第二类换元法课件.ppt

1、换换 元元 法法(二二)21.xx dx练练求求习习一一练习练习122s2.incos.xxdx练练求求习习练习练习222).(0dxaax例例求求1313练习练习3214.dxx练练求求习习四四练习练习4()(),.f x当被积函数不能用第一类换元当被积函数不能用第一类换元法凑微分法 时 就要用一种相反的法凑微分法 时 就要用一种相反的代换代换22?ax dx如如何何求求()(),()0),()()()(),.xtttf x dxftt dtthe second integration by substitution通过变量代换一般要求通过变量代换一般要求是单调 的且有连续的导数是单调 的且

2、有连续的导数把积分转化为一个易于计算把积分转化为一个易于计算的积分这种换元的的积分这种换元的方法方法第二类换元法第二类换元法称为称为2.2.第二类换元积分法第二类换元积分法 ,uxfxx dxfxtf x dxftt dutu d第第一一类类:第第两两类类换换元元法法二二类类:的的比比较较:例例1 1 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecCtttanseclntax22ax .ln22Caaxax 2,2t例例2 2 求求解解.423dxxx 令令txsin2 tdtdxcos2 2,2tdxxx 2

3、34 tdtttcos2sin44sin223 tdtt23cossin32 tdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(3253t2x24x .4514345232Cxx 例例3 3 求求解解).0(122 adxax令令taxsec 2,0ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecCtt tanseclntax22ax .lnCaaxax 22说明说明(1)(1)以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.

4、一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 积分中为了化掉根式是否一定采用积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定情况来定.说明说明(2)(2)例例4 4 求求dxxx 251（三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）21xt 令令,122 tx,tdtxdx dxxx 251 tdttt 221 dttt 1224Cttt 353251.1)348(151242Cxxx 解解例例5 5 求求

5、解解.11dxex xet 1令令,12 tex,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 1111Ctt 11ln.lnCxex 112 ,1ln2 tx说明说明(4)(4)当分母的阶较高时当分母的阶较高时,可采用可采用倒代换倒代换.1tx 例例6 6 求求dxxx )2(17令令tx1,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct|21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解解例例7 7 求求解解.1124dxxx dxxx 1124令令tx1,12dttdx dxttt 22411111（分母的阶较高）（分母的阶较高）dt

6、tt 231222121dttt 2tu duuu121 duuu11121 )1(11121uduu Cuu 11313.1131232Cxxxx 说明说明(5)(5)当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令 （其中（其中 为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数）lkxx,ntx n例例8 8 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt2216 dttt221116 dtt21116Ctt arctan 6.arctan 666Cxx 基基本本积积分分表表;c

7、oslntan)(Cxxdx16;sinlncot)(Cxxdx17;tanseclnsec)(Cxxxdx18;cotcsclncsc)(Cxxxdx19;arctan11)20(22Caxadxxa ;ln)(Cxaxaadxxa 2112222;arcsin1)23(22Caxdxxa .ln)(Caxxdxax 2222124;ln)(Caxaxadxax 2112122简简单单无无理理函函数数的的积积分分,一一般般直直接接令令根根 式式为为一一*1 1.新新变变量量；2,(.)mlnxxxtn被被积积函函数数为为异异次次根根式式的的时时 令令 其其中中 为为各各根根指指数数的的最最小小公公倍倍数数；2222(mmdxdxxxaxaxbxcdtdxt 形形如如,的的积积分分1 1m m为为正正整整数数)一一般般采采用用倒倒代代换换,令令x x=t t3 3.代代入入.三、小结三、小结两类积分换元法：两类积分换元法：（一）一）凑微分凑微分（二）二）三角代换、倒代换、根式代换三角代换、倒代换、根式代换基本积分表基本积分表(2)