圆锥曲线练习题-2023届高三数学二轮专题复习.docx

1、圆锥曲线专练1已知F为双曲线1(a0，b0)的右焦点，过原点的直线l与双曲线交于M，N两点，且0，MNF的面积为ab，则该双曲线的离心率为_2(本小题满分12分)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|4，A是椭圆上一点(1)求椭圆C的标准方程和离心率e的值；(2)若T为椭圆C上异于顶点的任一点，M，N分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线TM与y轴交于点P，直线TN与x轴交于点Q，求证：|PN|QM|为定值3已知双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，离心率为，若以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于点M，且OMF的面积为16，则双曲线方程为()A. 1 B. 1

2、 C.1 D.y214已知圆C1：x2y2r2(r0)与直线l0：yx相切，点A为圆C1上一动点，ANx轴于点N，且动点M满足2(22)，设动点M的轨迹为曲线C.(1)求动点M的轨迹曲线C的方程；(2)若直线l与曲线C相交于不同的两点P，Q且满足以PQ为直径的圆过坐标原点O，求线段PQ长度的取值范围5已知抛物线C：x28y与直线y2x2相交于A，B两点，点P是抛物线C上不同于A，B的一点，若直线PA，PB分别与直线y2相交于点Q，R，O为坐标原点，则的值是()A20 B16C12 D与点P的位置有关的一个实数6(本小题满分12分)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，过左焦点F且垂直于长轴的弦长

3、为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)点P(m,0)为椭圆C的长轴上的一个动点，过点P且斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，证明：|PA|2|PB|2为定值7已知双曲线1(a0，b0)的右顶点与抛物线y28x的焦点重合，且其离心率e，则该双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.18已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别是点F1，F2，其离心率e，点P为椭圆上的一个动点，PF1F2面积的最大值为4.(1)求椭圆的方程；(2)若A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1，0，求|的取值范围9已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|2c，若椭圆上存在点M使得

4、，则该椭圆离心率的取值范围为()A(0，1) B. C. D(1,1)10已知圆O：x2y21和抛物线E：yx22，O为坐标原点(1)已知直线l与圆O相切，与抛物线E交于M，N两点，且满足OMON，求直线l的方程；(2)过抛物线E上一点P(x0，y0)作两条直线PQ，PR与圆O相切，且分别交抛物线E于Q，R两点，若直线QR的斜率为，求点P的坐标11抛物线y28x的焦点为F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上的两个动点，若x1x24|AB|，则AFB的最大值为()A. B. C. D.12已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且与直线yx2相切(1)求椭圆C的方程；(2)设点A(2,0

5、)，动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且P在y轴的右侧，若|BA|BP|，求四边形OPAB(O为坐标原点)面积的最小值13以F(p0)为焦点的抛物线C的准线与双曲线x2y22相交于M，N两点，若MNF为正三角形，则抛物线C的方程为()Ay22x By24xCx22y Dx24y14已知椭圆E的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，离心率等于，P是椭圆E上的点以线段PF1为直径的圆经过F2，且91.(1)求椭圆E的方程；(2)作直线l与椭圆E交于两个不同的点M，N.如果线段MN被直线2x10平分，求直线l的倾斜角的取值范围15已知抛物线C1：y24x和C2：x22py(p0)的焦点分别为F1，F2

6、，C1，C2交于O，A两点(O为坐标原点)，且F1F2OA.(1)求抛物线C2的方程；(2)过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，点P的坐标为(1，1)，求PMN的面积的最小值圆锥曲线+导数大题专练1已知F为双曲线1(a0，b0)的右焦点，过原点的直线l与双曲线交于M，N两点，且0，MNF的面积为ab，则该双曲线的离心率为_解析：因为0，所以.设双曲线的左焦点为F，则由双曲线的对称性知四边形FMFN为矩形，则有|MF|NF|，|MN|2c.不妨设点N在双曲线右支上，由双曲线的定义知，|NF|NF|2a，所以|MF|NF|2a.因为SMNF|MF|NF|ab，所以|MF|N

7、F|2ab.在RtMNF中，|MF|2|NF|2|MN|2，即(|MF|NF|)22|MF|NF|MN|2，所以(2a)222ab(2c)2，把c2a2b2代入，并整理，得1，所以e.答案：2已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|4，A是椭圆上一点(1)求椭圆C的标准方程和离心率e的值；(2)若T为椭圆C上异于顶点的任一点，M，N分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线TM与y轴交于点P，直线TN与x轴交于点Q，求证：|PN|QM|为定值解：(1)解法一：|F1F2|4，c2，F1(2，0)，F2(2，0)(1分)由椭圆的定义可得2a8，解得a4，e，b216124，(4

8、分)椭圆C的标准方程为1.(5分)解法二：|F1F2|4，c2，椭圆C的左焦点为F1(2，0)，故a2b212，(2分)又点A在椭圆1上，则1，化简得4b423b21560，得b24，故a216，e，椭圆C的标准方程为1.(5分)(2)由(1)知M(4,0)，N(0,2)，设椭圆上任一点T(x0，y0)(x04且x00)，则1.直线TM：y(x4)，令x0，得yP，|PN|2|.(8分)直线TN：yx2，令y0，得xQ，|QM|4|.(10分)|PN|QM|4，由1可得x4y16，代入上式得|PN|QM|16，故|PN|QM|为定值(12分)3已知双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，离心率

9、为，若以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于点M，且OMF的面积为16，则双曲线方程为()A. 1 B. 1 C.1 D.y21解析：选B.由题意e得一条渐近线方程为yx，以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于点M，OMMF，不妨设MFm，OM2m，则2mm16，解得m4，c25m280，从而a264，b216，双曲线方程为： 1.4已知圆C1：x2y2r2(r0)与直线l0：yx相切，点A为圆C1上一动点，ANx轴于点N，且动点M满足2(22)，设动点M的轨迹为曲线C.(1)求动点M的轨迹曲线C的方程；(2)若直线l与曲线C相交于不同的两点P，Q且满足以PQ为直径的圆过坐标原点O

10、，求线段PQ长度的取值范围解：(1)设动点M(x，y)，A(x0，y0)，ANx轴于点N，N(x0,0)又圆C1：x2y2r2(r0)与直线l0：yx即x2y30相切，r3，圆C1：x2y29.(2分)由2(22)，得(x，y)2(xx0，yy0)(22)(x0,0)，(3x2x0,3y2y0)(22)x0,0)，将A代入x2y29，并化简，得曲线C的方程为1.(4分)(2)若直线l的斜率存在，则设其方程为ykxm，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立，得消去y，得(12k2)x24kmx2m280.由根与系数的关系，得x1x2，x1x2.(*)(6分)以PQ为直径的圆过坐标原点O，即0，

11、x1x2y1y20，即x1x2(kx1m)(kx2m)0.化简可得，(k21)x1x2km(x1x2)m20.将(*)代入，化简可得0，即3m28k280，m2.(8分)又|PQ|x1x2|，将m2代入上式，可得|PQ|2，当且仅当4k2，即k时等号成立又0，|PQ|，|PQ|2.(11分)若直线l的斜率不存在，以PQ为直径的圆过坐标原点O，可设OP所在直线的方程为yx，联立，得，解得P，同理可得Q，故|PQ|.综上，|PQ|2.(12分)5已知抛物线C：x28y与直线y2x2相交于A，B两点，点P是抛物线C上不同于A，B的一点，若直线PA，PB分别与直线y2相交于点Q，R，O为坐标原点，则的

12、值是()A20 B16C12 D与点P的位置有关的一个实数解析：选A.设点P，A，B，Q(a,2)，R(b,2)由得x216x160，x1x216.由P，A，Q三点共线得，a，同理b，abx1x216，ab420，故选A.6(本小题满分12分)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，过左焦点F且垂直于长轴的弦长为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)点P(m,0)为椭圆C的长轴上的一个动点，过点P且斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，证明：|PA|2|PB|2为定值解：(1)由，可得，故椭圆C的标准方程为1.(4分)(2)设直线l的方程为xym，代入1，消去x，并整理得25y220my8(m225)0

13、.(6分)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2m，y1y2，又易得|PA|2(x1m)2yy，同理可得|PB|2y.(8分)则|PA|2|PB|2(yy)(y1y2)22y1y241.所以|PA|2|PB|2是定值(12分)7已知双曲线1(a0，b0)的右顶点与抛物线y28x的焦点重合，且其离心率e，则该双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选A.易知抛物线y28x的焦点为(2,0)，所以双曲线的右顶点是(2,0)，所以a2.又双曲线的离心率e，所以c3，b2c2a25，所以双曲线的方程为1，选A.8已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别是点F1，F2，其离心率e，点P

14、为椭圆上的一个动点，PF1F2面积的最大值为4.(1)求椭圆的方程；(2)若A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1，0，求|的取值范围解：(1)由题意知，当点P是椭圆的上、下顶点时，PF1F2的面积取得最大值，此时PF1F2的面积S2cb4，即c4.(2分)又椭圆的离心率e，所以，(3分)联立解得a4，c2，b212，所以椭圆的方程为1.(5分)(2)由(1)知F1(2,0)，因为0，所以ACBD.当直线AC，BD中有一条直线的斜率不存在时，|8614；(7分)当直线AC的斜率为k，k0时，其方程为yk(x2)，由，消去y并整理得(34k2)x216k2x16k2480.

15、设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以|x1x2|，直线BD的方程为y(x2)，同理可得|，(9分)所以|，令1k2t，则t1，所以|，(10分)设f(t)(t1)，则f(t)，所以当t(1,2)时，f(t)0，当t(2，)时，f(t)0，故当t2时，f(t)取得最大值.又当t1时，f(t)0，所以0，所以|.综上，|的取值范围为.(12分)9已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|2c，若椭圆上存在点M使得，则该椭圆离心率的取值范围为()A(0，1) B. C. D(1,1)解析：选D.在MF1F2中，而，.又M是椭圆1上一点，F1，F2是该

16、椭圆的焦点，|MF1|MF2|2a.由，得，|MF1|，|MF2|.显然，|MF2|MF1|，ac|MF2|ac，即acac，整理得c22aca20，e22e10，解得e1，又e1，1e1，故选D.10已知圆O：x2y21和抛物线E：yx22，O为坐标原点(1)已知直线l与圆O相切，与抛物线E交于M，N两点，且满足OMON，求直线l的方程；(2)过抛物线E上一点P(x0，y0)作两条直线PQ，PR与圆O相切，且分别交抛物线E于Q，R两点，若直线QR的斜率为，求点P的坐标解：(1)由题意知直线l的斜率存在，设l：ykxb，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由l与圆O相切，得1.b2k21.由，

17、消去y，并整理得x2kxb20，x1x2k，x1x2b2.(2分)由OMON，得0，即x1x2y1y20.x1x2(kx1b)(kx2b)0，(1k2)x1x2kb(x1x2)b20，(1k2)(b2)k2bb20，b2(b2)(b21)bb20，b2b0.b1或b0(舍)当b1时，k0，故直线l的方程为y1.(5分)(2)设Q(x3，y3)，R(x4，y4)，则kQRx3x4，x3x4.设PQ：yy0k1(xx0)，由直线与圆相切，得1，即(x1)k2x0y0k1y10.设PR：yy0k2(xx0)，同理可得(x1)k2x0y0k2y10.故k1，k2是方程(x1)k22x0y0ky10的两

18、个根，故k1k2.(8分)由，得x2k1xk1x0y020，故x0x3k1.同理可得x0x4k2. 则2x0x3x4k1k2，即2x0.2x0，解得x0或x0.(11分)当x0时，y0；当x0时，y01. 故P或P(，1)(12分)11抛物线y28x的焦点为F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上的两个动点，若x1x24|AB|，则AFB的最大值为()A. B. C. D.解析：选D.由抛物线的定义可知|AF|x12，|BF|x22，又x1x24|AB|，得|AF|BF|AB|，所以|AB|(|AF|BF|)所以cosAFB2，而0AFB，所以AFB的最大值为.12已知椭圆C：1(a

19、b0)的离心率为，且与直线yx2相切(1)求椭圆C的方程；(2)设点A(2,0)，动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且P在y轴的右侧，若|BA|BP|，求四边形OPAB(O为坐标原点)面积的最小值解：(1)由题意知，离心率e，所以ca，ba，所以x23y2a2，将yx2代入得4x212x12a20，由12244(12a2)0，得a，b1，所以椭圆C的方程为y21.(5分)(2)设线段AP的中点为D，因为|BA|BP|，所以BDAP，由题意得直线BD的斜率存在且不为零，设P(x0，y0)(0x0y00)，则点D的坐标为，直线AP的斜率kAP，所以直线BD的斜率为，所以直线BD的方程为y.(8分)

20、令x0，得y，则B，(9分)由y1，得x33y，所以B，所以四边形OPAB的面积为S四边形OPABSOPASOAB2|y0|2|y0|2|y0|22，当且仅当2|y0|，即y0时，等号成立，所以四边形OPAB面积的最小值为2.(12分)13以F(p0)为焦点的抛物线C的准线与双曲线x2y22相交于M，N两点，若MNF为正三角形，则抛物线C的方程为()Ay22x By24xCx22y Dx24y解析：选D.以F(p0)为焦点的抛物线C的准线方程为y，M，N在直线y上，点F到MN的距离为p.又MNF是正三角形，设点M在双曲线x2y22的左支上，点N在右支上，M，N，222，解得p2，抛物线C的方程

21、为x24y，故选D.14(本小题满分12分)已知椭圆E的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，离心率等于，P是椭圆E上的点以线段PF1为直径的圆经过F2，且91.(1)求椭圆E的方程；(2)作直线l与椭圆E交于两个不同的点M，N.如果线段MN被直线2x10平分，求直线l的倾斜角的取值范围解：(1)依题意，设椭圆E的方程为1(ab0)，半焦距为c.椭圆E的离心率等于，ca，b2a2c2.(3分)以线段PF1为直径的圆经过F2，PF2F1F2.|PF2|.91，9|cos，1，9|1，9|21.由，得，椭圆E的方程为x21.(6分)(2)直线x与x轴垂直，且由已知得直线l与直线x相交，直线l不可能与

22、x轴垂直，设直线l的方程为ykxm.由，得(k29)x22kmx(m29)0.(7分)直线l与椭圆E交于两个不同的点M，N，4k2m24(k29)(m29)0，即m2k290.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2.线段MN被直线2x10平分，210，即10.(9分)由，得2(k29)0.k290，10，k23，解得k或k.直线l的倾斜角的取值范围为.(12分)15已知抛物线C1：y24x和C2：x22py(p0)的焦点分别为F1，F2，C1，C2交于O，A两点(O为坐标原点)，且F1F2OA.(1)求抛物线C2的方程；(2)过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N

23、，点P的坐标为(1，1)，求PMN的面积的最小值解：(1)解法一：由已知得F1(1,0)，F2，.(1分)联立，解得或，即O(0,0)，A(，)，(，)(3分)F1F2OA，0，即0，解得p2，抛物线C2的方程为x24y.(5分)解法二：设A(x1，y1)(x10)，则，由题意知F1(1,0)，F2，.(1分)F1F2OA，0，即x1y10，解得py12x1，(3分)将其代入式，解得x14，y14，从而p2，抛物线C2的方程为x24y.(5分)(2)设过点O的直线的方程为ykx(k0)，解法一：联立，解得M，联立，解得N(4k,4k2)，(7分)点P(1，1)在直线yx上，设点M到直线yx的距离为d1，点N到直线yx的距离为d2，则SPMN|OP|(d1d2)2228，当且仅当k1，即过原点的直线为yx时， PMN的面积取得最小值8.(12分)解法二：联立，解得M，联立，解得N(4k,4k2)，(7分)从而|MN|，点P(1，1)到直线MN的距离d，进而SPMN2.令tk(t2)，则SPMN2(t2)(t1)22，(10分)当t2，即k1，即过原点的直线为yx时，PMN的面积取得最小值8.(12分)17