小学数学典型应用题解题思路及实例.doc

1、 1 小学数学典型应用题 小学数学中把含有数量关系的实际问题用语言或文 字叙述出来，这样所形成的题目叫做应用题。任何一道应用题都 由两部分构成。第一部分是已知条件（简称条件），第二部分是 所求问题（简称问题）。应用题的条件和问题，组成了应用题的 结构。 应用题可分为一般应用题与典型应用题。 没有特定的解答规律的两步以上运算的应用题，叫做一般 应用题。 题目中有特殊的数量关系，可以用特定的步骤和方法来解 答的应用题，叫做典型应用题。这本资料主要研究以下 30 类典 型应用题： 1、归一问题 2、归总问题 3、和差问题 4、和倍问题 5、差倍问题 11、行船问题 12、列车问题 13、时钟问题 1

2、4、盈亏问题 15、工程问题 21、方阵问题 22、 商品利润问题 23、存款利率问题 24、溶液浓度问题 25、构图布数问题 2 6、倍比问题 7、相遇问题 8、追及问题 9、植树问题 10、年龄问题 16、正反比例问题 17、按比例分配 18、百分数问题 19、“牛吃草”问题 20、鸡兔同笼问题 26、幻方问题 27、抽屉原则问题 28、公约公倍问题 29、最值问题 30、列方程问题 1 归一问题 【含义】 在解题时，先求出一份是多少（即单一量）， 然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一 问题。 【数量关系】 总量份数1 份数量 1 份数量所占份数所求几份的数量 另一总量

3、（总量份数）所求份数 3 【解题思路和方法】 先求出单一量，以单一量为标准，求 出所要求的数量。 例 1 买 5 支铅笔要 0.6 元钱，买同样的铅笔 16 支，需要多少 钱？ 解（1）买 1 支铅笔多少钱？ 0.650.12（元） （2）买 16 支铅笔需要多少钱？ 0.12161.92（元） 列成综合算式 0.65160.12161.92（元） 答：需要 1.92 元。 例 2 3 台拖拉机 3 天耕地 90 公顷，照这样计算，5 台拖拉 机 6 天耕地多少公顷？ 解（1）1 台拖拉机 1 天耕地多少公顷？ 903310（公顷） （2）5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷？ 1056300（公

4、顷） 列成综合算式 9033561030300（公顷） 答：5 台拖拉机 6 天耕地 300 公顷。 例 3 5 辆汽车 4 次可以运送 100 吨钢材， 如果用同样的 7 辆 汽车运送 105 吨钢材，需要运几次？ 4 解 （1）1 辆汽车 1 次能运多少吨钢材？ 100545（吨） （2）7 辆汽车 1 次能运多少吨钢材？ 5735（吨） （3）105 吨钢材 7 辆汽车需要运几次？ 105353（次） 列成综合算式 105（100547）3（次） 答：需要运 3 次。 2 归总问题 【含义】 解题时，常常先找出“总数量”，然后 再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量” 是

5、指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总 产量、几小时行的总路程等。 【数量关系】 1 份数量份数总量 总量1 份数量份数 总量另一份数另一每份数量 5 【解题思路和方法】 先求出总数量，再根据题意得出所求的 数量。 例 1 服装厂原来做一套衣服用布 3.2 米，改进裁剪方法 后，每套衣服用布 2.8 米。原来做 791 套衣服的布，现在可以做 多少套？ 解 （1） 这批布总共有多少米？ 3.27912531.2 （米） （2）现在可以做多少套？ 2531.22.8904（套） 列成综合算式 3.27912.8904（套） 答：现在可以做 904 套。 例 2 小华每天读 24

6、页书，12 天读完了红岩一书。小 明每天读 36 页书，几天可以读完红岩？ 解 （1）红岩这本书总共多少页？ 2412288（页） （2）小明几天可以读完红岩？ 288368（天） 列成综合算式 2412368（天） 答：小明 8 天可以读完红岩。 6 例 3 食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃 50 千克，30 天慢 慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃 10 千克，这批蔬菜可以吃多少天？ 解 （1）这批蔬菜共有多少千克？ 50301500（千克） （2） 这批蔬菜可以吃多少天？ 1500 （5010） 25 （天） 列成综合算式 5030（5010）15006025（天） 答

7、：这批蔬菜可以吃 25 天。 3 和差问题 【含义】 已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多 少，这类应用题叫和差问题。 【数量关系】 大数 （和差） 2 小数（和差） 2 【解题思路和方法】 简单的题目可以直接套用公式；复 杂的题目变通后再用公式。 7 例 1 甲乙两班共有学生 98 人，甲班比乙班多 6 人， 求两班各有多少人？ 解 甲班人数（986）252（人） 乙班人数（986）246（人） 答：甲班有 52 人，乙班有 46 人。 例 2 长方形的长和宽之和为 18 厘米，长比宽多 2 厘 米，求长方形的面积。 解 长（182）210（厘米） 宽（182）28（厘米） 长方形的面积

8、 10880（平方厘米） 答：长方形的面积为 80 平方厘米。 例 3 有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重 32 千克，乙 丙两袋共重 30 千克，甲丙两袋共重 22 千克，求三袋化肥各重多 少千克。 8 解 甲乙两袋、 乙丙两袋都含有乙， 从中可以看出甲比丙多 （32 30）2 千克，且甲是大数，丙是小数。由此可知 甲袋化肥重量（222）212（千克） 丙袋化肥重量（222）210（千克） 乙袋化肥重量321220（千克） 答：甲袋化肥重 12 千克，乙袋化肥重 20 千克，丙袋化肥重 10 千克。 例 4 甲乙两车原来共装苹果 97 筐，从甲车取下 14 筐放到 乙车上，结果甲车比乙车还多 3

9、 筐，两车原来各装苹果多少筐？ 解 “从甲车取下 14 筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多 3 筐”，这说明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差是（14 23），甲与乙的和是 97， 因此 甲车筐数（971423）264（筐） 乙车筐数976433（筐） 答：甲车原来装苹果 64 筐，乙车原来装苹果 33 筐。 9 4 和倍问题 【含义】 已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是 大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和 倍问题。 【数量关系】 总和 （几倍1）较小的数 总和 较小的数 较大的数 较小的数 几倍 较大的数 【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式， 复杂的题 目

10、变通后利用公式。 例 1 果园里有杏树和桃树共 248 棵，桃树的棵数是杏树 的 3 倍，求杏树、桃树各多少棵？ 解 （1） 杏树有多少棵？ 248 （31） 62 （棵） （2）桃树有多少棵？ 623186（棵） 答：杏树有 62 棵，桃树有 186 棵。 10 例 2 东西两个仓库共存粮 480 吨，东库存粮数是西库存粮 数的 1.4 倍，求两库各存粮多少吨？ 解 （1）西库存粮数480（1.41）200（吨） （2）东库存粮数480200280（吨） 答：东库存粮 280 吨，西库存粮 200 吨。 例 3 甲站原有车 52 辆，乙站原有车 32 辆，若每天从甲 站开往乙站 28 辆，从

11、乙站开往甲站 24 辆，几天后乙站车辆数是 甲站的 2 倍？ 解 每天从甲站开往乙站 28 辆，从乙站开往甲站 24 辆， 相当于每天从甲站开往乙站（2824）辆。把几天以后甲站的车 辆数当作 1 倍量，这时乙站的车辆数就是 2 倍量，两站的车辆总 数（5232）就相当于（21）倍， 那么，几天以后甲站的车辆数减少为 （5232）（21）28（辆） 所求天数为 （5228）（2824）6（天） 11 答：6 天以后乙站车辆数是甲站的 2 倍。 例 4 甲乙丙三数之和是 170，乙比甲的 2 倍少 4，丙比 甲的 3 倍多 6，求三数各是多少？ 解 乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为 1

12、 倍量。 因为乙比甲的 2 倍少 4， 所以给乙加上 4， 乙数就变成甲数 的 2 倍； 又因为丙比甲的 3 倍多 6， 所以丙数减去 6 就变为甲数的 3 倍； 这时（17046）就相当于（123）倍。那么， 甲数（17046）（123）28 乙数282452 丙数283690 答：甲数是 28，乙数是 52，丙数是 90。 12 5 差倍问题 【含义】 已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是 大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差 倍问题。 【数量关系】 两个数的差（几倍1）较小的数 较小的数几倍较大的数 【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式， 复杂的题 目变通

13、后利用公式。 例 1 果园里桃树的棵数是杏树的 3 倍，而且桃树比杏树 多 124 棵。求杏树、桃树各多少棵？ 解 （1） 杏树有多少棵？ 124 （31） 62 （棵） （2）桃树有多少棵？ 623186（棵） 答：果园里杏树是 62 棵，桃树是 186 棵。 例 2 爸爸比儿子大 27 岁，今年，爸爸的年龄是儿子年 龄的 4 倍，求父子二人今年各是多少岁？ 13 解 （1）儿子年龄27（41）9（岁） （2）爸爸年龄9436（岁） 答：父子二人今年的年龄分别是 36 岁和 9 岁。 例 3 商场改革经营管理办法后， 本月盈利比上月盈利的 2 倍还多 12 万元，又知本月盈利比上月盈利多 3

14、0 万元，求这两 个月盈利各是多少万元？ 解 如果把上月盈利作为 1 倍量，则（3012）万元 就相当于上月盈利的（21）倍，因此 上月盈利（3012）（21）18（万元） 本月盈利183048（万元） 答：上月盈利是 18 万元，本月盈利是 48 万元。 例 4 粮库有 94 吨小麦和 138 吨玉米，如果每天运出小麦 和玉米各是 9 吨，问几天后剩下的玉米是小麦的 3 倍？ 解 由于每天运出的小麦和玉米的数量相等， 所以剩下的 数量差等于原来的数量差（13894）。把几天后剩下的小麦看 作 1 倍量，则几天后剩下的玉米就是 3 倍量，那么，（13894） 就相当于（31）倍， 14 因此

15、剩下的小麦数量（13894）（31）22（吨） 运出的小麦数量942272（吨） 运粮的天数7298（天） 答：8 天以后剩下的玉米是小麦的 3 倍。 6 倍比问题 【含义】 有两个已知的同类量， 其中一个量是另一个 量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求 的数，这类应用题叫做倍比问题。 【数量关系】 总量一个数量倍数 另一个数量倍数另一总量 【解题思路和方法】 先求出倍数， 再用倍比关系求出要求 的数。 例1 100千克油菜籽可以榨油40千克， 现在有油菜籽3700 千克，可以榨油多少？ 15 解 （1）3700 千克是 100 千克的多少倍？ 370010037（倍） （

16、2）可以榨油多少千克？ 40371480（千克） 列成综合算式 40（3700100）1480（千克） 答：可以榨油 1480 千克。 例 2 今年植树节这天，某小学 300 名师生共植树 400 棵， 照这样计算，全县 48000 名师生共植树多少棵？ 解 （1） 48000 名是 300 名的多少倍？ 48000300160 （倍） （2）共植树多少棵？ 40016064000（棵） 列成综合算式 400（48000300）64000（棵） 答：全县 48000 名师生共植树 64000 棵。 例 3 凤翔县今年苹果大丰收， 田家庄一户人家 4 亩果园收 入 11111 元，照这样计算，全

17、乡 800 亩果园共收入多少元？全县 16000 亩果园共收入多少元？ 解 （1）800 亩是 4 亩的几倍？ 8004200（倍） 16 （2）800 亩收入多少元？ 111112002222200（元） （3）16000 亩是 800 亩的几倍？ 1600080020（倍） （4） 16000 亩收入多少元？ 22222002044444000 （元） 答：全乡 800 亩果园共收入 2222200 元， 全县 16000 亩果园共收入 44444000 元。 7 相遇问题 【含义】 两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途 中相遇。这类应用题叫做相遇问题。 【数量关系】 相遇时间总路程

18、（甲速乙速） 总路程（甲速乙速）相遇时间 【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂 的题目变通后再利用公式。 例 1 南京到上海的水路长 392 千米， 同时从两港各开出一 艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行 28 千米，从上海开 出的船每小时行 21 千米，经过几小时两船相遇？ 解 392（2821）8（小时） 答：经过 8 小时两船相遇。 17 例 2 小李和小刘在周长为 400 米的环形跑道上跑步，小李 每秒钟跑 5 米，小刘每秒钟跑 3 米，他们从同一地点同时出发， 反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？ 解： “第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。 因此总路

19、程为 4002 相遇时间（4002）（53）100（秒） 答：二人从出发到第二次相遇需 100 秒时间。 例 3 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行 15 千米，乙每小时行 13 千米，两人在距中点 3 千米处相遇，求 两地的距离。 解 “两人在距中点 3 千米处相遇” 是正确理解本题题意 的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点 3 千米， 乙距中点 3 千米，就是说甲比乙多走的路程是（32）千米，因 此， 相遇时间（32）（1513）3（小时） 两地距离（1513）384（千米） 18 答：两地距离是 84 千米。 8 追及问题 【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发

20、 （或者在 同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作 同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较 慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就 叫做追及问题。 【数量关系】 追及时间追及路程（快速慢速） 追及路程（快速慢速）追及时间 【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式， 复杂的题 目变通后利用公式。 例 1 好马每天走 120 千米，劣马每天走 75 千米，劣马先 走 12 天，好马几天能追上劣马？ 解 （1）劣马先走 12 天能走多少千米？ 7512900 （千米） 19 （2）好马几天追上劣马？ 900（12075）20（天） 列成综合算式

21、 7512 （12075） 9004520 （天） 答：好马 20 天能追上劣马。 例 2 小明和小亮在 200 米环形跑道上跑步，小明跑一圈用 40 秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上 小亮时跑了 500 米，求小亮的速度是每秒多少米。 解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈， 即 200 米， 此 时小亮跑了（500200）米，要知小亮的速度，须知追及时间， 即小明跑 500 米所用的时间。又知小明跑 200 米用 40 秒，则跑 500 米用40（500200）秒，所以小亮的速度是 （500200）40（500200）3001003（米） 答：小亮的速度是每秒 3 米。

22、 例 3 我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午 16 点 开始从甲地以每小时 10 千米的速度逃跑， 解放军在晚上 22 点接 到命令，以每小时 30 千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两 地相距 60 千米，问解放军几个小时可以追上敌人？ 20 解 敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是 （2216） 小 时，这段时间敌人逃跑的路程是10（226）千米，甲乙 两地相距 60 千米。由此推知 追及时间10（226）60（3010）22020 11（小时） 答：解放军在 11 小时后可以追上敌人。 例 4 一辆客车从甲站开往乙站，每小时行 48 千米；一辆 货车同时从乙站开往甲站，每小时行

23、40 千米，两车在距两站中 点 16 千米处相遇，求甲乙两站的距离。 解 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。 从题中 可知客车落后于货车（162）千米，客车追上货车的时间就是 前面所说的相遇时间， 这个时间为 162（4840）4（小时） 所以两站间的距离为 （4840）4352（千米） 列成综合算式 （4840）162（4840） 884 352（千米） 答：甲乙两站的距离是 352 千米。 21 例 5 兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走 90 米，妹妹 每分钟走 60 米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路 回家去取，行至离校 180 米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多 远

24、？ 解 要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时间。从题 中可知，在相同时间（从出发到相遇）内哥哥比妹妹多走（180 2）米，这是因为哥哥比妹妹每分钟多走（9060）米， 那么，二人从家出走到相遇所用时间为 1802（9060）12（分钟） 家离学校的距离为 9012180900（米） 答：家离学校有 900 米远。 例 6 孙亮打算上课前 5 分钟到学校，他以每小时 4 千米的 速度从家步行去学校，当他走了 1 千米时，发现手表慢了 10 分 钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下， 如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早 9 分钟到学校。求 孙亮跑步的速度。 22 解 手

25、表慢了 10 分钟， 就等于晚出发 10 分钟， 如果按原速 走下去，就要迟到（105）分钟，后段路程跑步恰准时到学校， 说明后段路程跑比走少用了（105）分钟。如果从家一开始就 跑步，可比步行少 9 分钟，由此可知，行 1 千米，跑步比步行少 用9（105）分钟。 所以 步行 1 千米所用时间为 19（105） 0.25（小时） 15（分钟） 跑步 1 千米所用时间为 159（105）11（分钟） 跑步速度为每小时 111605.5（千米） 答：孙亮跑步速度为每小时 5.5 千米。 9 植树问题 【含义】 按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个 量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这

26、类应用题叫做植 树问题。 23 【数量关系】 线形植树 棵数距离棵距1 环形植树 棵数距离棵距 方形植树 棵数距离棵距4 三角形植树 棵数距离棵距3 面积植树 棵数面积 （棵距行距） 【解题思路和方法】 先弄清楚植树问题的类型，然后可 以利用公式。 例 1 一条河堤 136 米，每隔 2 米栽一棵垂柳，头尾都栽， 一共要栽多少棵垂柳？ 解 1362168169（棵） 答：一共要栽 69 棵垂柳。 例 2 一个圆形池塘周长为 400 米，在岸边每隔 4 米栽一棵 白杨树，一共能栽多少棵白杨树？ 解 4004100（棵） 答：一共能栽 100 棵白杨树。 例 3 一个正方形的运动场，每边长 220

27、 米，每隔 8 米安 装一个照明灯，一共可以安装多少个照明灯？ 24 解 2204841104106（个） 答：一共可以安装 106 个照明灯。 例 4 给一个面积为 96 平方米的住宅铺设地板砖，所用地 板砖的长和宽分别是 60 厘米和 40 厘米， 问至少需要多少块地板 砖？ 解 96（0.60.4）960.24400（块） 答：至少需要 400 块地板砖。 例 5 一座大桥长 500 米，给桥两边的电杆上安装路灯，若 每隔 50 米有一个电杆，每个电杆上安装 2 盏路灯，一共可以安 装多少盏路灯？ 解 （1） 桥的一边有多少个电杆？ 50050111 （个） （2）桥的两边有多少个电杆？

28、 11222（个） （3）大桥两边可安装多少盏路灯？22244（盏） 答：大桥两边一共可以安装 44 盏路灯。 10 年龄问题 【含义】 这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特 点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年 25 龄的增长在发生变化。 【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着 密切联系， 尤其与差倍问题的解题思路是一致的， 要紧紧抓住 “年 龄差不变”这个特点。 【解题思路和方法】 可以利用“差倍问题”的解题思路 和方法。 例 1 爸爸今年 35 岁，亮亮今年 5 岁，今年爸爸的年龄是 亮亮的几倍？明年呢？ 解 3557（倍） （35+1）（5+1）6

29、（倍） 答：今年爸爸的年龄是亮亮的 7 倍， 明年爸爸的年龄是亮亮的 6 倍。 例 2 母亲今年 37 岁，女儿今年 7 岁，几年后母亲的年龄 是女儿的 4 倍？ 解 （1） 母亲比女儿的年龄大多少岁？ 37730 （岁） （2） 几年后母亲的年龄是女儿的 4 倍？30 （41） 73 （年） 列成综合算式 （377）（41）73（年） 26 答：3 年后母亲的年龄是女儿的 4 倍。 例 3 3 年前父子的年龄和是 49 岁，今年父亲的年龄是儿 子年龄的 4 倍，父子今年各多少岁？ 解 今年父子的年龄和应该比 3 年前增加（32）岁， 今年二人的年龄和为 493255（岁） 把今年儿子年龄作为

30、 1 倍量， 则今年父子年龄和相当于 （41）倍，因此，今年儿子年龄为 55（41）11（岁） 今年父亲年龄为 11444（岁） 答：今年父亲年龄是 44 岁，儿子年龄是 11 岁。 例 4 甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时， 你才 4 岁”。乙对甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时， 你将 61 岁”。求甲乙现在的岁数各是多少？ 27 解 这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一 年。列表分析： 表中两个“”表示同一个数，两个“”表示同一个 数。 因为两个人的年龄差总相等： 461， 也就是 4，61 成等差数列，所以，61 应该比 4 大 3 个 年龄差， 因此二人年龄差

31、为 （614）319（岁） 甲今年的岁数为 611942（岁） 乙今年的岁数为 421923（岁） 答：甲今年的岁数是 42 岁，乙今年的岁数是 23 岁。 11 行船问题 过去某一年 今 年 将来某一年 甲 岁 岁 61 岁 乙 4 岁 岁 岁 28 【含义】 行船问题也就是与航行有关的问题。 解答这 类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是 船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的 速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之 差。 【数量关系】 （顺水速度逆水速度）2船速 （顺水速度逆水速度）2水速 顺水速船速2逆水速逆水速水速2 逆水速船速2顺

32、水速顺水速水速2 【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系 的公式。 例 1 一只船顺水行 320 千米需用 8 小时，水流速度为每 小时 15 千米，这只船逆水行这段路程需用几小时？ 解 由条件知， 顺水速船速水速3208， 而水速为每 小时 15 千米， 所以， 船速为每小时 32081525 （千米） 船的逆水速为 251510（千米） 船逆水行这段路程的时间为 3201032（小时） 29 答：这只船逆水行这段路程需用 32 小时。 例 2 甲船逆水行 360千米需 18小时， 返回原地需10小时； 乙船逆水行同样一段距离需 15 小时，返回原地需多少时间？ 解由题意得 甲船

33、速水速3601036 甲船速水速3601820 可见 （3620）相当于水速的 2 倍， 所以， 水速为每小时 （3620）28（千米） 又因为， 乙船速水速36015， 所以， 乙船速为 36015832（千米） 乙船顺水速为 32840（千米） 所以， 乙船顺水航行 360 千米需要 360409（小时） 答：乙船返回原地需要 9 小时。 30 例 3 一架飞机飞行在两个城市之间，飞机的速度是每小 时 576 千米，风速为每小时 24 千米，飞机逆风飞行 3 小时到达， 顺风飞回需要几小时？ 解 这道题可以按照流水问题来解答。 （1）两城相距多少千米？ （57624）31656（千米） （

34、2）顺风飞回需要多少小时？ 1656（57624）2.76（小时） 列成综合算式 （57624）3（57624） 2.76（小时） 答：飞机顺风飞回需要 2.76 小时。 12 列车问题 【含义】 这是与列车行驶有关的一些问题， 解答时要注意 列车车身的长度。 【数量关系】 火车过桥：过桥时间（车长桥长） 车速 31 火车追及： 追及时间（甲车长乙车长距离） （甲车速乙车速） 火车相遇： 相遇时间（甲车长乙车长距离） （甲车速乙车速） 【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的 公式。 例 1 一座大桥长 2400 米， 一列火车以每分钟 900 米 的速度通过大桥，从车头开上桥到车

35、尾离开桥共需要 3 分钟。这 列火车长多少米？ 解 火车 3 分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的 和。 （1）火车 3 分钟行多少米？ 90032700（米） （2）这列火车长多少米？ 27002400300（米） 列成综合算式 90032400300（米） 32 答：这列火车长 300 米。 例 2 一列长 200 米的火车以每秒 8 米的速度通过一 座大桥，用了 2 分 5 秒钟时间，求大桥的长度是多少米？ 解 火车过桥所用的时间是 2 分 5 秒125 秒，所走的路程 是（8125）米，这段路程就是（200 米桥长），所以，桥长 为 8125200800（米） 答：大桥的长度是 8

36、00 米。 例 3 一列长 225 米的慢车以每秒 17 米的速度行驶， 一列长 140 米的快车以每秒 22 米的速度在后面追赶，求快车从 追上到追过慢车需要多长时间？ 解 从追上到追过，快车比慢车要多行（225140）米，而 快车比慢车每秒多行（2217）米，因此，所求的时间为 （225140）（2217）73（秒） 答：需要 73 秒。 例 4 一列长 150 米的列车以每秒 22 米的速度行驶，有 一个扳道工人以每秒 3 米的速度迎面走来，那么，火车从工人身 旁驶过需要多少时间？ 33 解 如果把人看作一列长度为零的火车， 原题就相当于火车 相遇问题。 150（223）6（秒） 答：火

37、车从工人身旁驶过需要 6 秒钟。 例5 一列火车穿越一条长2000米的隧道用了88秒， 以同样的速度通过一条长 1250 米的大桥用了 58 秒。 求这列火车 的车速和车身长度各是多少？ 解 车速和车长都没有变， 但通过隧道和大桥所用的时间不 同，是因为隧道比大桥长。可知火车在（8858）秒的时间内行 驶了（20001250）米的路程，因此，火车的车速为每秒 （20001250）（8858）25（米） 进而可知，车长和桥长的和为（2558）米， 因此，车长为 25581250200（米） 答：这列火车的车速是每秒 25 米，车身长 200 米。 13 时钟问题 【含义】 就是研究钟面上时针与分

38、针关系的问题， 如 两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为 60 度等。时钟 问题可与追及问题相类比。 34 【数量关系】 分针的速度是时针的 12 倍， 二者的速度差为 11/12。 通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。 【解题思路和方法】 变通为“追及问题”后可以直接利 用公式。 例 1 从时针指向 4 点开始，再经过多少分钟时针正 好与分针重合？ 解 钟面的一周分为 60 格，分针每分钟走一格，每小时走 60 格；时针每小时走 5 格，每分钟走 5/601/12 格。每分钟分 针比时针多走（11/12）11/12 格。4 点整，时针在前，分针 在后，两针相距 20 格。所以

39、 分针追上时针的时间为 20（11/12） 22（分） 答：再经过 22 分钟时针正好与分针重合。 例 2 四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直 角？ 解 钟面上有 60 格， 它的 1/4 是 15 格， 因而两针成直角的 时候相差 15 格（包括分针在时针的前或后 15 格两种情况）。四 35 点整的时候，分针在时针后（54）格，如果分针在时针后与它 成直角，那么分针就要比时针多走 （5415）格， 如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走（54 15）格。再根据 1 分钟分针比时针多走（11/12）格就可以 求出二针成直角的时间。 （5415）（11/12） 6（分） （5

40、415）（11/12） 38（分） 答：4 点 06 分及 4 点 38 分时两针成直角。 例 3 六点与七点之间什么时候时针与分针重合？ 解 六点整的时候，分针在时针后（56）格，分针要与时 针重合，就得追上时针。这实际上是一个追及问题。 （56）（11/12） 33（分） 答：6 点 33 分的时候分针与时针重合。 14 盈亏问题 【含义】 根据一定的人数，分配一定的物品，在两次 分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或 两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。 36 【数量关系】 一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一 次亏，则有： 参加分配总人数（盈亏）分配

41、差 如果两次都盈或都亏，则有： 参加分配总人数（大盈小盈）分配差 参加分配总人数（大亏小亏）分配差 【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的 公式。 例 1 给幼儿园小朋友分苹果，若每人分 3 个就余 11 个； 若每人分 4 个就少 1 个。问有多少小朋友？有多少个苹果？ 解 按照“参加分配的总人数（盈亏）分配差”的 数量关系： （1）有小朋友多少人？ （111）（43）12（人） （2）有多少个苹果？ 3121147（个） 答：有小朋友 12 人，有 47 个苹果。 37 例 2 修一条公路，如果每天修 260 米，修完全长就 得延长 8 天；如果每天修 300 米，修完全长仍

42、得延长 4 天。这条 路全长多少米？ 解 题中原定完成任务的天数， 就相当于 “参加分配的总人 数”，按照“参加分配的总人数（大亏小亏）分配差”的 数量关系，可以得知 原定完成任务的天数为 （26083004）（300260）22（天） 这条路全长为 300（224）7800（米） 答：这条路全长 7800 米。 例 3 学校组织春游，如果每辆车坐 40 人，就余下 30 人； 如果每辆车坐 45 人， 就刚好坐完。 问有多少车？多少人？ 解 本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”，于是 就有 （1）有多少车？ （300）（4540）6（辆） （2）有多少人？ 40630270（人） 答：

43、有 6 辆车，有 270 人。 38 15 工程问题 【含义】 工程问题主要研究工作量、 工作效率和工作 时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作 量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水 渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作 总量。 【数量关系】 解答工程问题的关键是把工作总量看作 “1” ， 这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工 作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作 时间三者之间的关系列出算式。 工作量工作效率工作时间 工作时间工作量工作效率 工作时间总工作量 （甲工作效率乙工作效率） 【解题思路和

44、方法】 变通后可以利用上述数量关系的公 式。 例 1 一项工程，甲队单独做需要 10 天完成，乙队 单独做需要 15 天完成，现在两队合作，需要几天完成？ 39 解 题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工 程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。由于甲队独 做需 10 天完成，那么每天完成这项工程的 1/10；乙队单独做需 15 天完成，每天完成这项工程的 1/15；两队合做，每天可以完 成这项工程的（1/101/15）。 由此可以列出算式： 1 （1/101/15） 11/66 （天） 答：两队合做需要 6 天完成。 例 2 一批零件，甲独做 6 小时完成，乙独做 8 小时

45、完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做 24 个，求这批零 件共有多少个？ 解 设总工作量为 1，则甲每小时完成 1/6，乙每小时完成 1/8，甲比乙每小时多完成（1/61/8），二人合做时每小时完 成（1/61/8）。因为二人合做需要1（1/61/8）小时， 这个时间内，甲比乙多做 24 个零件，所以 （1）每小时甲比乙多做多少零件？ 241（1/61/8）7（个） （2）这批零件共有多少个？ 7（1/61/8）168（个） 40 答：这批零件共有 168 个。 解二 上面这道题还可以用另一种方法计算： 两人合做， 完成任务时甲乙的工作量之比为 1/61/84 3 由此可知，甲比乙多完成总

46、工作量的 （43）/（43） 1/7 所以，这批零件共有 241/7168（个） 例 3 一件工作，甲独做 12 小时完成，乙独做 10 小时 完成，丙独做 15 小时完成。现在甲先做 2 小时，余下的由乙丙 二人合做，还需几小时才能完成？ 解 必须先求出各人每小时的工作效率。 如果能把效率用整 数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为 12、 10、和 15 的某一公倍数，例如最小公倍数 60，则甲乙丙三人的 工作效率分别是 60125 60106 60154 因此余下的工作量由乙丙合做还需要 41 （6052）（64）5（小时） 答：还需要 5 小时才能完成。 例 4 一个水池，

47、底部装有一个常开的排水管，上部装 有若干个同样粗细的进水管。当打开 4 个进水管时，需要 5 小时 才能注满水池；当打开 2 个进水管时，需要 15 小时才能注满水 池；现在要用 2 小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？ 解 注（排）水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或 从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间内 水的流量就是工作效率。 要 2 小时内将水池注满，即要使 2 小时内的进水量与排水量 之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及 总工作量（一池水）。只要设某一个量为单位 1，其余两个量便 可由条件推出。 我们设每个同样的进水管每小时注水量为 1， 则 4 个进水管 5 小时注水量为（145），2 个进水管 15 小时注水量为（12 15），从而可知 每