考点11：解三角形-2023届高三数学一轮复习专题训练.docx

1、考点11：解三角形1. (2021全国历年真题)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠程朗玛峰最新高程为8848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程则量方法之一下图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A,B,C满足ACB=45,ABC=60.由C点测得B点的仰角为15,BB与CC的差为100；由B点测得A点的仰角为45，则A，C两点到水平面ABC的高度差AA-CC约为m(31.732)()A. 346B. 373C. 446D. 4732. (2022江西省历年真题)在ABC中，cosC=23，AC=4，BC=3，则cosB=()A.

2、 B. C. D. 3. (2020云南省红河哈尼族彝族自治州期末考试)在ABC中，cosC2=55，BC=1，AC=5，则AB=()A. 42B. 30C. 29D. 254. (2022福建省单元测试)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为a2+b2-c24，则C= ()A. 2B. 3C. 4D. 65. (2022浙江省历年真题)我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式，就是S=14c2a2-c2+a2-b222，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积.

3、设某三角形的三边a=2，b=3，c=2，则该三角形的面积S=6. (2021山西省历年真题)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，B=60，a2+c2=3ac，则b=7. (2021浙江省历年真题)在ABC中，B=60，AB=2，M是BC的中点，AM=23，则AC=，cosMAC=8. (2022江西省历年真题)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b=6，a=2c，B=3，则ABC的面积为9. (2022云南省历年真题)已知ABC中，点D在边BC上，ADB=120,AD=2,CD=2BD.当ACAB取得最小值时，BD=10. (2022江西省历年真题)如图，在三

4、棱锥P-ABC的平面展开图中，AC=1，AB=AD=3，ABAC，ABAD，CAE=30，则cosFCB=11. (2021山东省泰安市期中考试)在ABC中，ABC=90，AB=4，BC=3，点D在线段AC上，若BDC=45，则BD=；cosABD=12. (2021山东省济宁市月考试卷)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=7，b=2，A=60，则sinB=，c=13. (2022浙江省历年真题)记ABC的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3，且S1-S2+S3=32，sinB=13(1)求ABC

5、的面积;(2)若sinAsinC=23，求b14. (2022浙江省历年真题)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4a=5c，cosC=35(I)求sinA的值;()若b=11，求ABC的面积15. (2021全国历年真题)在ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，b=a+1，c=a+2(1)若2sinC=3sinA，求ABC的面积；(2)是否存在正整数a，使得ABC为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由16. (2021北京市市辖区历年真题)已知在ABC中，c=2bcosB，C=23()求B的大小；()在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且

6、唯一确定，并求出BC边上的中线的长度c=2b；周长为4+23；面积为SABC=33417. (2022安徽省历年真题)ABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC(1)求A；(2)若BC=3，求ABC周长的最大值18. (2021江苏省连云港市月考试卷)在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2bsinA-3a=0(1)求角B；(2)求cosA+cosB+cosC的取值范围19. (2022江西省历年真题)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC(1)求A；(2)若2a+b=2c，求sinC20.

7、(2022江西省历年真题)在平面四边形ABCD中，ADC=90，A=45，AB=2，BD=5(1)求cosADB；(2)若DC=22，求BC21. (2022云南省其他类型)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=7，b=8，cosB=-17(1)求A；(2)求AC边上的高22. (2022云南省历年真题)记ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)(1)证明：2a2=b2+c2;(2)若a=5，cosA=2531，求ABC的周长23. (2022浙江省历年真题)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos

8、A1+sinA=sin2B1+cos2B(1)若C=23，求B;(2)求a2+b2c2的最小值24. (2022云南省其他类型)在ABC中，sin2C=3sinC.(1)求C;(2)b=6，且ABC的面积为63，求ABC的周长25. (2021湖南省历年真题)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2=ac，点D在边AC上，BDsinABC=asinC(1)证明：BD=b；(2)若AD=2DC，求cosABC26. (2021天津市历年真题)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a=22，b=5，c=13()求角C的大小；()求sinA的值；()求sin(2A+4

9、)的值27. (2021云南省历年真题)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知asinA+C2=bsinA(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c=1，求ABC面积的取值范围28. (2019北京市历年真题)在ABC中，a=3，b-c=2，cosB=-12(1)求b，c的值；(2)求sin(B-C)的值29. (2019天津市历年真题)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b+c=2a，3csinB=4asinC()求cosB的值；()求sin(2B+6)的值30. (2022云南省历年真题)ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA=ac

10、os(B-6)()求角B的大小；()设a=2，c=3，求b和sin(2A-B)的值1.B解：过点C作BB垂线，交BB于点M，过点B作AA垂线，交AA于点N，如图所示，设BC=CM=m,AB=BN=n.在ABC中，ACB=45,ABC=60，则CAB=180-45-60=75，由正弦定理得BCsinCAB=ABsinACB，即msin75=nsin45，在RtCBM中，BM=BB-CC=100，BCM=15,MBC=75，由正弦定理得CMsinMBC=BMsinBCM，即msin75=100sin15，联立两式解得n=2003-1273在RtABM中，ABN=45，则AN=BN=n=273，可得

11、A、C两点到水平面的高度差AA-CC=AN+BM=273+100=373m故本题选 B2.A解：由余弦定理可得cosC=AC2+BC2-AB22ACBC=16+9-AB2243=23，解得AB=3在ABC中，AC=4,BC=3,AB=3，由余弦定理可得cosB=AB2+BC2-AC22ABBC=9+9-16233=19.故选A3.A解：在ABC中，cosC2=55，cosC=2(55)2-1=-35，BC=1，AC=5，则AB=BC2+AC2-2BCACcosC=1+25+21535=32=42故选：A4.CABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积为a2+b2-c24，SAB

12、C=12absinC=a2+b2-c24，sinC=a2+b2-c22ab=cosC，0C0，则在ABD中，AB2=BD2+AD2-2BDADcosADB=m2+4+2m，在ACD中，AC2=CD2+AD2-2CDADcosADC=4m2+4-4m，所以AC2AB2=4m2+4-4mm2+4+2m=4m2+4+2m-121+mm2+4+2m=4-12m+1+3m+14-122m+13m+1=4-23，当且仅当m+1=3m+1即m=3-1时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，m=3-110.-14解：由已知得BD=2AB=6，D、E、F重合于一点，AE=AD=3，BF=BD=6，在ACE中，由

13、余弦定理得CE2=AC2+AE2-2ACAEcosCAE=12+(3)2-213cos30=1，CE=CF=1，由BC2=AC2+AB2，得BC=2，在BCF中，由余弦定理得cosFCB=BC2+CF2-BF22BCCF=12+22-(6)2212=-14故答案为：-1411.12257210解：如图所示，在直角三角形ABC中，AB=4，BC=3，可得AC=5，sinC=45，在BCD中，由正弦定理可得322=BDsinC，可得BD=1225；根据三角形内角和可知CBD=135-C，sinCBD=sin(135-C)=22(cosC+sinC)=22(45+35)=7210，即有cosABD=

14、cos(90-CBD)=sinCBD=7210，故答案为1225；721012.2173解：在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，ca=7，b=2，A=60，由正弦定理得：asinA=bsinB，即7sin60=2sinB，解得sinB=2327=217由余弦定理得：cosA=b2+c2-a22bc，即cos60=4+c2-722c，解得c=3或c=-1(舍)，sinB=217，c=3故答案为：217；313.解：(1)边长为a的正三角形的面积为34a2，S1-S2+S3=34(a2-b2+c2)=32，即accosB=1，由sinB=13得：cosB=223，ac=1cosB=324

15、，故SABC=12acsinB=1232413=28(2)由正弦定理得：b2sin2B=asinAcsinC=acsinAsinC=32423=94，故b=32sinB=1214.解：(1)由于cosC=35，sinC0，则sinC=45由正弦定理知4sinA=5sinC，则sinA=55(II)由sinC=45sinA=55，则AC0，所以C为锐角，则sinC=1-cos2C=378，因此，SABC=12absinC=1245378=1574(2)显然cba，若ABC为钝角三角形，则C为钝角，由余弦定理可得cosC=a2+b2-c22ab=a2+a+12-a+222aa+1=a2-2a-32

16、aa+10，则a2-2a-30，即(a+1)(a-3)0，解得-1a3，则0aa+2，可得a1，aZ，故a=216.()B=6；()若选，AD=7；若选，AD=212()由正弦定理bsinB=csinC，可得sinC=2sinBcosB=sin2B，所以C=2B(舍去)或C+2B=，故B=A=6；()由()可知，c=3b，故不能选；若选，设BC=AC=2x，则AB=23x，故周长为(4+23)x=4+23，解得x=1，即BC=AC=2，AB=23，设BC中点为D，则在ABD中，由余弦定理，cosB=AB2+BD2-AD22ABBD=1+12-AD243=32，解得AD=7；若选，设BC=AC=

17、2x，则AB=23x，故SABC=122x2xsin120=3x2=334，解得x=32，即BC=AC=3，AB=3，设BC中点为D，则在ABD中，由余弦定理，cosB=AB2+BD2-AD22ABBD=9+(32)2-AD233=32，解得AD=212；综上：若选，AD=7；若选，AD=21217.解：(1)在ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，因为sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC，由正弦定理得，a2-b2-c2=bc，即b2+c2-a2=-bc，由余弦定理得，cosA=b2+c2-a22bc=-12，因为0A，所以A=23(2)由(1)知，A=23，因为B

18、C=3，即a=3，由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccosA，所以9=b2+c2+bc=b+c2-bc，由基本不等式可得bcb+c24，所以9=b+c2-bc34b+c2,所以b+c23(当且仅当b=c=3时取得等号)，所以ABC周长的最大值为3+2318.解：(1)2bsinA=3a，2sinBsinA=3sinA，sinA0，sinB=32，0B2，B=3，(2)ABC为锐角三角形，B=3，C=23-A，cosA+cosB+cosC=cosA+cos(23-A)+cos3=12cosA+32sinA+12=sin(A+6)+12，ABC为锐角三角形，0A2，0C2，解得6A2，3A+6

19、23，32sin(A+6)1，32+12sin(A+6)+1232，cosA+cosB+cosC的取值范围为(3+12,3219.解：(1)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，又(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC，则sin2B+sin2C-2sinBsinC=sin2A-sinBsinC，由正弦定理得：b2+c2-a2=bc，cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，0A，A=3(2)2a+b=2c，A=3，由正弦定理得2sinA+sinB=2sinC，62+sin(23-C)=2sinC，即62+32cosC+12sinC=2sinC，即62+32co

20、sC-32sinC=0，即sin(C-6)=22，C(0,23)，C-6(-6,2)，C-6=4，C=4+6，sinC=sin(4+6)=sin4cos6+cos4sin6=2232+2212=6+2420.解：(1)ADC=90，A=45，AB=2，BD=5.由正弦定理得：ABsinADB=BDsinA，即2sinADB=5sin45，sinADB=2sin455=25，ABBD，ADBA，cosADB=1-(25)2=235(2)ADC=90，cosBDC=sinADB=25，DC=22，BC=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252225=5【解析】本题考查正弦定理、余弦

21、定理等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题(1)由正弦定理得2sinADB=5sin45，求出sinADB=25，由此能求出cosADB；(2)由ADC=90，得cosBDC=sinADB=25，再由DC=22，利用余弦定理能求出BC21.解：(1)ab，AB，即A是锐角，cosB=-17，sinB=1-cos2B=1-(-17)2=437，由正弦定理，asinA=bsinB，得sinA=asinBb=74378=32，又A为锐角，则A=3;(2)由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，即64=49+c2+27c17，即c2+2c-15=0，得(c-3)(c+5)=0，解得c=3或c=

22、-5(舍)，则AC边上的高h=csinA=332=332【解析】本题考查正弦定理，余弦定理，属于中档题(1)由正弦定理，进行求解即可;(2)利用余弦定理求出c的值，即可求出h22.解：(1)证明：已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)可化简为sinCsinAcosB-sinCcosAsinB=sinBsinCcosA-sinBcosCsinA，由正弦定理可得accosB-bccosA=bccosA-abcosC，即accosB=2bccosA-abcosC，由余弦定理可得aca2+c2-b22ac=2bcb2+c2-a22bc-aba2+b2-c22ab，即证2a2=b2+c2

23、，(2)由(1)可知b2+c2=2a2=50，cosA=b2+c2-a22bc=50-252bc=252bc=2531，2bc=31，b2+c2+2bc=(b+c)2=81，b+c=9，a+b+c=14，ABC的周长为14【解析】本题考查正余弦定理，属中档题目(1)利用正弦定理角化边，再利用余弦定理角化边，化简得证；(2)由余弦定理求出a+b即可得出三角形的周长23.解：(1)cosA1+sinA=sin2B1+cos2B，cos2A2-sin2A2cos2A2+sin2A2+2sinA2cosA2=2sinBcosB1+2cos2B-1且cosB0，cosA2-sinA2cosA2+sinA

24、2=sinBcosB1-tanA21+tanA2=tanB，tan(4-A2)=tanB，又A，B(0,)，4-A2(-4,4)，4-A2=B又C=23，A+B=3，B=6(2)由正弦定理asinA=bsinB=csinC，得a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C=sin2A+sin2(4-A2)sin2(A+4-A2)=1-cos2A2+1-cos2(4-A2)21-cos2(A+4-A2)2=1-cos2A+1-sinA1+sinA=2sin2A-sinA+11+sinA，A(0,)4-A2=B(0,)A(0,2)，令t=1+sinA(1,2)，则y=2(t-1)2-(t-1)+

25、1t=2t-5+4t，t(1,2)，y=2t-5+4t在t(1,2)时递减，在t(2,2)时递增，因此t=2时，ymin=42-5【解析】本题主要考查三角恒等变换的综合应用及利用余弦定理和对勾函数解决最值问题，属于中档题(1)由二倍角公式，同角三角函数的基本关系，两角差的正切函数公式化简得tan(4-A2)=tanB，即可求B；(2)由正弦定理，二倍角公式化简得a2+b2c2=2sin2A-sinA+11+sinA，令t=1+sinA，利用对勾函数性质即可得解24.解：(1)sin2C=3sinC，2sinCcosC=3sinC，cosC=32，0C1(舍)；当c=23a时，cosABC=71

26、2；综上所述，cosABC=712【解析】本题主要考查正弦定理和余弦定理，难度不大(1)利用正弦定理求解；(2)要能找到隐含条件：BDA和BDC互补，从而列出等式关系求解26.解：()由余弦定理以及a=22，b=5，c=13，则cosC=a2+b2-c22ab=8+25-132225=22，C(0,)，C=4；()由正弦定理，以及C=4，a=22，c=13，可得sinA=asinCc=222213=21313；()由a0，cosB2=2sinB2cosB2，若cosB2=0，可得B=(2k+1)，kZ，又B(0,)，所以cosB2=0不成立，sinB2=12，由0B1且1+a2-a+1a2，解

27、得12a1且1+a2-a+1a2，求得a的范围，由三角形的面积公式，可得所求范围28.解：(1)a=3，b-c=2，cosB=-12由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB=9+(b-2)2-23(b-2)(-12)，b=7，c=b-2=5；(2)在ABC中，cosB=-12，sinB=32，由正弦定理有：csinC=bsinB，sinC=csinBb=5327=5314，bc，BC，C为锐角，cosC=1114，sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC=321114-(-12)5314=437【解析】本题考查了正弦定理、余弦定理和两角差的正弦公式，属基础题(1)利用余弦定理

28、可得b2=a2+c2-2accosB，代入已知条件即可得到关于b的方程，解方程即可；(2)sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC，根据正弦定理可求出sinC，然后求出cosC，代入即可得解29.解：()在三角形ABC中，由正弦定理得bsinB=csinC，所以bsinC=csinB，又由3csinB=4asinC，得3bsinC=4asinC，即3b=4a，又因为b+c=2a，得b=4a3，c=2a3，由余弦定理可得cosB=a2+c2-b22ac=a2+49a2-169a22a23a=-14；()由()得sinB=1-cos2B=154，从而sin2B=2sinBcosB=-1

29、58，cos2B=cos2B-sin2B=-78，故sin(2B+6)=sin2Bcos6+cos2Bsin6=-15832-7812=-35+716【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题()根据正余弦定理可得；()根据二倍角的正余弦公式以及和角的正弦公式可得30.解：()在ABC中，由正弦定理得asinA=bsinB，得bsinA=asinB，又bsinA=acos(B-6)，asinB=acos(B-6)，即sinB=cos(B-6)=cosBcos6+sinBsin6=32cosB+

30、12sinB，tanB=3，又B(0,)，B=3()在ABC中，a=2，c=3，B=3，由余弦定理得b=a2+c2-2accosB=7，由bsinA=acos(B-6)，得sinA=37，ac，cosA=27，sin2A=2sinAcosA=437，cos2A=2cos2A-1=17，sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=43712-1732=3314【解析】本题考查两角和与差的三角函数公式，考查正余弦定理的运用()由正弦定理得bsinA=asinB，结合bsinA=acos(B-6)，由此能求出B()由余弦定理得b=7，由bsinA=acos(B-6)，得sinA=37，cosA=27，由此能求出sin(2A-B)22