第二节微积分基本公式定理3(微积分基本公式)课件.ppt

1、变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为变速直线运动中路程为21()TTv t dt 另一方面这段路程可表示为另一方面这段路程可表示为21()()ssTT 一、问题的提出一、问题的提出2121()()()TTv t dts Ts T).()(tvts 其中其中21()TTs t 引入下面的概念之后，就可将积引入下面的概念之后，就可将积分和微分结合起来，用分和微分结合起来，用解简单地解决了解简单地解决了 比较复杂的求定比较复杂的求定积分的问题。积分的问题。()xaf x dx 考察定积分考察定积分()xaf t dt 记记()()xaf t

2、xdt 积分上限函数积分上限函数二、积分上限函数及其导数二、积分上限函数及其导数积分上限函数的性质：积分上限函数的性质：()()0;aaf t dta()()baf tbdt()()(xauf t dtu x 函数函数 f(x)的定积分的定积分证明思路：利用导数的定义。证明思路：利用导数的定义。0()()()limxxxxxx abxyoxx )(x x证证()()xxaxxf t dt ()()xxx ()()xxaxaf t dtf t dt()()()xxxxxaaf t dtf t dtf t dt(),xxxf t dt 由积分中值定理得由积分中值定理得()()xxxf t dtfx

3、 ,x xx abxyoxx )(x x0,xx (),fx 0limlim()xxfx ()()()xadf t dtdxf xx ()()xxxf t dtfx ,x xx 定理定理2 2（原函数存在定理）（原函数存在定理）定理的重要意义：定理的重要意义：（1 1）肯定了连续函数的原函数是存在的）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2 2）初步揭示了积分学中的定积分与原）初步揭示了积分学中的定积分与原 函数之间的联系函数之间的联系.定理定理 3 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）三、牛顿三、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式证明思路：原函数存在定理，结合原函数证

4、明思路：原函数存在定理，结合原函数之间的关系。之间的关系。()()F xCx,xa b 证证()()()baf x dxba ()(),F xf xa b是是在在区区间间上上的的原原函函数数()()()baf x dxba 且且()()()()F bCF aCF bF a()()()baf x dxF bF a 微积分基本公式表明：微积分基本公式表明：()baF x 注意注意求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式揭示了微分（导数）揭示了微分（导数）与定积分这两个定义之间的内在联系，因而与定积分这两个定义之间的内在联系，因而称为称为微积

5、分基本定理。微积分基本定理。dxxfba)()(abf ()()F bF a微分中值定理微分中值定理积分中值定理积分中值定理其其中中()()Fxf x 例例cossindxxCx cosbaxdx sinbax sinsinba举例举例20cos xdx 20cos xdx 02sin x sinsin02 1 02sin x sin()sin02 1 lnbax lnlnba例例1ln xxdxC 1baxdx 1ln xx是是的的原原函函数数.举例举例31lnln3ln1ln3x 1lnlnln11exe311dxx 11edxx 总结：求不定积分的题，先把它想成求总结：求不定积分的题，先

6、把它想成求不定积分的题，求出原函数（求出不定积分不定积分的题，求出原函数（求出不定积分后），将积分上下限代入相减即可。后），将积分上下限代入相减即可。例例1 1 求求 120 x dx 原式原式3 1013x 1(10)3解解13 例例2 2 求求 20(2cossin1)xxdx 原式原式2220002cossinxdxxdxdx202sin x 解解20cos x 2 32 4501.()afx dx 求求302.tan xdx 求求练练 习习 求求4501.()afx dx 原式原式=解解(45)(0)faf 450()af x 答答 案案 302.tan xdx 求求原式原式解解(ln

7、 cosln1)3 30ln cos x 答答 案案 ln2 例例3 3 设设 ,求求 .215102)(xxxxf 20)(dxxf解解212001()()()f x dxf x dxf x dx120125xdxdxxyo122 105(21)x6.练练 习习1.1.求求 2.2.求求 12301(3)xdxx 3221(1)dxxx 答答 案案1.1.求求 12301(3)xdxx 原式原式解解213 130032xx 11123003xdxx dx 52 答答 案案2.2.求求 3221(1)dxxx 原式原式解解332211111dxdxxx 322111()1dxxx 33111a

8、rctan xx 31312 补充补充()()()()f b x b xf a x a x证证0()()0()()()b xa xF xf t dtf t dt()0()b xf t dt ()0(),a xf t dt ()()()()()Fxf b x b xf a x a x()()()()b xa xdFxf t dtdx 例例4 4 求求.lim21cos02xdtextx 解解21costxdedtdx 21cos(1)(cos)xeex2cossin,xx e 21cos20limtxxedtx 2cos0sinlim2xxx ex 1.2e 分析：这是分析：这是 型不定式，应用

9、洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.00练练 习习tan0sin00sinlimtanxxxtdttdt 求求极极限限答答 案案tan0sin00sinlimtanxxxtdttdt 求求极极限限原式原式解解20secsin(tan)limcostan(sin)xxxxx 0(tan)sin(tan)lim(sin)tan(sin)xxxxx 0sin(tan)limtan(sin)xxx 0tanlimsinxxx 1 例例5 5 求求22201lim(1).xtxxtedtx 解解22201lim(1)xtxxtedtx 2220(1)limxtxxtedtx 2220(1)limxxtx

10、ete dtx 分析：这是分析：这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.2220(1)limxtxxte dtxe 2222(1)lim(12)xxxxeex 1.2 练练 习习202(arctan)lim.1xxtdtx 求求极极限限解解20(arctan)limxxtdtx 原原式式2lim(arctan)xx 2.4 例例6 6 积分中值定理的改进形式积分中值定理的改进形式(),()()(,)(.baaf xa bf x dxfbba 设设函函数数在在区区间间上上连连续续，证证明明在在开开区区间间内内至至少少存存在在一一点点使使证证()(),xaF xf t dt 设设(

11、),f xa b由由在在连连续续，(),.F xa b则则在在可可导导(),F xa b故故而而，在在满满足足拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理.(,)()()()().a bF bF aFba ，使使得得()(),()0,baF bf x dx F a 又又(,)()()().baa bf x dxfba 综综上上，使使得得00()7()()()0()xxtf t dtF xf xf t dtxF x 例例 设设，其其中中为为连连续续正正值值函函数数，证证明明：当当时时，为为增增函函数数。证证000020()()()()()()xxxxxtf t dtf t dttf t dtf t dtFx

12、f t dt 0020()()()()()xxxxf xf t dtf xtf t dtf t dt 0020()()()()xxxf xxf t dttf t dtf t dt 0020()()()()()xxxf xxf t dttf t dtFxf t dt 020()()()()xxf xxt f t dtf t dt 00,txxt 当当时时，()0,f t 已已知知由由定定积积分分的的保保号号性性得得0()()0.xxt f t dt 0()0,()(0,).xFxF x 于于是是，当当时时，是是的的增增函函数数证明思路：结合零点定理证明证明思路：结合零点定理证明.证证0()2()

13、1,0,1xF xxf t dtx 令令,01)0(F 10)(1)1(dttfF 10)(1 dttf,0,1)(xf()01F x由由零零点点定定理理得得，在在，存存在在一一个个根根。练练 习习)(xF在在1,0上上为为单单调调增增加加函函数数.所所以以0)(xF即即原原方方程程在在1,0上上只只有有一一个个解解.,0)(2)(xfxF,1)(xf作业作业 习题习题5-2 25-2 2、3 3、4 4、5 5、6 6、9 9附加题附加题101.()()2(),().f xf xxf t dtf x 设设是是连连续续函函数数，且且求求12202.()1,1()31(),().f xf xxxft dtf x 已已知知函函数数在在上上连连续续且且满满足足求求()1f xx223()31()33 12f xxxf xxx或或3.(),()01()0(,)()xxabf xa bf xf t dtdta bf t 设设在在上上连连续续，且且，证证明明：方方程程在在内内有有且且仅仅有有一一个个根根。