复变函数期末复习课件.ppt

1、1期期 末末 复复 习习第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数1.复数的实部、虚部复数的实部、虚部,复数的模、辐角复数的模、辐角(主辐角主辐角),共轭复数的计算共轭复数的计算 2.复数的表示：复数的代数式、三角式、指数式复数的表示：复数的代数式、三角式、指数式 的相互转化的相互转化 3.复数的运算：加、减、乘、除及其几何意义复数的运算：加、减、乘、除及其几何意义,乘幂与方根；乘幂与方根；4.点集概念点集概念:单连通区域单连通区域,多连通区域多连通区域,有界区域有界区域,无界区域的判定；无界区域的判定；2 区域正方向的判定区域正方向的判定：多连通区域的外边界取多连通区域的外边界取“逆时针逆时

2、针”方向为正方向，内边界取方向为正方向，内边界取“顺时针顺时针”方向方向为正方向为正方向 5.平面曲线平面曲线(简单曲线、光滑或分段光滑曲线简单曲线、光滑或分段光滑曲线),特别是复方程特别是复方程 表示什么平面曲线表示什么平面曲线,平面曲线的复平面曲线的复方程怎么表示方程怎么表示 6.复变函数概念、复变函数的几何解释复变函数概念、复变函数的几何解释-复变函数将给定平面曲线变成什么曲线复变函数将给定平面曲线变成什么曲线 例如函数例如函数 将将z平面上的曲线平面上的曲线2 wz 22 4xy变成变成w平面上的什么曲线？平面上的什么曲线？37.指数函数、对数函数、幂函数、三角函数指数函数、对数函数、

3、幂函数、三角函数 的定义及其计算的定义及其计算.例如例如 sin 12(1)iiiLni第二章第二章 导导 数数1.复变函数极限、复变函数连续复变函数极限、复变函数连续.2.复变函数在一点可微、在区域可微、复变函数在一点可微、在区域可微、在区域在区域 解析、在一点解析解析、在一点解析;讨论给定函数的连续性、可导性、解析性讨论给定函数的连续性、可导性、解析性.43.Cauchy-Riemann方程的应用；方程的应用；在在D内解析的内解析的充要条件充要条件是：是：fzuiv().uvvufziixxyy 4.调和函数调和函数;共轭调和函数的定义共轭调和函数的定义 证明证明 是调和函数，并求已知是调

4、和函数，并求已知 为为(,)u x y(,)u x y实部或虚部的解析函数实部或虚部的解析函数()f z,uvuvxyyx 2)u和和v在在D内满足内满足C-R方程：方程：(,)(,)u x yv x yD和和在在 内内可可微微;1)且且5第三章第三章 复变函数积分复变函数积分 Cauchy积分定理积分定理,闭路变形原理闭路变形原理,Cauchy积分积分公式公式,高阶导数公式高阶导数公式.2.应用参数方程法应用参数方程法,Cauchy积分定理积分定理,闭路变原闭路变原 理理,Cauchy积分公式积分公式,高阶导数公式计算复积分高阶导数公式计算复积分.1.基本理论基本理论例如计算积分例如计算积分

5、:2232,:4(1)zCedzCxyzz|1coszzdz ImCzdz 其中积分路径其中积分路径 是从是从 到到 的直线段的直线段 C1zi0z 6第四章第四章 级数级数 2.幂级数的收敛半径，收敛圆，收敛圆周的计算幂级数的收敛半径，收敛圆，收敛圆周的计算 3.关于关于 1,sin,cos,1zfzefzz fzzz 在在 处的幂级数展开式及其展开范围处的幂级数展开式及其展开范围.0z 1.判断复级数的判断复级数的绝对收敛与条件收敛性绝对收敛与条件收敛性.4.求解析函数在圆环、孤立奇点处的洛郎展开式求解析函数在圆环、孤立奇点处的洛郎展开式 例如例如 1()(1)f zz z 在在 01,0

6、11,zz 内展成洛朗级数内展成洛朗级数.11z 7第五章第五章 留数留数 1.孤立奇点的定义及分类的判定孤立奇点的定义及分类的判定2.孤立奇点处留数的计算，应用留数定理计算孤立奇点处留数的计算，应用留数定理计算 周线上的复积分周线上的复积分.3.用留数定理计算实积分用留数定理计算实积分()(),.()()imxP xP xdxedxQ xQ x2cos23xxIdxxx 例如：计算例如：计算 81 傅立叶积分的概念傅立叶积分的概念()i tf t edt 傅立叶积分傅立叶积分2 Fourier变换和变换和逆变换逆变换的定义的定义()d,i tf t et ()()Ff t 1()d.2i t

7、Fe 1()()f tF 9指数衰减函数指数衰减函数,0()(0)0,0tetf tt 的的Fourier变换变换0()sinf tt 正正弦弦函函数数0,0()1,0tu tt 单单位位阶阶跃跃函函数数103 Fourier变换的性质及其应用变换的性质及其应用 线性性质、位移性质、微分性质线性性质、位移性质、微分性质积分性质、对称性质、相似性质积分性质、对称性质、相似性质 4 卷积与卷积定理卷积与卷积定理1212()()d()().fftf tft 11212()()2()().FFf t f t 1212()*()()().f tf tFF 115d d函数及其傅里叶变换函数及其傅里叶变换

8、满足以下两个条件满足以下两个条件0,0;(1)(),0.tttd d (2)()d1.ttd d 的函数称为的函数称为d d函数函数.筛选性质筛选性质,d d函数是偶函数函数是偶函数,相似性质相似性质,d d函数的导数函数的导数d d函数的傅里叶变换函数的傅里叶变换12积分积分0()()d,stF sft et 积分积分2 变换和变换和逆变换逆变换的定义的定义 1()()f tF s 1()d (0)2istiF s esti ()()F sf t 0()dstf t et 13常见的常见的Laplace变换公式变换公式1()(Re()0);u tss 1(Re()Re().tess 22si

9、n(Re()|Im()|).tss 22cos(Re()|Im()|).stss 11(1)(1,Re0),tss 00().sttted d 14求求逆变换的方法逆变换的方法利用卷积定理利用卷积定理;利用留数定理利用留数定理;利用部分分式利用部分分式 1 线性性质线性性质 2 微分性质微分性质 3 积分性质积分性质 4 延迟性质延迟性质 5 位移性质位移性质 6 相似性质相似性质 155 卷积与卷积与卷积卷积定理定理 12120()()()()d.tf tf tff t 定义定义 若给定的两个函数若给定的两个函数 在在t 0时时12(),()f tf t恒为零恒为零.则积分则积分120()()dtff t 称为函数称为函数 1()f t与与 2()f t的卷积的卷积,记作记作 12()()f tf t 即即6 Laplace变换的应用变换的应用求线性常微分方程求线性常微分方程2021