1、2021高考复习向量奔驰定理应用知识梳理知识梳理第一部分知识梳理1定理,ABCOA B CB O CA O CA O BSSS 设是内 一 点的 面 积 分 别 是0ABCSOASOBSOC 求证：,:0,:OABCxyzxy zABCOAOBOCSSS 是内一点 且则ASCSBS知识梳理2证明（方法一）AOBCD证明：延长交于点BCCODACDBODABDCODBODACDBDSSDCBDSSSSSSSSAODBCDCOBBCBDOCCBBSSSOBCBCSSSOC AAABCBCODODDAOASSSSS ABCSSSOD OAABCSSSOA CBBSSSOBCBCSSSOC0OCSOB
2、SOASCBA知识梳理2证明（方法二）,11|sin|sin221|sin21|(sinsin2|ABCB O CC O AA O BSO ASO BSO CO BO CO AO AO CO BO AO BO CO AOO AO BO CO A uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r证：设111sin)|1|(sinsinsin)2BO CO BO CO AO BO CO AO BO C uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu
3、ruuuruuuu rOxy1A1B1C1OA 1OB 1OC O知识梳理3推论由此定理可得三角形四心向量式(1)OABC 是的重心:1:1:1BACSSS 0OCOBOA(2)OABC 是的内心:BACSSSa b c 0OCOBOAcbaOO知识梳理3推论由此定理可得三角形四心向量式(3)OABC 是的外心:sin2:sin2:sin2BACSSSABC 02sin2sin2sinOCCOBBOAA22211sinsin2221sin221sin22ABCOSOB OCBOCRASRBSRC是外心O知识梳理3推论由此定理可得三角形四心向量式(4)OABC 是的垂心:tan:tan:tanB
4、ACSSSABC 0tantantanOCCOBBOAA,:tantantantan:BCADADBDCDOBCBCCD BDSS 证明：是垂心:tan:tanABABSS 同理:tan:tan:tanBACSSSABC OD知识梳理4结论推广,:0,(,0,0):OABCxyzxyzABCOAOBOCx y zR xyzxyzSSS 一般的，设是所在平面内一点 且满足则知识梳理奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一典型例题典型例题第二部分例题1,56sin40sin35sin0,GABCABCBGAGBGC 例1.已知是的重心 且满足 求56sin:40sin:35sin1:1:1sin:si
5、n:sin5:7:80GABCABCGAGBGC 解：是重心，:sin:sin:sin5:7:8ab cABC 由正弦定理，2222225871cos22 5 82acbBac 由余弦定理，(0,),3BB 例题1要牢记，前面的系数之比为1:1:1OABC 是的重心0OCOBOA点评：关于三角形重心的结论,OA OB OC 例题11232BCDACDDABCADABACSS 例、已知 是所在平面内一点，且，则111,3211,231612ABDABCACDABCBCDABCBCDACDABAB ACACADABACSSSSSSSS 解法：设，则，易得ABCB C D例题11232BCDACDDABCADABACSS 例、已知 是所在平面内一点，且，则21111()()032321110632116123BCDACDADABACDBDADCDADADADBDCSS 解法：由向量奔驰定理例题20 xOAyOBzOCO 点评：审题时要注意看清条件中向量等式的结构形式，结论中向量都是以 为起点的向量，若条件中不满足此结构形式，则需要先化成该形式才能使用结论。专题总结专题总结第三部分专题总结1、一定理，四推论2 2、奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一THANKS
