2020届高中数学一轮复习人教A版推理与证明课件(85张).ppt

1、【知识梳理知识梳理】1.1.合情推理合情推理(1)(1)归纳推理归纳推理:定义定义:根据一类事物中根据一类事物中_事物具有某种属性事物具有某种属性,推断推断该类事物中该类事物中_事物都有这种属性事物都有这种属性,我们将这种推我们将这种推理方式称为归纳推理理方式称为归纳推理.部分部分每一个每一个特点特点:由由_到整体、由到整体、由_到一般的推理到一般的推理.(2)(2)类比推理类比推理:定义定义:由于两类不同对象具有某些由于两类不同对象具有某些_的特征的特征,在此在此基础上基础上,根据一类对象的其他特征根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也推断另一类对象也具有具有_的其他特征的其他特征,我们把

2、这种推理过程称为类比我们把这种推理过程称为类比推理推理.部分部分个别个别类似类似类似类似特点特点:类比推理是类比推理是_事物特征之间的推理事物特征之间的推理.(3)(3)合情推理合情推理:归纳推理和类比推理是最常见的合情推理归纳推理和类比推理是最常见的合情推理,合情推理是合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论事实和正确的结论(定义、公理、定理等定义、公理、定理等),),推测出某些推测出某些结果的推理方式结果的推理方式.两类两类2.2.演绎推理演绎推理演绎推理是根据已知的事实和正确的结论演绎推理是根据已知的事实和正确

3、的结论,按照严格的按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程逻辑法则得到新结论的推理过程.【常用结论常用结论】1.1.类比推理的注意点类比推理的注意点在进行类比推理时要尽量从本质上去类比在进行类比推理时要尽量从本质上去类比,不要被表面不要被表面现象迷惑现象迷惑,如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比去类比,那么就会犯机械类比的错误那么就会犯机械类比的错误.2.2.合情推理的注意点合情推理的注意点(1)(1)合情推理是合乎情理的推理合情推理是合乎情理的推理.(2)(2)合情推理既可以发现结论合情推理既可以发现结论,也可以发现思路与方向也可以发现思路与方向.

4、(3)(3)由合情推理得出的结论不一定是正确的由合情推理得出的结论不一定是正确的.3.3.演绎推理的特征演绎推理的特征演绎推理是由一般到特殊的推理演绎推理是由一般到特殊的推理.它常用来证明和推理它常用来证明和推理数学问题数学问题,解题时应注意推理过程的严密性解题时应注意推理过程的严密性,书写格式书写格式的规范性的规范性.【基础自测基础自测】题组一题组一:走出误区走出误区1.1.判断正误判断正误(正确的打正确的打“”“”,错误的打错误的打“”)”)(1)(1)归纳推理得到的结论不一定正确归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的类比推理得到的结论一定正确结论一定正确.()(2)(2)由平面三角

5、形的性质推测空间四面体的性质由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是这是一种合情推理一种合情推理.()(3)(3)在类比时在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适作为类比对象较为合适.()(4)(4)在演绎推理中在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式只要符合演绎推理的形式,结论就一结论就一定正确定正确.()提示提示:根据合情推理和演绎推理的相关定义知根据合情推理和演绎推理的相关定义知(1)(3)(4)(1)(3)(4)是错误的是错误的,(2),(2)是正确的是正确的.答案答案:(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)2.2.正

6、弦函数是奇函数正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x,f(x)=sin(x2 2+1)+1)是正弦函数是正弦函数,因因此此f(x)=sin(xf(x)=sin(x2 2+1)+1)是奇函数是奇函数,以上推理以上推理()A.A.结论正确结论正确 B.B.大前提不正确大前提不正确C.C.小前提不正确小前提不正确 D.D.全不正确全不正确【解析解析】选选C.f(x)=sin(xC.f(x)=sin(x2 2+1)+1)不是正弦函数不是正弦函数,所以小所以小前提不正确前提不正确.3.(20183.(2018中山模拟中山模拟)在在ABCABC中中,不等式不等式 成立成立;在凸四边形在凸四边形ABCDAB

7、CD中中,不等式不等式 成成立立;在凸五边形在凸五边形ABCDEABCDE中中,不等式不等式 成立成立依此类推依此类推,在凸在凸n n边形边形A A1 1A A2 2AAn n中中,不等式不等式 成立成立.1119ABC111116ABCD21111125ABCDE312n111AAA【解析解析】因为因为 所以所以 答案答案:(nN (nN*,n3),n3)211193ABC，221111164ABCD2211111255ABCDE33，212n111n(nN*n3).AAAn2，2nn2题组二：走进教材题组二：走进教材1.(1.(选修选修2-2P72-2P7习题习题1-1T11-1T1改编改

8、编)在数列在数列aan n 中，中，a a1 1=且且S Sn n=n(2n-1)a=n(2n-1)an n，通过计算，通过计算a a2 2，a a3 3，a a4 4，猜想，猜想a an n的表达的表达式是式是a an n=_.=_.13【解析解析】当当n=2n=2时时,a,a1 1+a+a2 2=6a=6a2 2,即即a a2 2=a=a1 1=;=;当当n=3n=3时时,a,a1 1+a+a2 2+a+a3 3=15a=15a3 3,即即a a3 3=(a=(a1 1+a+a2 2)=;)=;当当n=4n=4时时,a,a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4=28a=28a4

9、4,即即a a4 4=(a=(a1 1+a+a2 2+a+a3 3)=.)=.15115114135127163所以所以a a1 1=,a=,a2 2=故猜想故猜想a an n=答案答案:1311 33411111aa153 5355 77 9，1.2n12n1（）12n12n1（）2.(2.(选修选修2-2P52-2P5例例3 3改编改编)在在RtRtABCABC中，若中，若C=90C=90，AC=bAC=b，BC=aBC=a，则，则ABCABC外接圆半径外接圆半径r=r=运用类比运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a a，

10、b b，c c，则其外接球的半径，则其外接球的半径R=_.R=_.22ab.2【解析解析】通过类比可得通过类比可得R=.R=.证明证明:作一个在作一个在同一个顶点处棱长分别为同一个顶点处棱长分别为a,b,ca,b,c的长方体的长方体,则这个长方则这个长方体的体对角线的长度是体的体对角线的长度是 ,故这个长方体的外故这个长方体的外接球的半径是接球的半径是 ,这也是所求的三棱锥的外这也是所求的三棱锥的外接球的半径接球的半径.答案答案:222abc2 222abc 222abc2 222abc2 考点一类比推理考点一类比推理【题组练透题组练透】1.1.等差数列等差数列aan n 的公差为的公差为d,

11、d,前前n n项的和为项的和为S Sn n,则数列则数列 为等差数列为等差数列,公差为公差为 .类似地类似地,若各项均为正数若各项均为正数的等比数列的等比数列bbn n 的公比为的公比为q,q,前前n n项的积为项的积为T Tn n,则等比数则等比数列列 的公比为的公比为()nSnd2nnT2nqAB qC.qDq2.【解析解析】选选C.C.由题设由题设,得得T Tn n=b=b1 1b b2 2b b3 3b bn n=b=b1 1b b1 1q qb b1 1q q2 2b b1 1q qn-1n-1=q=q1+2+1+2+(n-1)+(n-1)=所以所以 所以等比数列所以等比数列 的公比

12、为的公比为 .n1bn1nn21b q.（）n12nn1Tb q，nnTq2.2.在平面上在平面上,设设h ha a,h,hb b,h,hc c是是ABCABC三条边上的高三条边上的高,P,P为三角为三角形内任一点形内任一点,P,P到相应三边的距离分别为到相应三边的距离分别为P Pa a,P,Pb b,P,Pc c,我们我们可以得到结论可以得到结论:=1.=1.把它类比到空间把它类比到空间,则三棱则三棱锥中的类似结论为锥中的类似结论为.abcabcPPPhhh【解析解析】设设h ha a,h,hb b,h,hc c,h,hd d分别是三棱锥分别是三棱锥A-BCDA-BCD四个面上的四个面上的高

13、高,P,P为三棱锥为三棱锥A-BCDA-BCD内任一点内任一点,P,P到相应四个面的距离分到相应四个面的距离分别为别为P Pa a,P,Pb b,P,Pc c,P,Pd d,于是可以得出结论于是可以得出结论:答案答案:abcdabcdPPPP1.hhhhabcdabcdPPPP1hhhh3.3.如图如图,在在RtRtABCABC中中,C=90,C=90,设设a,b,ca,b,c分别表示三条分别表示三条边的长度边的长度,由勾股定理由勾股定理,得得c c2 2=a=a2 2+b+b2 2.类比平面内直角三类比平面内直角三角形的勾股定理角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想试给出空间中四面体性

14、质的猜想.【解析解析】如题图所示如题图所示,在在RtRtABCABC中中,C=90,C=90.设设a,b,ca,b,c分别表示分别表示3 3条边的长度条边的长度,由勾股定理由勾股定理,得得c c2 2=a=a2 2+b+b2 2.类似地类似地,在四面体在四面体P-DEFP-DEF中中,PDF=PDE=EDF=90,PDF=PDE=EDF=90.设设S S1 1,S,S2 2,S,S3 3和和S S分别表示分别表示PDF,PDF,PDE,PDE,EDFEDF和和PEFPEF的的面积面积,相应于直角三角形的相应于直角三角形的2 2条直角边条直角边a,ba,b和和1 1条斜边条斜边c,c,图中的四面

15、体有图中的四面体有3 3个个“直角面直角面”S S1 1,S,S2 2,S,S3 3和和1 1个个“斜斜面面”S.S.于是于是,类比勾股定理的结构类比勾股定理的结构,我们猜想我们猜想S S2 2=成立成立.222123SSS【互动探究互动探究】若题若题3 3中条件中条件“由勾股定理由勾股定理,得得c c2 2=a=a2 2+b+b2 2”换成换成“cos cos 2 2 A+cosA+cos2 2 B=1”,B=1”,则在空间中则在空间中,给出四面体性给出四面体性质的猜想质的猜想.【解析解析】如图如图,在在RtRtABCABC中中,coscos2 2A+cosA+cos2 2B=B=于是把结论

16、类比到四面体于是把结论类比到四面体P-ABCP-ABC中中,我们猜想我们猜想,四四面体面体P-ABCP-ABC中中,若三个侧面若三个侧面PAB,PBC,PAB,PBC,22222baab()()1.cccPCAPCA两两互相垂直两两互相垂直,且分别与底面所成的角为且分别与底面所成的角为,则则coscos2 2+cos+cos2 2+cos+cos2 2=1.=1.【规律方法规律方法】类比推理的分类类比推理的分类考点二演绎推理考点二演绎推理【典例典例】(1)(2018(1)(2018洛阳模拟洛阳模拟)下列四个推导过程符合下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是演绎推理三段论形式且推理

17、正确的是()A.A.大前提大前提:无限不循环小数是无理数无限不循环小数是无理数;小前提小前提:是无理是无理数数;结论结论:是无限不循环小数是无限不循环小数B.B.大前提大前提:无限不循环小数是无理数无限不循环小数是无理数;小前提小前提:是无限是无限不循环小数不循环小数;结论结论:是无理数是无理数C.C.大前提大前提:是无限不循环小数是无限不循环小数;小前提小前提:无限不循环小无限不循环小数是无理数数是无理数;结论结论:是无理数是无理数D.D.大前提大前提:是无限不循环小数是无限不循环小数;小前提小前提:是无理数是无理数;结论结论:无限不循环小数是无理数无限不循环小数是无理数(2)(2)数列数列

18、aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,已知已知a a1 1=1,a=1,an+1n+1=S Sn n(nN(nN*).).证明证明:数列数列 是等比数列是等比数列;世纪金榜导学号世纪金榜导学号S Sn+1n+1=4a=4an n.n2nnSn【解析解析】(1)(1)选选B.AB.A中小前提不是大前提的特殊情况中小前提不是大前提的特殊情况,不符合三段论的推理形式不符合三段论的推理形式,故故A A错误错误;C,D;C,D都不是由一般都不是由一般性命题到特殊性命题的推理性命题到特殊性命题的推理,所以所以C,DC,D都不正确都不正确,只有只有B B正确正确.(2)(2)因为因为a an+

19、1n+1=S=Sn+1n+1-S-Sn n,a,an+1n+1=S=Sn n,所以所以(n+2)S(n+2)Sn n=n(S=n(Sn+1n+1-S-Sn n),),即即nSnSn+1n+1=2(n+1)S=2(n+1)Sn n.故故 =2=2 ,(,(小前提小前提)故故 是以是以2 2为公比为公比,1,1为首项的等比数列为首项的等比数列.(.(结论结论)(大前提是等比数列的定义大前提是等比数列的定义)n2nnSnn1Sn 1nSn由可知由可知 所以所以S Sn+1n+1=4(n+1)=4(n+1)=4a=4an n(n2).(n2).(小前提小前提)又因为又因为a a2 2=3S=3S1 1

20、=3,S=3,S2 2=a=a1 1+a+a2 2=1+3=4=4a=1+3=4=4a1 1,(,(小前提小前提)所以对于任意正整数所以对于任意正整数n,n,都有都有S Sn+1n+1=4a=4an n.(.(结论结论)n1n 1SS4(n2)n 1n1g，n 1n 1Sn124Sn1n1gg【规律方法规律方法】演绎推理的推证规则演绎推理的推证规则(1)(1)演绎推理是从一般到特殊的推理演绎推理是从一般到特殊的推理,其一般形式是三其一般形式是三段论段论,应用三段论解决问题时应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大应当首先明确什么是大前提和小前提前提和小前提,如果前提是显然的如果前提是显然的,

21、则可以省略则可以省略.(2)(2)在推理论证过程中在推理论证过程中,一些稍复杂一点的证明题常常一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成要由几个三段论才能完成.【对点训练对点训练】1.1.已知函数已知函数y=f(x)y=f(x)满足满足:对任意对任意a,bR,ab,a,bR,ab,都有都有af(a)+bf(b)af(b)+bf(a),af(a)+bf(b)af(b)+bf(a),试证明试证明:f(x):f(x)为为R R上的单调上的单调递增函数递增函数.【证明证明】设设x x1 1,x,x2 2R,R,取取x x1 1xx)x1 1f(xf(x2 2)+x)+x2 2f(xf(x1 1)

22、,),所以所以x x1 1f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)+x)+x2 2f(xf(x2 2)-f(x)-f(x1 1)0,)0,f(xf(x2 2)-f(x)-f(x1 1)(x)(x2 2-x-x1 1)0,)0,因为因为x x1 1x0,f(x)0,f(x2 2)f(x)f(x1 1).).所以所以y=f(x)y=f(x)为为R R上的单调递增函数上的单调递增函数.2.2.设各项均为正数的数列设各项均为正数的数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,满足满足4S4Sn n=-4n-1,nN-4n-1,nN*,且且a a2 2,a,a5 5,a,a1414构成等

23、比数列构成等比数列.(1)(1)证明证明:a:a2 2=(2)(2)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式.(3)(3)证明证明:对一切正整数对一切正整数n,n,有有 2n1a14a5.1223nn11111.a aa aa a2【解析解析】(1)(1)当当n=1n=1时时,4a,4a1 1=-5,=4a=-5,=4a1 1+5,+5,又因为又因为a an n0,0,所以所以a a2 2=(2)(2)当当n2n2时时,4S,4Sn-1n-1=-4(n-1)-1,=-4(n-1)-1,所以所以4S4Sn n-4S-4Sn-1n-1=4a=4an n=-4,=-4,14a5.22a22a2n

24、a2n 1a2na即即 =+4a=+4an n+4=(a+4=(an n+2)+2)2 2,又因为又因为a an n0,0,所以所以a an+1n+1=a=an n+2,+2,所以当所以当n2n2时时,a,an n 是公差为是公差为2 2的等差数列的等差数列.又因为又因为a a2 2,a,a5 5,a,a1414成等比数列成等比数列,所以所以 =a=a2 2a a1414,即即(a(a2 2+6)+6)2 2=a=a2 2(a(a2 2+24),+24),2n 1a2na25a解得解得a a2 2=3.=3.结合结合(1)(1)知知a a1 1=1,=1,又因为又因为a a2 2-a-a1 1

25、=3-1=2,=3-1=2,所以数列所以数列aan n 是首项是首项a a1 1=1,=1,公差公差d=2d=2的等差数列的等差数列.所以所以a an n=2n-1.=2n-1.1223nn11113 a aa aa a11111 33 55 72n1(2n 1)111111(1)23352n12n 1111(1).22n 12 )()(考点三归纳推理考点三归纳推理【明考点明考点知考法知考法】归纳推理是每年高考的常考内容归纳推理是每年高考的常考内容,题型多为选择题题型多为选择题或填空题或填空题,难度稍大难度稍大,属中高档题属中高档题.高考常考与数字高考常考与数字(数数列列)有关的等式的推理有关

26、的等式的推理,与不等式与不等式(式子式子)有关的推理有关的推理,与与图形变化有关的推理等问题图形变化有关的推理等问题.命题角度命题角度1 1与数字有关的等式的归纳推理与数字有关的等式的归纳推理【典例典例】由一个奇数组成的数阵排列如下由一个奇数组成的数阵排列如下:1 13 37 71313 2121 5 59 915152323111117172525191927272929则第则第3030行从左到右第行从左到右第3 3个数是个数是.世纪金榜导世纪金榜导学号学号【解析解析】观察每一行的第一个数观察每一行的第一个数,由归纳推理可得第由归纳推理可得第3030行的第行的第1 1个数是个数是1+4+6+

27、8+10+60=-1=929.1+4+6+8+10+60=-1=929.又第又第n n行从左到右的第行从左到右的第2 2个数比第个数比第1 1个数大个数大2n,2n,第第3 3个数比个数比第第2 2个数大个数大2n+2,2n+2,所以第所以第3030行从左到右的第行从左到右的第2 2个数比第个数比第1 1个数大个数大60,60,第第3 3个数比第个数比第2 2个数大个数大62,62,故第故第3030行从左到右行从左到右第第3 3个数是个数是929+60+62=1 051.929+60+62=1 051.答案答案:1 0511 051302602（）【状元笔记状元笔记】与数字有关的等式的归纳推理

28、与数字有关的等式的归纳推理,应观察数字特点应观察数字特点,找出找出等式左右两侧的规律及符号等式左右两侧的规律及符号.命题角度命题角度2 2与式子有关的归纳推理与式子有关的归纳推理【典例典例】(2018(2018赣州模拟赣州模拟)记记S Sk k=1=1k k+2+2k k+3+3k k+n+nk k(nN(nN*),),当当k=1,2,3,k=1,2,3,时时,观察下列等式观察下列等式:世纪金世纪金榜导学号榜导学号S S1 1=n n2 2+n,n,S S2 2=n n3 3+n n2 2+n,n,1212121316可以推测可以推测,A+B=,A+B=.4323543465425111Snn

29、n424111SnnAnn5230115SnnnBn,6212，【解析解析】根据所给的已知等式得到根据所给的已知等式得到:各等式右边各项的各等式右边各项的系数和为系数和为1;1;最高次项的系数为该项次数的倒数最高次项的系数为该项次数的倒数;所以所以 解得解得,A=,B=-,A=,B=-,所以所以A+B=.A+B=.答案答案:111115A1B152306212，131121414【状元笔记状元笔记】与式子有关的推理与式子有关的推理(1)(1)与不等式有关的归纳推理与不等式有关的归纳推理:观察所给几个不等式两观察所给几个不等式两边式子的特点边式子的特点,注意纵向看、找出隐含规律注意纵向看、找出隐

30、含规律.(2)(2)与数列有关的归纳推理与数列有关的归纳推理:通常是先求出几个特殊项通常是先求出几个特殊项,采用不完全归纳法采用不完全归纳法,找出数列的项与项数的关系找出数列的项与项数的关系,列出列出式子即可式子即可.命题角度命题角度3 3与图形变化有关的归纳推理与图形变化有关的归纳推理【典例典例】我国的刺绣有着悠久的历史我国的刺绣有着悠久的历史,如图所示的如图所示的(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案为刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由这些图案都是由小正方形构成小正方形构成,小正方形个数越多刺绣越漂亮小正方形个数越多刺绣越漂亮.现按同样现按同样的规律刺绣的

31、规律刺绣(小正方形的摆放规律相同小正方形的摆放规律相同),),设第设第n n个图形包个图形包含含f(n)f(n)个小正方形个小正方形,则则f(n)f(n)的表达式为的表达式为()世纪金榜导学号世纪金榜导学号A.f(n)=2n-1A.f(n)=2n-1B.f(n)=2nB.f(n)=2n2 2C.f(n)=2nC.f(n)=2n2 2-2n-2nD.f(n)=2nD.f(n)=2n2 2-2n+1-2n+1【尝试解答尝试解答】选选D.D.我们考虑我们考虑f(2)-f(1)=4,f(3)-f(2)-f(1)=4,f(3)-f(2)=8,f(4)-f(3)=12,f(2)=8,f(4)-f(3)=1

32、2,结合图形不难得到结合图形不难得到f(n)-f(n)-f(n-1)=4(n-1),f(n-1)=4(n-1),累加得累加得f(n)-f(1)=2n(n-1)=2nf(n)-f(1)=2n(n-1)=2n2 2-2n,-2n,故故f(n)=2nf(n)=2n2 2-2n+1.-2n+1.【状元笔记状元笔记】与图形变化有关的归纳推理与图形变化有关的归纳推理,合理利用特殊图形归纳推合理利用特殊图形归纳推理得出结论理得出结论,并用赋值检验法验证其真伪性并用赋值检验法验证其真伪性.【对点练对点练找规律找规律】1.(20181.(2018晋江模拟晋江模拟)在我国南宋数学家杨辉所著的在我国南宋数学家杨辉所

33、著的详解九章算法详解九章算法(1261(1261年年)一书中一书中,用如图用如图1 1所示的三所示的三角形角形,解释二项和的乘方规律解释二项和的乘方规律.在欧洲直到在欧洲直到16231623年以后年以后,法国数学家布莱士法国数学家布莱士帕斯卡的著作帕斯卡的著作(1655(1655年年)介绍了这介绍了这个三角形个三角形.近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国,所以有些书上称这是所以有些书上称这是“中国三角形中国三角形”(Chinese(Chinese triangle),17triangle),17世纪德国数学家莱布尼茨发现了世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布莱

34、布尼茨三角形尼茨三角形”,如图如图2.2.在杨辉三角中相邻两行满足关系在杨辉三角中相邻两行满足关系式式:,其中其中n n是行数是行数,rN.,rN.类比上式类比上式,在莱在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是.rr1r1nnn1CCC【解析解析】类比观察得类比观察得,莱布尼茨三角形的每一行都能提莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数出倍数 而相邻两项之和是上一行的两者相拱之而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数数,所以类比式子所以类比式子 有有 答案答案:1n11C，rr1r1nnn1CCC,1r1r1r1n1nn2n1n2n1111.CCCCCC1r1r1r1

35、n1nn2n1n2n1111CCCCCC2.2.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数形数,如三角形数如三角形数1,3,6,10,1,3,6,10,第第n n个三角形数为个三角形数为 记第记第n n个个k k边形数为边形数为N(n,k)(k3),N(n,k)(k3),以下列出了部分以下列出了部分k k边形数中第边形数中第n n个数的表达式个数的表达式:2n(n 1)11nn222，三角形数三角形数N(n,3)=N(n,3)=n n2 2+n,n,正方形数正方形数N(n,4)=nN(n,4)=n2 2,五边形数五边形数N(n,5)=N(n,5)=

36、n n2 2-n,n,六边形数六边形数N(n,6)=2nN(n,6)=2n2 2-n,-n,12121232可以推测可以推测N(n,k)N(n,k)的表达式的表达式,由此计算由此计算N(10,24)=N(10,24)=.【解析解析】由由N(n,4)=nN(n,4)=n2 2,N(n,6)=2n,N(n,6)=2n2 2-n,-n,可以推测可以推测:当当k k为为偶数时偶数时,N(n,k)=n,N(n,k)=n2 2+n,+n,所以所以N(10,24)=N(10,24)=100+100+1010=1 100-100=1 000.=1 100-100=1 000.答案答案:1 0001 000k2

37、24k224224242【一题多解一题多解】原已知表达式可化为原已知表达式可化为:N(n,3)=N(n,3)=N(n,4)=N(n,4)=N(n,5)=N(n,5)=23243nn22，24244nn22，25245nn22，N(n,6)=N(n,6)=由归纳推理可得由归纳推理可得N(n,k)=N(n,k)=所以所以N(10,24)=N(10,24)=100+100+10=1 100-10010=1 100-100=1 000.=1 000.答案答案:1 0001 00026246nn22，2k24knn22，242242423.(20193.(2019青岛模拟青岛模拟)某种平面分形图如图所示

38、某种平面分形图如图所示,一级分一级分形图是由一点出发的三条线段形图是由一点出发的三条线段,长度相等长度相等,两两夹角为两两夹角为120120;二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来发再生成两条长度为原来 的线段的线段,且这两条线段与且这两条线段与原线段两两夹角为原线段两两夹角为120120,依此规律得到依此规律得到n n级分形图级分形图.13n n级分形图中共有级分形图中共有条线段条线段.【解析解析】分形图的每条线段的末端出发再生成两条线分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段段,由题图知由题图知,一级分形图有一级分形图有3=33

39、=32-32-3条线段条线段,二级分形二级分形图有图有9=39=32 22 2-3-3条线段条线段,三级分形图中有三级分形图中有21=321=32 23 3-3-3条条线段线段,按此规律按此规律,n,n级分形图中的线段条数有级分形图中的线段条数有a an n=3=32 2n n-3(nN3(nN*).).答案答案:3 32 2n n-3(nN-3(nN*)数学能力系列数学能力系列1616归纳推理中的逻辑推理归纳推理中的逻辑推理【能力诠释能力诠释】逻辑推理是指从一些事实和命题出发逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依依据逻辑规则推出一个命题的思维过程据逻辑规则推出一个命题的思维过程.主要包括两类主

40、要包括两类:一类是从特殊到一般的推理一类是从特殊到一般的推理,推理形式主要有归纳与类推理形式主要有归纳与类比推理比推理;另一类是从一般到特殊的推理另一类是从一般到特殊的推理,推理形式主要推理形式主要有演绎推理有演绎推理.【典例典例】(2017(2017全国卷全国卷)甲、乙、丙、丁四位同学甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩一起去向老师询问成语竞赛的成绩,老师说老师说:你们四人你们四人中有中有2 2位优秀位优秀,2,2位良好位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩我现在给甲看乙、丙的成绩,给给乙看丙的成绩乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩给丁看甲的成绩.看后甲对大家说看后甲对大家说:我还我还是

41、不知道我的成绩是不知道我的成绩,根据以上信息根据以上信息,则则()A.A.乙可以知道四人的成绩乙可以知道四人的成绩B.B.丁可以知道四人的成绩丁可以知道四人的成绩C.C.乙、丁可以知道对方的成绩乙、丁可以知道对方的成绩D.D.乙、丁可以知道自己的成绩乙、丁可以知道自己的成绩【解析解析】选选D.D.由甲说由甲说:“:“我还是不知道我的成绩我还是不知道我的成绩”可推可推知甲看到乙、丙的成绩为知甲看到乙、丙的成绩为“1 1个优秀、个优秀、1 1个良好个良好”.乙看乙看丙的成绩丙的成绩,结合甲的说法结合甲的说法,丙为丙为“优秀优秀”时时,乙为乙为“良良好好”;丙为丙为“良好良好”时时,乙为乙为“优秀优

42、秀”,可得乙可以知道可得乙可以知道自己的成绩自己的成绩.丁看甲的成绩丁看甲的成绩,结合甲的说法结合甲的说法,甲为甲为“优秀优秀”时时,丁为丁为“良好良好”;甲为甲为“良好良好”时时,丁为丁为“优秀优秀”,可可得丁可以知道自己的成绩得丁可以知道自己的成绩.【技法点拨技法点拨】解答逻辑推理的问题时解答逻辑推理的问题时,一定要仔细阅读题目一定要仔细阅读题目,逐条分逐条分析所给条件析所给条件,并将其引伸并将其引伸,找到各条件的融汇之处和矛找到各条件的融汇之处和矛盾之处盾之处,多次应用假设、排除、验证多次应用假设、排除、验证,清理出有用清理出有用“线线索索”,找准突破点找准突破点,从而使问题得以解决从而

43、使问题得以解决.【即时训练即时训练】甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名,但具但具体名次未知体名次未知.3.3人作出如下预测人作出如下预测:甲说甲说:我不是第三名我不是第三名;乙说乙说:我是第三名我是第三名;丙说丙说:我不是第一名我不是第一名.若甲、乙、丙若甲、乙、丙3 3人的预测结果有且只有一个正确人的预测结果有且只有一个正确,由此由此判断获得第一名的是判断获得第一名的是.【解析解析】若甲的预测准确若甲的预测准确,则则甲不是第三名甲不是第三名;乙不是第三名乙不是第三名;丙是第一名丙是第一名.很明显前两个预测说明丙是第三名很明显前两个预测说明丙是第三名,后一个预测说明丙后一个预测说明丙是第一名是第一名,矛盾矛盾,则假设不成立则假设不成立.若乙的预测准确若乙的预测准确,则则甲是第三名甲是第三名;乙是第三名乙是第三名;丙是第一名丙是第一名.很明显前两个预测矛盾很明显前两个预测矛盾,则假设不成立则假设不成立.若丙的预测准确若丙的预测准确,则则甲是第三名甲是第三名;乙不是第三名乙不是第三名;丙不是第一名丙不是第一名.推理得甲是第三名推理得甲是第三名;乙是第一名乙是第一名;丙是第二名丙是第二名.综上可得综上可得,获得第一名的是乙获得第一名的是乙.答案答案:乙乙