2021年高考数学第一轮专题复习课件2.3函数的奇偶性与周期性.pptx

1、2021年高考数学第一轮专题复习课件2-2-知识梳理双基自测23411.函数的奇偶性 f(-x)=f(x)y轴 f(-x)=-f(x)原点-3-知识梳理双基自测23412.奇(偶)函数的性质(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(2)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有:奇函数奇函数=奇函数,偶函数偶函数=偶函数,奇函数奇函数=偶函数,偶函数偶函数=偶函数,奇函数偶函数=奇函数.(4)若函数f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0.-4-知识梳理双基自测23413.函数的周期性(1)

2、周期函数:T为函数f(x)的一个周期,则需满足的条件:T0;对定义域内的任意x都成立.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个,那么这个就叫做它的最小正周期.(3)周期不唯一:若T是函数y=f(x)(xR)的一个周期,则nT(nZ,且n0)也是函数f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).f(x+T)=f(x)最小的正数 最小正数-5-知识梳理双基自测23414.函数周期性的常用结论对函数f(x)的定义域内任一自变量的值x,(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a.(4)若f(x)是偶函数,其图象关于直线x=a对称,则T=2a.(5)若f(x)是奇函数,其图象关于直线

3、x=a对称,则T=4a.(6)若函数的图象关于两条直线x=a,x=b对称,则T=2|a-b|.(7)若函数的图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称,则T=2|a-b|.(8)若函数的图象关于直线x=a和点M(b,0)对称,则T=4|a-b|.2-6-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的画“”,错误的画“”.(1)当x(0,+)时,函数y=x2是偶函数.()(2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0.()(3)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称;若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.()(4)若

4、函数f(x),g(x)是定义域相同的偶函数,则F(x)=f(x)+g(x)是偶函数.()(5)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,若f(x)在区间(-,0)内是减函数,则f(x)在区间(0,+)内是增函数.()(6)若T为y=f(x)的一个周期,则nT(nZ)是函数f(x)的周期.()-7-知识梳理双基自测234152.已知f(x)=ax2+bx是定义在区间a-1,2a上的偶函数,则a+b的值是()答案解析解析关闭 答案解析关闭-8-知识梳理双基自测234153.下列函数为奇函数的是()答案解析解析关闭令y=f(x),选项A,定义域为0,+),不关于原点对称,所以为非奇非偶函数;选项B,

5、f(-x)=|sin(-x)|=|sin x|=f(x),为偶函数;选项C,f(-x)=cos(-x)=cos x=f(x),为偶函数;选项D,f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),为奇函数.答案解析关闭D-9-知识梳理双基自测234154.已知f(x)满足对任意xR,f(-x)+f(x)=0,且当x0时,f(x)=ex+m(m为常数),则f(-ln 5)的值为()A.4B.-4C.6D.-6 答案解析解析关闭由题意知函数f(x)是奇函数.因为f(0)=e0+m=1+m=0,解得m=-1,所以f(-ln 5)=-f(ln 5)=-eln 5+1=-5+1=-4,故选B.答案

6、解析关闭B-10-知识梳理双基自测234155.(教材习题改编P39T6)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x(1+x),则当x0时,f(x)=.答案解析解析关闭当x0,故f(-x)=(-x)(1-x).又f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x)=(-x)(1-x),f(x)=x(1-x).答案解析关闭x(1-x)-11-考点1考点2考点3考点4例1判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=x3-x;思考判断函数的奇偶性要注意什么?-12-考点1考点2考点3考点4解(1)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.又f(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-(x3-x)=

7、-f(x),故函数f(x)为奇函数.因为函数定义域不关于原点对称,所以函数为非奇非偶函数.(3)函数的定义域为x|x0,关于原点对称.当x0时,-x0,此时f(x)=-x2+x,f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-(-x2+x)=-f(x);当x0,此时f(x)=x2+x,f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-(x2+x)=-f(x).故对于x(-,0)(0,+),均有f(-x)=-f(x).即函数f(x)为奇函数.-13-考点1考点2考点3考点4解题心得判断函数奇偶性的方法:(1)定义法.利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式:=1(f(x)0)判断函数的奇偶性.(2)图象法.利用函

8、数图象的对称性判断函数的奇偶性.(3)性质法.设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上,有下面结论:-14-考点1考点2考点3考点4对点训练对点训练1设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数 答案解析解析关闭由题意,知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于A选项,f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),f(x)g(x)为奇函数,故A错误;对于B选项,|f(-x)|g(-

9、x)=|f(x)|g(x),|f(x)|g(x)为偶函数,故B错误;对于C选项,f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,f(x)|g(x)|为奇函数,故C正确;对于D选项,|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,|f(x)g(x)|是偶函数,故D错误.答案解析关闭C-15-考点1考点2考点3考点4例2(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2-3x,则函数g(x)=f(x)-x+3的零点所构成的集合为()A.1,3B.-3,-1,1,3(4)已知函数g(x)是定义在区间-2,2上的偶函数,当x0时,g(x)单调递减,若g(1-m)0时,f(x)=x3-8

10、,则x|f(x-2)0=()A.x|-2x2B.x|0 x4C.x|x0或2x4D.x|x2对点训练对点训练2(1)已知函数f(x)=x3+sin x+1(xR),若f(a)=2,则f(-a)的值为()A.3B.0C.-1 D.-2(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间0,+)内单B D B-20-考点1考点2考点3考点4(4)设a,bR,且a2,若定义在区间(-b,b)内的函数f(x)=lg 是奇函数,则a+b的取值范围为.-21-考点1考点2考点3考点4解析：(1)设F(x)=f(x)-1=x3+sin x,显然F(x)为奇函数,又F(a)=f(a)-1=1,所以F(-a)=

11、f(-a)-1=-1,从而f(-a)=0.故选B.-22-考点1考点2考点3考点4(3)当x=2时,有f(2)=0,因为f(x)为奇函数,所以f(-2)=0,作出f(x)的大致图象,由图象可知,当-2x-22,即0 x4时,有f(x-2)0,故选B.-23-考点1考点2考点3考点4(4)f(x)在(-b,b)上是奇函数,-24-考点1考点2考点3考点4例3(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3x-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1x3时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+f(2 017)等于()A.336 B.337C.1 678 D.2 012(2)

12、已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且f(x+2)=-,当2x3时,f(x)=x,则f(105.5)=.思考函数的周期性主要的应用是什么?2.5 B-25-考点1考点2考点3考点4解析:(1)f(x+6)=f(x),函数f(x)的周期T=6.当-3x-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1x3时,f(x)=x,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,f(1)+f(2)+f(6)=1.又f(2 017)=f(1)=1,f(1)+f(2)+f(3)+f(2 017)=337.-26-考点1考点2考点3考点

13、4函数f(x)的周期为4.f(105.5)=f(427-2.5)=f(-2.5)=f(2.5).22.53,f(2.5)=2.5.f(105.5)=2.5.解题心得利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化为已知区间上的相应问题进行求解.-27-考点1考点2考点3考点4对点训练对点训练3(1)已知f(x)是定义在R上的函数,且f(x+2)=-f(x),当2x3时,f(x)=x,则f(2 018)=.(2)已知f(x)是R上的奇函数,f(1)=2,且对任意xR都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,则f(2 017)=.22-28-考点1考点2考点3考点4解析:(

14、1)因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=-f(x)=f(x),所以函数f(x)的周期为4,所以f(2 018)=f(4504+2)=f(2).又223,所以f(2)=2,即f(2 018)=2.(2)因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0.又对任意xR都有f(x+6)=f(x)+f(3),所以当x=-3时,有f(3)=f(-3)+f(3)=0,所以f(-3)=0,f(3)=0,所以f(x+6)=f(x),周期为6.故f(2 017)=f(1)=2.-29-考点1考点2考点3考点4例4(1)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x+1)=

15、-f(x),若f(x)在区间-1,0上是减函数,则f(x)在区间1,3上是()A.增函数B.减函数C.先增后减的函数 D.先减后增的函数(2)已知f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=()A.-50 B.0C.2D.50思考解有关函数的单调性、奇偶性、周期性综合问题的策略有哪些?DC-30-考点1考点2考点3考点4解析:(1)由f(x)在-1,0上是减函数,又f(x)是R上的偶函数,故f(x)在0,1上是增函数.由f(x+1)=-f(x),得f(x+2)=f(x+1)+1=-f(x+1)=f(x),故2

16、是函数f(x)的一个周期.结合以上性质,画出f(x)的部分草图,如图所示.由图象可以观察出,f(x)在区间1,2上为减函数,在区间2,3上为增函数.故选D.-31-考点1考点2考点3考点4(2)f(-x)=f(2+x)=-f(x),f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x).f(x)的周期为4.f(x)为奇函数,f(0)=0.f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0)=0,f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.f(1)+f(2)+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.-32-考点1考点

17、2考点3考点4解题心得函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略:(1)函数单调性与奇偶性结合.注意奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反.(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行转换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解.(3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,再利用奇偶性和单调性求解.-33-考点1考点2考点3考点4对点训练对点训练4(1)已知函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),若f(2)=2,则f(2 018)的值为()A.2B.0C

18、.-2 D.2AD-34-考点1考点2考点3考点4解析:(1)g(-x)=f(-x-1),-g(x)=f(x+1).又g(x)=f(x-1),f(x+1)=-f(x-1).f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),则f(x)是以4为周期的周期函数,f(2 018)=f(2)=2.-35-考点1考点2考点3考点4令f(x)=0,则x2-x+1=1,解得x=1.又函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(1.5)=f(-1.5+3)=f(-1.5)=-f(1.5),f(-1)=f(1)=f(0)=f(1.5)=f(-1.5)=0,又函数f(x)是周期为3的周期函数,函数f(x)在区间0,6上的零点为0,1,1.5,2,3,4,4.5,5,6,共9个,故选D.