江苏省镇江市九校2020届高三下学期期初3月线上模拟联考数学试题含答案.pdf

1、 1 镇江市九校镇江市九校 2020 届高三年级届高三年级 3 月模拟考试月模拟考试 数学 I 卷试题 参考公式： 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分，请将答案填写在答题卡相应的位置上分，请将答案填写在答题卡相应的位置上 1已知全集 U=2，1，0，1，2，集合 A=2，1，1，则 = 2已知复数 z=(1i)(a+i)（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数 a 的值为 3数据 1，3，5，7，9 的标准差为 4函数 f(x)= 12x 的定义域是 5 在一底面半径和高都是 2m 的圆柱形容器中盛满小麦， 有一粒带麦锈病的种子混入了

2、其中 现 从中随机取出 2m3的种子，则取出了带麦锈病种子的概率是 6右图是一个算法的伪代码，则输出的 i 的值为 7.在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 2 2 2 1(0) y xb b =经过点(3，4)，则 该双曲线的准线方程为 8.设 Sn是等比数列an的前 n 项的和，S3，S9，S6成等差数列，则 25 8 aa a + 的值为 9给出下列四个命题，其中正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号） 因为当 x 3 时，sin( x+ 2 3 )sinx，所以 2 3 不是函数 y=sinx 的周期； 对于定义在 R 上的函数 f(x)，若 f( 2 ) f (2)，则函数 f

3、(x)不是偶函数； 2 “MN”是“log2Mlog2N”成立的充分必要条件； 若实数 a 满足 a24，则 a2 10.如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为 2 的正方形，上面三角形是等边三角形， 左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为 11.在平面直角坐标系 xOy 中，若函数 f(x)lnxax 在x=1处的切线与 圆 C：x22x+y2+1a=0存在公共点，则实数 a 的取值范围为 12.已知函数f(x)ax3 +bx 2 +cx ，若关于 x 的不等式f(x) 0 的解集是(，1)(0，2)，则 bc a + 的值为 13.在边长为 4 的菱形 ABCD 中， A

4、=60 ， 点 P 在菱形 ABCD 所在的平面内 若 PA=3， PC=21 ， 则PB PD uuu r uuu r g = 14.设函数，g(x) =k ( x 4 3)，其中 k0若存在唯一的整数 x， 使得 f(x) g (x)，则实数 k 的取值范围是 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、分请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 15(本小题满分 14 分) 如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O，M 为棱

5、 PD 的中点， MA=MC 求证： （1）PB/平面 AMC； （2）平面 PBD平面 AMC 3 16.（本小题满分 14 分） 在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 tanA，tanB，tanC 成等差 数列，cosA，cosC，cosB 成等比数列 （1）求 A 的值； （2）若ABC 的面积为 1，求 c 的值. 17(本小题满分 14 分) 某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖如图，该弓形所在的圆是以 AB 为直径的圆，且 AB=300 米，景观湖边界 CD 与 AB 平行且它们间的距离为 50 2米开发商 计划从 A 点出发建一座

6、景观桥（假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行） ，桥面在湖面 上的部分记作 PQ设AOP=2 （1）用表示线段 PQ，并确定 sin2的范围； （2）为了使小区居民可以充分地欣赏湖景，所以要将 PQ 的长度设计到最长，求 PQ 的最大值 4 18(本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，右顶点 A(2，0) 到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为 1 2 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若 M，N 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两点，设 P(4，0)，连接 PM 交椭圆 C 于另一 点 E求证：直线 NE 过定

7、点 B，并求出点 B 的坐标； （3）在（2）的条件下，过点 B 的直线交椭圆 C 于 S，T 两点，求OS OT uuu r uuu r g 的取值范围 5 19(本小题满分 16 分) 已知函数，其中 a0，b0 （1）求函数 f(x)的单调区间； 若 x1，x2满足 （2） 函数 若对任意 x1， x2(0， 都有|f(x1)f(x2)|g(x1)g(x2)|， 求 ba 的最大值 6 20(本小题满分 16 分) 已知an，bn，cn都是各项不为零的数列，且满足 a1b1 +a 2b2+anbn =c nSn，nN*，其 中 Sn是数列an的前 n 项和，cn是公差为 d(d0)的等差

8、数列 （1）若数列an是常数列，d2，c23，求数列bn的通项公式； （2）若 ann( 是不为零的常数)，求证：数列bn是等差数列； （3）若 a1 =c 1=d=k（k 为常数，kN*） ，bn =c n+k (n2，nN*) 求证：对任意的 n2，nN*，恒成立 7 2020 届高三年级 3 月模拟考试 数学卷（附加题）试题 21.【选做题】在 A，B，C 四小题中只能选做两题，每小题 10 分，共 20 分解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤 A.选修 4-2：矩阵与变换 已知二阶矩阵 A，矩阵 A 属于特征值 11 的一个特征向量为 1，属于特征 值 24 的一个特征向量为 2

9、 求矩阵 A B.选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知曲线 C 的参数方程为( 为参数) 以直角坐标系原点 O 为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为2 2点 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 距离的最大值 C.选修 4-5：不等式选讲 若正数 a、b、c 满足 abc1，求的最小值 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答卷纸指定区域内作答解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤 8 22.（本小题满分 10 分） 如图，在正四棱锥 PABCD 中，底面正方形的对角线 AC，BD 交

10、于点 O 且 OP 1 2 AB （1）求直线 BP 与平面 PCD 所成角的正弦值； （2）求锐二面角 BPDC 的大小 9 23.（本小题满分 10 分） 定义：若数列an满足所有的项均由1，1 构成且其中1 有 m 个，1 有 p 个(m+p3)，则称 a n 为“(m，p)数列” （1）为“(3，4)数列”an中的任意三项，则使得1 的取法有多 少种? （2）为“(m，p)数列”an中的任意三项，则存在多少正整数对(m，p) 使得 1mp100，且 1 的概率为 1 2 。 S9 i1 WhileS0 SSi ii1 EndWhile Printi （第 6 题） 数学答案 参考公式：

11、 样本数据 1 x， 2 x， n x的标准差 2 1 1 () n i i sxx n ，其中 1 1 n i i xx n ； 柱体的体积公式：VSh，其中 S 为柱体的底面积，h 为柱体的高 锥体的体积公式： 1 3 VSh，其中 S 为锥体的底面积，h 为锥体的高 一、一、填空题：本大题共填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分，请将答案填写在答题卡相应的位分，请将答案填写在答题卡相应的位 置上置上 1已知全集21 0 1 2U ， ，集合2 1 1A ，则 UA 答案：0 2， 2已知复数 z1iia（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数 a 的值为

12、答案：1 3数据 1，3，5，7，9 的标准差为 答案：2 2 4函数 12xf x 的定义域是 答案：0， 5在一底面半径和高都是 2m 的圆柱形容器中盛满小麦，有一粒带麦锈病的种子混入了其 中现从中随机取出 2 3 m的种子，则取出了带麦锈病种子的概率是 答案： 1 4 6右图是一个算法的伪代码，则输出的 i 的值为 答案：5 7. 在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 2 2 2 1(0) y xb b 经过点3 4，则该双曲线的准线 方程为 答案： 3 3 x 8. 设 n S是等比数列 n a的前 n 项的和， 396 SSS， ，成等差数列，则 25 8 aa a 答案：2（必修

13、五（必修五 P.62第第 10 题改编）题改编） 9给出下列四个命题，其中正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号） 3 x 时， 2 sinsin 3 xx，所以 2 3 一定不是函数sinyx的周期； 对于定义在R上的函数 f x，若 22ff，则函数 f x一定不是偶函数； “MN”是“ 22 loglogMN”成立的充分必要条件； 若实数 a 满足 2 4a ，则2a 答案： 10. 如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中中间是边长为 2 的正方形，上面三角形是等边 三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为 答案： 4 3 3 11. 在平面直角坐标系xOy中， 若函数

14、 lnf xxax在1x处的切线与圆C： 012 22 ayxx存在公共点，则实数 a 的取值范围为 答案： 012 ， 12. 已知函数 32 fxaxbxcx，若关于 x 的不等式 0fx 的解集是10 2 ， 则 bc a 的值为 答案：3 13.在边长为 4 的菱形 ABCD 中，A=60点 P 在菱形 ABCD 所在的平面上若3PA， 21PC ，则PB PD = 答案：1 14.设函数 2 17 220 4 0 k xx f x xx ， ， ， 4 3 g xk x，其中0k 若存在唯一的整 （第 10 题） A P D B C O M O （第 15 题） 数 x，使得 f x

15、g x ，则实数 k 的取值范围是 答案： 17 6 3 ， 二、解答题解答题：本大题共本大题共 6 小题小题，共计共计 90 分分请在答题卡指定区域作答请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤 15(本小题满分 14 分) 如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O，M 为棱 PD 的中点，MAMC 求证： （1）PB/平面 AMC； （2）平面 PBD平面 AMC 证明： （1）连结OM， 因为O为菱形 ABCD 对角线 AC，BD 的交点， 所以O为 BD 的中点 2 分 又 M

16、为棱 PD 的中点， 所以/OMPB， 4 分 又OM 平面 AMC，PB 平面 AMC， 所以 PB/平面 AMC； 6 分 （2）在菱形 ABCD 中，ACBD，且O为 AC 的中点， 又 MAMC，故 ACOM， 8 分 而 OMBDO，OM，BD平面 PBD， 所以 AC平面 PBD， 11 分 又 AC平面 AMC， 所以平面 PBD平面 AMC 14 分 16. （本小题满分 14 分） 在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知tan A，tanB，tanC 成等差数列，cosA， cosC，cosB成等比数列 （1）求A的值； （2）若ABC 的面积

17、为 1，求 c 的值. 解： （1）由题意知： tantan2tan coscoscos ACB ABC ， ， 因为ABC，所以coscoscoscossinsincoscosCABABABAB 又因为ABC 为锐角三角形，所以 sinsin tantan2 coscos AB AB AB ， 2 分 所以 tantan tantantantan tantan1 AB CABAB AB ， 所以tan2tanBA，与式联立， 解得tan1A（负舍） ， 4 分 又0,A，所以 4 A 6 分 （2）由（1）知，tan1A，tan2tan2BA，且tan3C ， 又 22 sin tan2 c

18、os sincos1 B B B BB ，结合0B，解出 2 5 sin 5 B ， 8 分 同理解出 3 sin10 10 C ， 10 分 在ABC 中，由正弦定理知： sinsin bc BC ， 因此 2 5 sin2 2 5 3 sin3 10 10 B bcc C ， 12 分 又 1 sin1 2 bcA ，由此解出3c 14 分 17(本小题满分 14 分) 某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖 如图， 该弓形所在的圆是 以 AB 为直径的圆， 且300AB 米， 景观湖边界 CD 与 AB 平行且它们间的距离为50 2 米开发商计划从 A 点出发建一座景观桥（

19、假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均 平行） ，桥面在湖面上的部分记作 PQ设2AOP （1）用表示线段 PQ，并确定sin2的范围； （2）为了使小区居民可以充分地欣赏湖景，所以要将 PQ 的长度设计到最长，求 PQ 的最大值 解： （1）过点 Q 作QHAB于点 H，则50 2QH ， 在三角形 AOP 中， 因为300AB ，2AOP， 所以 2 OAP，300sinAP， 所以 50 2 cos AQ ，故 50 2 300sin cos PQAPAQ 4 分 因为 50 2 300sin0 cos PQ ，即 2 sin2 3 ，且20 ， 6 分 （2）因为 50 22 300si

20、n50 6sin coscos PQAPAQ ， 令 2 6sin cos f ， 2 sin2 3 ，且20 ， 8 分 所以 3 2 2sin 6cos2cos3 2tantan cos f ， 令 0f，即 3 tantan3 20， 所以 2 tan2tan2 tan30， 10 分 记 0 tan2， 0 0 2 ， 所以当 0 0时， 0f， f单调递增； 所以当 0 2 时， 0f， f单调递减， 又因为 0 2 22 sin2 33 ，所以当tan2时， f取最大值 此时 63 sincos 33 ，所以 PQ 的最大值为50 6米 答：湖上桥面 PQ 长度的最大值为50 6米

21、 14 分 18(本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，右顶点 O Q P BA D C （第 17 题） A(2，0)到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为1 2 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若 M，N 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两点，设 P(4，0)，连接 PM 交椭圆 C 于另一点 E求证：直线 NE 过定点 B，并求出点 B 的坐标； （3）在（2）的条件下，过点 B 的直线交椭圆 C 于 S，T 两点，求OS OT 的取值范围 解： （1）设椭圆 C 的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab

22、0)，焦距为 2c， 由题意得 a2，e1 2， 2 分 即 1 2 c a ，所以 c1， 222 3bac 所以椭圆 C 的标准方程为x 2 4 y 2 3 1 4 分 （2）证明：根据对称性，直线 NE 过的定点 B 一定在 x 轴上 由题意可知直线 PM 的斜率存在，设直线 PM 的方程为 yk(x4) 由 22 4 1 43 yk x xy ， 消去 y 得 (4k23)x232k2x64k2120 设点 M(x1，y1)，E(x2，y2)， 所以 x1x2 32k2 4k23，x 1x264k 212 4k23 ， 6 分 又因为 N(x1，y1)，所以直线 NE 的方程为 yy2

23、y2y1 x2x1(xx 2) 令 y0，得 xx2y2 x2x1 y2y1 将 y1k(x14)，y2k(x24)代入上式并整理， 得 1212 12 24 8 x xxx x xx 整理得 22 22 12824128 1 322432 kk x kk 所以，直线 NE 过 x 轴上的定点 B(1，0) 10 分 （3）当过点 M 的直线 ST 的斜率不存在时， 直线 ST 的方程为 x1，S(1，3 2)，T(1， 3 2)，此时OS OT 5 4 12 分 当过点 B 的直线 ST 的斜率存在时， 设直线 ST 的方程为 ym(x1)，且 S(xS，yS)，T(xT，yT)在椭圆 C

24、上， 由 22 1 1 43 ym x xy ， ，得(4m23)x28m2x4m2120， 则(8m2)24(4m23)(4m212)144(m21)0 故有 xSxT 8m2 4m23，x SxT4m 212 4m23 ， 14 分 从而 ySyTm2(xS1)(xT1)m2(xSxT)xSxT1 9m2 4m23 所以OS OT xSxTySyT5m 212 4m23 5 4 33 4(4m23) 由 2 0m ，得 5 4 4 OS OT ， 综上，OS OT 的取值范围是 5 4 4 ， 16 分 19(本小题满分 16 分) 已知函数 2 1 2 ax fx bx ，其中0a ，0

25、b （1）求函数 fx的单调区间； 若x1， x2满足 1 1 2 i xi a ， 且 12 0xx，20x 求证： 12 2 a f xf x b （2） 函数 2 1 ln 2 g xaxx 若对任意 12 1 0xx a ， 12 xx， 都有|f(x1)f(x2)|g(x1) g(x2)|，求ba的最大值 解：（1）因为 f (x)ax 21 2bx2 ，0x 令 f (x)0，得 x 1 a或 x 1 a， 所以 f(x)的单调增区间为(， 1 a)和( 1 a，) 2 分 令 f (x) a b 综上，f(x1)2f(x2) a b 8 分 （2）g (x)ax1 x ax21

26、x ，x(0， 1 a)，所以 g (x)0， 所以函数 g(x)在(0， 1 a)上是减函数 不妨假设 x1x2 由（1），知 f(x) 在(0， 1 a)上是减函数， 所以不等式|f(x1)f(x2)|g(x1)g(x2)|等价于 f(x1)f(x2)g(x1)g(x2)，10 分 即f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)0 令 M(x)f(x)g(x)，x(0， 1 a)，则 M(x)为减函数 因为 M (x)f (x)g (x)ax 21 2bx2 ax1 x (ax21)(12bx) 2bx2 ， 所以(ax 21)(12bx) 2bx2 0 在区间(0， 1 a)上恒成立， 即

27、12bx0 在区间(0， 1 a)上恒成立， 所以 12b a 0，即 b a 2 14 分 所以 ba a 2 a( a1 4) 21 16 1 16 所以 ba 的最大值为 1 16 16 分 20(本小题满分 16 分) 已知an， bn， cn都是各项不为零的数列， 且满足 * 1 122nnnn a ba ba bc SnN， 其中 Sn是数列an的前 n 项和，cn是公差为0d d 的等差数列 （1）若数列an是常数列，d2，c23，求数列bn的通项公式； （2）若 ann (是不为零的常数)，求证：数列bn是等差数列； （3）若 11 acdk（k 为常数， * k N） ， *

28、 2 nn k bcnn N， 求证：对任意的 * 2nnN， 1 1 nn nn bb aa 恒成立 解： （1）因为 d2，c23，所以 cn2n1 因为数列an是各项不为零的常数列，所以 a1a2an，Snna1， 则由 Sncna1b1a2b2anbn及 cn2n1，得 n(2n1)b1b2bn， 当 n2 时，(n1)(2n3)b1b2bn1， 两式相减得 bn4n3 当 n1 时，b11，也满足 bn4n3，故 bn4n3(nN*)4 分 （2）因为 a1b1a2b2anbnSncn， 当 n2 时，Sn1cn1a1b1a2b2an1bn1， 两式相减得 SncnSn1cn1anb

29、n， 即(Sn1an) cnSn1cn1anbn，Sn1(cncn1)ancnanbn， 即 Sn1dncnnbn7 分 又 Sn1n(n1) 2 ，所以 n(n1) 2 dncnnbn，即 n1 2 dcnbn， 所以当 n3 时，n2 2 dcn1bn1， 两式相减得 bnbn13 2d(n3)， 所以数列bn从第二项起是公差为 3 2d 等差数列 又当 n1 时，由 S1c1a1b1，得 c1b1， 当 n2 时，由 b221 2 dc21 2dc 1db13 2d，得 b 2b13 2d 故数列bn是公差为 3 2d 等差数列 10 分 （3）由（2）得当 n2 时，Sn1(cncn1

30、)ancnanbn，即 Sn1dan(bncn)， 因为 bncnk，所以 bncnkd，即 bncnkd，所以 Sn1dankd，即 Sn1kan 所以 SnSn1an(k1)an 当 n3 时，Sn1(k1)an1kan， 即 ank1 k an1，故从第二项起数列an是等比数列 所以当 n2 时，ana2(k1 k )n 2 12 分 bncnkcnkdc1(n1)kk2k(n1)kk2k(nk) 另外由已知条件得，(a1a2)c2a1b1a2b2，又 c22k，b1k，b2k(2k)， 所以 a21，因而 an(k1 k )n 2 令 dnbn an，则 dn1 dn 1bn 1an

31、an1bn1 (nk1)k (nk)(k1)1 n (nk)(k1)0， 对任意的 * 2nnN， 1 1 nn nn bb aa 恒成立16 分 数学 II （附加题） 21. 【选做题】 在 A，B，C 四小题中只能选做两题，每小题 10 分，共 20 分解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤 A. 选修 42：矩阵与变换 已知二阶矩阵 A ab cd ，矩阵 A 属于特征值11 的一个特征向量为1 1 1 ，属 于特征值24 的一个特征向量为2 3 2 求矩阵 A 解：由特征值、特征向量定义可知，A111， 即 ab cd 1 1 1 1 1 ，得 ab1， cd1. 5 分 同理可

32、得 3a2b12， 3c2d8， 解得 a2，b3，c2，d1. 因此矩阵 A 23 21 10 分 B. 选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 的参数方程为 x2cos， ysin (为参数)以直角 坐标系原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 cos 4 2 2点 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 距离的最大值 解：cos 4 22化简为cossin4， 则直线l的直角坐标方程为xy4.4分 设点 P 的坐标为(2cos，sin)， 得 P 到直线 l 的距离 d|2cossin4| 2 ， 即 d|

33、5sin4| 2 ，其中 cos 1 5，sin 2 5. 8 分 当 sin()1 时，dmax2 2 10 2 10 分 C. 选修 45：不等式选讲 若正数 a、b、c 满足 abc1，求 1 3a2 1 3b2 1 3c2的最小值 解：因为正数 a、b、c 满足 abc1， 所以 1 3a2 1 3b2 1 3c2 (3a2)(3b2)(3c2)(111)2，5 分 即 1 3a2 1 3b2 1 3c21， 当且仅当 3a23b23c2，即 abc1 3时，原式取最小值 1 10 分 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答卷纸指定区域内 作答解答

34、应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22. （本小题满分 10 分） 如图，在正四棱锥 PABCD 中，底面正方形的对角线 AC，BD 交于点 O 且 OP1 2AB （1）求直线 BP 与平面 PCD 所成角的正弦值； （2）求锐二面角 BPDC 的大小 解： （1）在正四棱锥 PABCD 中，底面正方形的对角线 AC，BD 交于点 O， 所以 OP平面 ABCD，取 AB 的中点 E，BC 的中点 F， 所以 OP ，OE，OF 两两垂直，故以点 O 为坐标原点， 以 OE，OF，OP 分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系. 设底面正方形边长为 2，因为 OP1 2AB，所以

35、 OP1， 所以 B(1，1，0)，C(1，1，0)，D(1，1，0)，P(0，0，1)， 所以BP (1，1，1)， 2 分 设平面 PCD 的法向量是 n(x，y，z)， 因为CD (0，2，0)，CP(1，1，1)， 所以CD n2y0，CP nxyz0， 取 x1，则 y0，z1，所以 n(1，0，1)， O B P D C A （第 22 题） 所以 cos BP n |BP | | n| 6 3 ， 所以直线 BP 与平面 PCD 所成角的正弦值为 6 3 .5 分 （2）设平面 BPD 的法向量是 m(x，y，z)， 因为BP (1，1，1)，BD(2，2，0)， 所以BP mx

36、yz0，BD m2x2y0， 取 x1，则 y1，z0，所以 m(1，1，0)，7 分 由（1）知平面 PCD 的法向量是 n(1，0，1)， 所以 cos m n | m| n| 1 2，所以60， 所以锐二面角 BPDC 的大小为 6010 分 23. （本小题满分 10 分） 定义： 若数列 n a满足所有的项均由1 1 ，构成且其中1有 m 个，1有 p 个3mp， 则称 n a为“m p ，数列” （1） ijk aaaijk， ， 为“ 3 4 ， 数列” n a中的任意三项，则使得1 ijk a a a 的取 法有多少种? （2） ijk aaaijk， ， 为“m p ，数列”

37、 n a中的任意三项，则存在多少正整数 对 mp， 使得1 100mp ，且 1 ijk a a a 的概率为 1 2 ? 解： （1）三个数乘积为 1 有两种情况： “1, 1,1 ” “1,1,1” ， “1, 1,1 ” ：共有 21 34 CC =12种； “1,1,1” ：共有 3 4 C =4种. 利用分类计数原理， 1 ijk a a a 共有12416种取法.2 分 （2）与（1）基本同理， “1, 1,1 ”共有 21 CC mp 种； “1,1,1” ：共有 3 Cp种. 而在“,m p 数列”中任取三项共有 3 Cm p 种， 所以根据古典概型有： 213 3 C CC

38、1 2C mpp mp ，4 分 再根据组合数的计算公式能得到： 22 32320pmppmpmm， 1 pm 时， 应满足 1100 3 mp mp pm ，所以,2,3,4,100m pk kk， 共有 99 个6 分 2 22 32320ppmpmm时，应满足 22 1100 3 32320 mp mp ppmpmm ， 视m为常数，可解得 23241 2 mm p .因为1m，所以2415m ， 根据pm可知， 23241 2 mm p （否则1pm） 下设241km，则由于p为正整数知k必为正整数， 又因为1100m，所以549k. 化简上述关系式可以知道： 2 111 2424 kkk m ， 所以1,1kk均为偶数，所以设 * 21kttN，则224t ， 所以 2 11 246 t tk m ，由于, 1t t 中必存在偶数， 故只需,1t t 中存在数为 3 的倍数即可，所以2,3,5,6,8,9,11,23,24t ， 所以5,11,13,47,49k ,8分 检验： 232411148 50 100 22424 mmkk p 符合题意， 所以共有 16 个. 综上所述：共有 115 个数对,m p符合题意10 分 阅卷注意：阅卷注意：8 8 分点到分点到 1010 分点之间的检验如果没写则扣去两分分点之间的检验如果没写则扣去两分