析式；（2）直接写出x满足什么条件时，y随x的增大而减小；（3）直接写出不等式x2+bx+c0的解集；（4）当0x3时，直接写出y的取值范围【解答】解：（1）将点（1，0）和（3，0）代入函数解析式，得-1-b+c=0-9+3b+c=0，解得：b=2c=3，抛物线的解析式为yx2+2x+3（2）yx2+2x+3（x1）2+4，函数开口向下，对称轴为直线x1，x1时，y随x的增大而减小（3）由图可知，当1x3时，函数图象在x轴的上方，x2+bx+c0

21、的解集为1x3（4）由图象开口向下，对称轴为直线x1知，当0x1时，y随x的增大而增大，当1x3时，y随x的增大而减小，当x1时，y最大值1+2+34，当x3时，y最小值32+23+30，当0x3时，y的取值范围为0y420（8分）如图是由小正方形组成的66网格，每个小正方形的顶点叫做格点线段AB的两个端点都在格点上，小正方形的边长为1个单位长度，以格点O为原点建立平面角坐标系，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）（1）图1中画出线段AB关于点O对称的图形CD（B与D对应）直接写出C的坐标；（2）图1中画出线段AB绕点O逆时针旋转90后的图形EF（B与

22、F对应），直接写出E的坐标；（3）图2中，点G和点H都在格点上，线段GH是由线段AB绕点P顺时针旋转得到的，画出点P，直接写出P的坐标【解答】解：（1）图1中，CD即为所求；C的坐标为（3，2）；（2）图1中，EF即为所求；E的坐标为（2，3）；（3）如图2中，点P即为所求，此时B对应H，A对应G，B（0，3），H（3，1），BH的中点J（32，2），AG的中点K（-32，2），KJ3，PJK+BJG90，BJG+OBH90，PJKOBH，tanPJKtanOBH=32，PKJKtanPJK=92，92-2=52，P（-32，-52）如图3中，点P即为所求，此时B与G对应，A与H对应同法可得P

23、（16，52）综上所述：P（-32，-52）或（16，52）21（8分）如图，在中，弦AC为2cm，弦BC为4cm，ACB90，AD=BD，OE与弦CD垂直于点E（1）求O的半径；（2）求OE的长【解答】解：（1）如图，连接AB.ACB90，AB是直径，AB=AC2+CB2=22+42=25，O的半径为5（2）过点D作DMBC于点M，DNCA交CA的延长线于点N，连接BD，DN，ODAD=BD，ADBD，DCADCB，DMCB，DNCN，NCMD90，在CDM和CDN中，CMD=N=90DCM=DCNCD=CD，CDMCDN（AAS），CMCM，DNDM，在RtDNA和RtDMB中，DN=DM

24、DA=DB，RtDNARtDMB（HL），ANBM，AC+CBCBAN+CM+BM2CM6，CM3，MCD45，CD32OECD，ECDE=322，在RtOED中，OE=OD2-DE2=5-(322)2=2222（10分）两段相互垂直的墙AB和AC的长分别为12m和3m，用一段长为23m的篱笆围成一个矩形菜园（篱笆全部使用完），如图所示，矩形菜园的一边AD由墙AC和一节篱笆CD构成，一边AF靠在墙AB上，一边EF上有一个2m的门假设篱笆CD的长为xm，矩形菜园的面积为Sm2（S0），回答下面的问题：（1）用含x的式子表示篱笆DE的长为 222xm，x的取值范围是 5x11；菜园的面积能不能等于

25、90m2？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由（2）求菜园面积S的最大值【解答】解：（1）AC3，CDx，EFAC+CD3+x，DE23CDEF+223x（3+x）+223x3x+2222x，0222x12，5x11，故答案为：222x，5x11；菜园的面积能等于90m2，根据题意，得：（3+x）（222x）90，整理得：x28x+120，解得：x12，x26，5x11，x6，答：当x6m时，菜园的面积为90m2；（2）由题意，得：S（3+x）（222x）2x2+16x+662（x4）2+98，20，当x4时，S随x的增大而减小，5x11，当x5时，S有最大值，最大值2（54）2+9896

26、，答：菜园面积S的最大值为96m223（10分）提出问题：如图1，在ABC和DEC中，ACBDCE120，BCAC，ECDC，点E在ABC内部，直线AD与BE交于点F，线段AF、BF、CF之间存在怎样的数量关系？探究问题：（1）先将问题特殊化，如图2，当点D、F重合时，直接写出一个等式，表示线段AF、BF、CF之间的数量关系；（2）再探究一般情形，如图1，当点D、F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立解决问题：（3）如图3，在ABC中，C90，ACBC若ADC135，记ADa，BDb，CDc，补充并探究图形，直接写出a、b、c之间的数量关系【解答】解：（1）如图1，BFAF+3CF，理由如下：

27、作CGDE于G，CDCE，DE2DG，DCG=12DCE60，DE2DG2（CFsin60）=3CF，DCEACB120，ACDBCE，CFCE，ACCB，ACFBCE（SAS），AFBE，BFBE+DEAF+3CF；（2）证明：如图2由（1）知，ACDBCE，ADBE，DACDBE，AFBBCF120，DFE180AFB18012060，DFE+DCE60+120180，点F、D、C、E共圆，FEC+FDC180，CDCE，CD=CE，DFCCFE30，将CEF绕点C逆时针旋转120知CDG，CGCF，DGEF，GCFEDFC30，GDCFEC，GDC+FDC180，F、D、G在同一条直线上

28、，由（1）知，FG=3CF，BFBE+EFAD+DG（AF+DF）+DGAF+（DF+DG）AF+FGAF+3CF；（3）如图3，将ACD绕点C顺时针旋转90至ECB，CEBADC135，BEADa，CDE90，CECDc，CEDCDE45，DE=2CD=2c，DECCEBCED1354590，BD2DE2+BE2b2（2c）2+a22c2+a224（12分）将抛物线y4x28x+7先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C，经过定点D的直线ykx+2（k0）交抛物线C于A，B两点（点A在点B的左侧），点O为坐标原点（1）直接写出抛物线C的解析式和定点D的坐标；（2）用字母S表

29、示三角形的面积，若2SAODSBOD1请补充图1，求k的值；（3）若点P在直线y2上运动，且满足直线PA与直线PB分别与y轴交于M、N两点，请补充图2，求证：OM与ON的积是定值【解答】解：（1）y4x28x+74（x1）2+3，向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C的解析式为：y4（x1+1）2+33，即y4x2，在ykx+2中，令x0得y2，D（0，2）；（2）补充图如下：由y=4x2y=kx+2得4x2kx20，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是4x2kx20的二实数根，x1+x2=k4，x1x2=-12，2SAODSBOD1，212OD（x1）-12

30、ODx21，即2x1x21，由得x22x11，代入得：x1（2x11）=-12，解得x1=-1-54或-1+54，x10，x1=-1-54，x22-1-54-1=5-12，将x1=-1-54，x2=5-12代入得：k=5-3；（3）补充图形如下：由y=4x2y=kx+2得4x2kx20，设A（x1，kx1+2），B（x2，kx2+2），则x1、x2是4x2kx20的二实数根，x1+x2=k4，x1x2=-12，设P（m，2），直线PA为ytx+b，则kx1+2=tx1+b-2=tm+b，消去t得b=(km+2)x1+2mm-x1，直线PA与y轴交点M（0，(km+2)x1+2mm-x1），OM|(km+2)x1+2mm-x1|，同理可得ON|(km+2)x2+2mm-x2|，OMON|(km+2)x1+2mm-x1|(km+2)x2+2mm-x2|(km+2)x1+2mm-x1(km+2)x2+2mm-x2|(km+2)2x1x2+2m(km+2)(x1+x2)+4m2m2-m(x1+x2)+x1x2|，而x1+x2=k4，x1x2=-12，OMON|-12(km+2)2+2m(km+2)k4+4m2m2-mk4-12|4m2-km-2m2-km4-12|4(m2-km4-12)m2-km4-12|4，OM与ON的积是定值4第24页（共24页）