1、第第2 2节圆与方程节圆与方程考纲展示1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.积累必备知识提升关键能力积累必备知识知识梳理1.圆的定义与方程定点定长(a,b)rD2+E2-4F02.点与圆的位置关系点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系:(1)若M(x0,y0)在圆外,则 .(2)若M(x0,y0)在圆上,则 .(3)若M(x0,y0)在圆内,则 .3.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法:利用圆心到直线的
2、距离d和圆的半径r的大小关系.相交;相切;相离.(x0-a)2+(y0-b)2r2(x0-a)2+(y0-b)2=r2(x0-a)2+(y0-b)2r2dr相交相切;相离方法方法位置关系位置关系 几何法几何法:圆心距圆心距d d与与r r1 1,r,r2 2的关系的关系代数法代数法:联立两圆方程联立两圆方程组成方程组的解的情况组成方程组的解的情况外离外离_外切外切_相交相交_内切内切_内含内含_dr1+r2无解d=r1+r2一组实数解|r1-r2|dr1+r2两组不同的实数解d=|r1-r2|(r1r2)一组实数解0d0.()(3)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(tR)表示圆心为(a,b
3、),半径为t的圆.()(4)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.()(5)当两圆相交时,两圆方程(x2,y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程.()(6)如果直线与圆组成的方程组有解,则直线与圆相交或相切.()AC4.下列直线与圆(x-1)2+(y-1)2=2相切的是()(A)y=-x(B)y=x(C)y=-2x(D)y=2x解析:由于选项中各直线均过原点,且原点在圆上,圆心坐标为(1,1),圆心与原点连线的斜率为1,所以圆(x-1)2+(y-1)2=2在原点处的切线方程为y=-x.故选A.A5.若圆x2+y2=1与圆(x+4)2+(y-a)2=25相切,则常数a=.提升关
4、键能力考点一圆的方程(基础性)题组过关1.过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在x+y-2=0上的圆的方程是()(A)(x-3)2+(y+1)2=4(B)(x+3)2+(y-1)2=4(C)(x-1)2+(y-1)2=4(D)(x+1)2+(y+1)2=4解析:线段AB的垂直平分线的方程为y=x,所以联立y=x,x+y-2=0得圆心(1,1),半径为2,因此圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=4.故选C.3.过三点A(1,12),B(7,10),C(-9,2)的圆的方程为.答案:(x-1)2+(y-2)2=100反思归纳求圆的方程的两种方法(1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐
5、标和半径,进而写出方程.(2)待定系数法:若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值;若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.考点二与圆有关的最值问题(应用性)(2)求y-x的最大值和最小值;(3)求x2+y2的最大值和最小值.反思归纳(2)形如m=ax+by的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为两点间距离的平方的最值问题.(2)已知点(x,y)在圆(x-2)2+(y+3)2=
6、1上,则x+y的最大值和最小值分别为和.考点三直线与圆的位置关系(综合性)例2(1)圆x2+y2-2x+4y=0与直线2tx-y-2-2t=0(tR)的位置关系为()(A)相离(B)相切(C)相交(D)以上都有可能解析:(1)直线2tx-y-2-2t=0恒过点(1,-2).因为12+(-2)2-21+4(-2)=-50的前提下,利用根与系数的关系,根据弦长公式求弦长.考点四圆与圆的位置关系(综合性)例3 已知两圆:x2+y2-2x-6y-1=0,x2+y2-10 x-12y+m=0.(1)m取何值时两圆外切?(2)m取何值时两圆内切?(3)当m=45时,求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长
7、.对点训练3 如果圆C:x2+y2-2ax-2ay+2a2-4=0与圆O:x2+y2=4总相交,那么实数a的取值范围是.反思归纳解决圆与圆位置关系问题的两大通法(1)处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断,一般不采用代数法.(2)若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.备选例题例2 已知线段AB的端点B在圆C1:x2+(y-4)2=16上运动,端点A的坐标为(4,0),线段AB的中点为M.则点M的轨迹C2的方程为.答案:(x-2)2+(y-2)2=4答案:-5例4 已知两点A(0,-3),B(4,0),若点P是圆C:x2+y2-2y=0上的动点,则ABP的面积的最小值为 .
